【摘 要】本文以例詮釋將法向量引入立體幾何中解決線面角、二面角和點到平面的距離等問題的新思路，講解直接法、軸面位置法、“有 0 速算法”、行列式法等四種簡化法向量計算的方法。

【關鍵詞】簡化法向量 線面角 二面角 點到平面的距離

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）02B-0153-04

將法向量引入到立體幾何中，為解決線面角、二面角和點到平面的距離問題提供了新的思路，利用法向量解決上述問題時，一般很少添加輔助線，省去作角、作線段的諸多不便，也無需進行復雜繁難的推理論證，只需通過坐標運算后進行判斷即可，因此解題方法步驟程序化，學生易于掌握。

通常，只要能建立直角坐標系，使用法向量解題的思維量是很小的，也很方便，但不足之處是運算量大。新課標背景下運算能力與運算技能是高中學生最大的短板，在計算和應用法向量時，學生有以下兩個常見錯誤：一是把點的坐標或向量坐標寫錯，這類錯誤屬于計算能力或粗心問題，只要引起重視，平常多訓練，是可以避免類似錯誤的。二是易把法向量算錯，用解方程法求法向量，具有一定的計算復雜度，多數同學不知道簡化運算和驗證的方法，從而犯錯的幾率很大。本文針對第二類錯誤，提供一些簡化法向量計算的方法，并在此基礎上對二面角問題進行了探索，如有不當之處，敬請各位同仁批評指正。

一、從一道典型的高考題說起

如圖1，四棱錐 P-ABCD 中，PA⊥ 平面 ABCD，E 為 BD的中點，G 為 PD 的中點，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1，，連接 CE 并延長交 AD 于點 F。

（Ⅰ）求證：AD ⊥平面 CFG；（Ⅱ）求二面角 B-CP-D 的余弦值。

上題是 2013 年江西理科卷第 19 題，原題第二小題是“求平面 BCP 與平面 DCP 的夾角的余弦值”。本文在引用時有所改動。以下是解答這道題的常規(guī)方法。

解：（Ⅰ）在△ABD 中，因為 E 為 BD 的中點，所以 EA=AB=EB=ED=1，故 ∠BAD=90°，∠ABE=∠AEB=60°。因為 △DAB≌△DCB，所以 △EAB ≌△ECB，從而有 ∠FED=∠BEC=∠AEB=60°，所以 ∠FED=∠FEA，故 EF⊥AD，AF=FD；又因為 PG=GD，所以 FG//PA。因為 PA⊥ 平面 ABCD，所以 FG⊥AD，EF∩FG=F，所以 AD 平面 CFG。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 AB，AD，AP 兩兩垂直，以 A 為坐標原點，的方向為 x 軸的正方向，為單位長，建立如圖 2 所示的空間直角坐標系 A-xyz。則 B（1，0，0），因此設平面 BCP 的一個法向量為 =（x1，y1，z1），由，得到，取x1=1，得。設平面 DCP 的一個法向量為 =（x2，y2，z2），由，，得到，取 x2=1，得 =（1，，2）。所以 cos<，，因為二面角 B-CP-D 是鈍角，所以二面角 B-CP-D 的余弦值為 。

本題第（Ⅰ）問主要考查線面位置關系的證明。另外根據考試大綱要求，高層次也包含低層次的內容，此問也注重了對底面的平面幾何圖形性質的考查。第（Ⅰ）問的解決是第（Ⅱ）問的建系的前提。我們注意到第（Ⅱ）問解答過程中，有幾個關鍵的地方：第一，在求法向量的過程中需要解不定方程（組）。對于不定方程（組），學生處理經驗少，技術缺乏規(guī)范，而教材的設計在這方面的考慮也不足。第二，利用法向量求二面角時要通過觀察來判斷二面角是銳角還是鈍角。然而，當二面角接近直角或不宜觀察時，要進行判斷是有難度的。

