毛北行，李巧利

(1.鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院理學(xué)院，河南 鄭州 450015； 2.河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，河南 鄭州 450001)

一類分?jǐn)?shù)階Genesio-Tesi系統(tǒng)的滑?；煦缤?

毛北行1，李巧利2

(1.鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院理學(xué)院，河南 鄭州 450015； 2.河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，河南 鄭州 450001)

研究了Genesio-Tesi系統(tǒng)的滑?；煦缤絾?wèn)題，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論及分?jǐn)?shù)階微積分給出了主從系統(tǒng)取得混沌同步的充分條件，研究表明，在一定條件下，選取適當(dāng)?shù)目刂破鱃enesio-Tesi系統(tǒng)的主從系統(tǒng)是滑?；煦缤降?。

滑模；混沌同步；Genesio-Tesi系統(tǒng)

在傳統(tǒng)的控制理論中,通常假設(shè)被控對(duì)象和控制器模型為整數(shù)階次，然而這樣的整數(shù)階系統(tǒng)與實(shí)際系統(tǒng)存在一定的差距.Mandelbrot指出在自然界和人類社會(huì)存在著大量的分?jǐn)?shù)維系統(tǒng)[1-7],采用分?jǐn)?shù)階模型能更好的揭示對(duì)象的行為和本質(zhì)。Oustaloup[8]提出了將分?jǐn)?shù)階控制器用于動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的設(shè)想，研究和對(duì)比分析表明分?jǐn)?shù)階控制器有更好的魯棒性等優(yōu)點(diǎn)。分?jǐn)?shù)階滑模控制，能夠在傳統(tǒng)的滑?？刂频幕A(chǔ)上提高系統(tǒng)的控制性能和精確性，成為現(xiàn)代非線性控制的重要研究方法[9-16]。Genesio-Tesi系統(tǒng)是物理學(xué)中典型的混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)具有混沌系統(tǒng)的很多特征，它包含了一個(gè)簡(jiǎn)單的平方項(xiàng)，在文獻(xiàn)[17]中Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)得到了詳細(xì)的論述，文獻(xiàn)[18]研究了Genesio-Tesi系統(tǒng)的自適應(yīng)同步問(wèn)題，文獻(xiàn)[19]研究了分?jǐn)?shù)階Genesio-Tesi系統(tǒng)的混沌同步問(wèn)題，討論了階次相等和階次不等兩種情形。本文研究了一類具有五次方非線性項(xiàng)的整數(shù)階與分?jǐn)?shù)階Genesio-Tesi系統(tǒng)的滑?；煦缤絾?wèn)題，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論及分?jǐn)?shù)階微積分給出了主從系統(tǒng)取得混沌同步的充分條件，研究表明，一定條件下，選取適當(dāng)?shù)目刂破鱃enesio-Tesi系統(tǒng)的主從該系統(tǒng)是滑模混沌同步的。

1 主要結(jié)果

以下考慮如下一類五次方非線性項(xiàng)的整數(shù)階Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)

(1)

當(dāng)b1=6,b2=2.29,b3=1.2,b4=-1時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)混沌吸引子，以上述系統(tǒng)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，設(shè)計(jì)響應(yīng)系統(tǒng)為：

(2)

(3)

定理1 若設(shè)計(jì)滑模函數(shù)

s(t)=b2e1(t)+b3e2(t)+εe3(t)，ε>0，

證明s(t)=b2e1(t)+b3e2(t)+εe3(t)，

當(dāng)發(fā)生滑模運(yùn)動(dòng)時(shí)，需滿足如下條件

s(t)=b2e1(t)+b3e2(t)+εe3(t)=0

(4)

冷凍保鮮鳳尾魚(yú)、食用精鹽、太太樂(lè)雞精、白砂糖、太太樂(lè)特味鮮調(diào)味料、蔥粉、姜粉、白胡椒粉、五香粉、風(fēng)車淀粉、高度白酒、加飯酒、飴糖。

(5)

上述微分方程等價(jià)于

當(dāng)不在滑模面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，構(gòu)造Lyapunov函數(shù)：

定義1[20] Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

n-1<α

以下考慮分?jǐn)?shù)階Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)

(6)

b1=2,b2=3.5,b3=0.3,b4=-1,q=0.95時(shí)系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌態(tài)，以上述系統(tǒng)作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，設(shè)計(jì)響應(yīng)系統(tǒng)為：

(7)

定義系統(tǒng)誤差ei(t)=yi(t)-xi(t),i=1,2,3，以上兩式相減得到誤差系統(tǒng)為：

(8)

定理2 當(dāng)0.5

證明

當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生滑模運(yùn)動(dòng)時(shí)，需滿足如下條件：

(9)

?

當(dāng)ε>0時(shí)，對(duì)上式使用拉普拉斯變換得

sqb3E1(s)-b3sq-1e1(0)+b2E1(s)=0

其中E1(s)=L(e1(t))，L表示拉普拉斯算子，根據(jù)拉普拉斯終值定理

(10)

由于符號(hào)函數(shù)的性質(zhì)：

2 數(shù)值仿真

分?jǐn)?shù)階Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)。

圖1 整數(shù)階系統(tǒng)的誤差Fig.1 Errors of integer systems

圖2 分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的誤差Fig.2 Errors of fractional-order systems

3 結(jié) 論

基于Lyapunov穩(wěn)定性理論及分?jǐn)?shù)階微積分，研究了一類具有五次方非線性項(xiàng)的整數(shù)階以及分?jǐn)?shù)階Genesio-Tesi系統(tǒng)的滑?；煦缤絾?wèn)題，給出了主從系統(tǒng)取得滑?；煦缤降某浞中詶l件，數(shù)值仿真表明該方法是可行性的。

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Sliding mode chaos synchronization of a class of fractional-order Genesio-Tesi systems

MAOBeixing1，LIQiaoli2

(1.College of Science, Zhengzhou Institute of Aeronautical Industry Management, Zhengzhou 450015, China; 2.College of Science, Henan University of Technology, Zhengzhou 450001,China)

The sliding mode chaos synchronization problem of Genesio-Tesi systems using is studied based on Lyapunov stability theory and fractional-order caculurs. The sufficient conditions for the master-slave systems realized chaos synchronization are concluded. The study illustrated that emotion models are sliding mode chaos synchronization under certain conditions choosing proper controller.

sliding mode; chaos synchronization ; Genesio-Tesi systems

2016-09-28 基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)青年基金(NSFC11501525)；河南省科技廳軟科學(xué)項(xiàng)目(142400411192)；河南省高等學(xué)校青年骨干教師資助計(jì)劃項(xiàng)目(2013GGJS-142)

毛北行 (1976年生)，男；研究方向：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)與混沌同步；E-mail:bxmao329@163.com

10.13471/j.cnki.acta.snus.2017.02.013

O

A

0529-6579(2017)02-0076-04