二、簡化法向量計算的方法

為了提高求法向量的效率，本文給出以下簡化計算的方法：

（一）直接法。若題目給出平面的一條垂直線段，則該線段可視為法向量。

（二）軸、面位置法。若平面經過或平行于某條軸，則對應的坐標為 0。若平面垂直于某條軸，則對應坐標不為 0，如平面垂直于 z 軸，其中的一個法向量為 =（0，0，1）。若平面既不平行（或經過）又不垂直某條軸，其中的一個法向量可設為=（1，y，z）。

（三）“有 0 速算法”。因為法向量與平面內的向量是垂直關系，所以求出法向量后，計算法向量與所找平面內兩向量數量積是否為 0，就可驗證結果是否正確。利用這一思路，便得到以下方法：求平面 BCP 的法向量 =（1，y，z），其中在 這兩個向量中，只有 的坐標中有“0”，先考慮向量 與 垂直。的 z 坐標為 0，只須保證 與 的 x 坐標與 y 坐標的乘積之和為 0，此時 的 z 坐標可以是任意實數，可列式如下：，解得 。再考慮坐標中沒有“0”的 ，要讓 與 垂直，可得，解得 z=，從而得到平面 BCP 的法向量 =（1，-，）?！坝?0 速算法”的特點在于：一是計算過程簡單，二是計算的過程其實就是驗證的過程，保證了所求法向量的正確性。

（四）行列式法。這是筆者較提倡的方法，當向量中含參數時，用行列式法效果尤為明顯，此外在解決二面角的大小或余弦值問題時有其獨特優(yōu)勢。考慮到行列式法解決二面角問題的重要性，本文給出二階、三階行列式和向量積的簡要介紹，讀者如有需要，可參閱相關文獻。

1.二階行列式。把 叫做二階行列式，其中橫排叫做行，縱排叫做列，a，b，c，d 叫做行列式的元素。在二階行列式中用實線表示的對角線上兩個數的積，減去用虛線表示的對角線上兩個數的積所得的差，就是

叫做二階行列式的展開式。

2.三階行列式。把 叫做三階行列式。 對于三階行列式有

上式稱為三階行列式按第一行的展開式。

3.行列式的兩個性質。（1）交換行列式的任意兩行，行列式的絕對值不變，而符號相反。

（2）行列式某一行所有元素的公因子可以提到行列式記號的外邊。

4.向量積。兩向量 與 的向量積是向量，用 ×表示，它垂直于 與 所決定的平面（即 × 同時跟 和 垂直），方向按右手規(guī)則確定，即當你的右手四個指頭順著 到 的方向旋轉時，拇指所指的方向就是 × 的方向（圖 3）。

在空間直角坐標系中，若 =（x1，y1，z1），=（x2，y2，z2），則

其中 ，，是坐標向量。

重要的運算規(guī)律：×=-（ ×）。

有了上面的知識，第（Ⅱ）問中平面 BCP 的法向量 ，就可按以下方式求出。

由 =×，得

其中，運用行列式性質 2，行列式記號前的 是第二行提出的公因數 與第三行提出的公因數的積。只要熟悉展開式的特點，就能迅速寫出法向量，如平面 DCP 的法向量 ：

上述計算中之所以提出公因數，原因是讓法向量的坐標盡量不出現分數和無理數，以免增加計算的復雜性。而平面 DCP的法向量 的坐標中未提公因數-1，原因是在解決二面角大小或余弦值問題時，易把法向量的方向弄反，后文中會說明這一點，因此涉及這類問題時，盡量不要放負數在坐標前。根據上述原則，的坐標同除 得到新的法向量 =（3，，2），=（-1，，-2）的坐標同除 得到新的法向量 =（-1，，-2）。

三、二面角問題的進一步探索

正如前文所述，通過觀察來判斷二面角是銳角還是鈍角，在特定情形下是有難度的。那么，能否通過代數方法解決這一問題呢？于是筆者進行了下面的探索。

若 ，是平面 α，β 的法向量，則 ， 指向與二面角內側的關系大致有下列三種情形（圖 4）。

以二面角內側作為參照標準，如上圖（2）（3），，都指向二面角內側或外側時，二面角 α-l-β 的大小與<，>互補；， 一個指向內側，另一個指向外側時，二面角 α-l-β 的大小與<，>相等，如圖（1）（注：對于 外指，內指情形與此一致）。法向量與二面角的關系可概括為：“同進同出互補，一進一出相等?！蹦敲慈绾卧谧鴺松象w現出法向量的方向呢？

把法向量設為 =（x1，y1，z1），列出兩個三元一次方程，再根據系數情況賦值，進而得到法向量坐標。以這種方式得到的法向量，除了與坐標軸平行或重合外，要判斷其方向還是很難的。如果我們先定方向再求坐標，就能繞開這個問題，而實現該想法的關鍵在于行列式法的使用。本文用行列式法求平面 BCP 的法向量 時，由于 =×，故按照右手規(guī)則，當右手四指順著 到 的方向旋轉時，拇指指向二面角 B-CP-D 的外側，即 指向二面角 B-CP-D 的外側。值得注意的是，在構造 的行列式時，第二行排的是 的坐標，第三行才排 的坐標，若二者位置對調，根據行列式性質 1，所得結果應為-（×），即向量 ×。同理，由平面 DCP 的法向量 =×，知 指向二面角 B-CP-D 的內側，此時二面角 B-CP-D 的大小與 <，>相等，因此所求余弦值為 cos<，。為了快速求出法向量方向與坐標，筆者建議，當所給圖形公共棱明顯時，可先寫出公共棱的向量坐標再以這個向量的起點 C 為起點，在二面角的各個半平面內找兩點 B，D 為終點，就得到兩個向量 ，。因這三個向量共起點，按右手規(guī)則，統(tǒng)一順著 到 或 的方向旋轉時，法向量的方向必定一個指向二面角外側，另一個指向內側。 若所給圖形公共棱不明顯時，可在二面角的兩個半平面內，各找三個不共線的點，以其中一點為向量起點，構造兩個向量，再依右手規(guī)則得到兩個法向量，進而求出二面角。

四、應用示例

下題是 2013 年浙江理科卷第 20 題，解題時需根據條件設未知數表示空間點的坐標，從而增加了問題解決的難度。現用本文所述方法解答如下，望讀者能從中體會到它們的特點。

如圖（圖5），在四面體 A-BCD 中，AD⊥平面 BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=。M 是 AD 的中點，P 是 BM 的中點，點 Q 在線段 AC 上，且 AQ=3QC。

（Ⅰ）證明：PQ // 平面 BCD；

（Ⅱ）若二面角 C-BM-D 的大小為 60°，求∠BDC 的大小。

∵ AD⊥平面 BCD，AD 平面 ACD

∴ 平面 ACD⊥平面 BCD

∵ 平面 ACD∩平面 BCD=CD

又 CE⊥CD

CE 平面 ACD

∴ CE⊥平面 BCD

又 BC⊥CD

故 CE，CB，CD 兩兩垂直

以 A 為坐標原點，建立如圖 6 所示的空間直角坐標系。設 BC=a，CD=b。則 C（0，0，0），B（0，a，0），D（b，0，0），M（b，0，1），。

（Ⅰ），顯然平面 BCD 的一個法向量為 =（0，0，1）。

∴ ⊥

又 PQ 平面 BCD

∴ PQ // 平面 BCD

（Ⅱ）在 Rt△BCD 中，有 BC2+CD2=BD2

即 a2+b2=8 ①

=（b，-a，1），=（0，-a，0），=（b，-a，0）。設平面 BMC 的一個法向量為，由=×，得

（a，0，-ab）。

同理，設平面 BMD 的一個法向量為 ，由=×，得

，于是

即 ②

聯(lián)立①②，解得

a=，b=

∴∠BDC=60°

【參考文獻】

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[3]谷超豪.數學詞典[M].上海：上海辭書出版社，1992

[4]俞 萍.向量暗藏玄機 方向掌控自如[J].中學數學雜志，2013（4）

【作者簡介】李發(fā)光，男，碩士研究生，云南師范大學附屬實驗中學教師。

（責編 盧建龍）