李士恒，趙先鶴

(1. 鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院理學(xué)院，河南 鄭州 450015； 2. 河南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 河南 新鄉(xiāng) 453007)

非超可解極大子群指數(shù)為素?cái)?shù)冪的有限群*

李士恒1，趙先鶴2

(1. 鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院理學(xué)院，河南 鄭州 450015； 2. 河南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 河南 新鄉(xiāng) 453007)

如果有限群G的每個(gè)非超可解群極大子群的指數(shù)均為素?cái)?shù)冪，那么G的合成因子為素?cái)?shù)階群或同構(gòu)于下列單群：A5，PSL(2,8)，PSL(2,11)，PSL(2,p)，其中p為奇素?cái)?shù)且p≡±1(8)。

有限群；非超可解；極大子群；幾乎單群

有限群的子群性質(zhì)對(duì)群的結(jié)構(gòu)有重要的影響，很多文獻(xiàn)對(duì)此都有研究[1-4]。其中極大子群的群論或數(shù)論性質(zhì)對(duì)群的結(jié)構(gòu)也有重要的影響，如有限群超可解當(dāng)且僅當(dāng)它的所有極大子群指數(shù)為素?cái)?shù)(Huppert定理)；黎先華[1]研究了極大子群指數(shù)型為[m,n,p1,p2,…,ps]的有限群，推廣了Huppert定理。眾所周知，可解群的每個(gè)極大子群的指數(shù)都是素?cái)?shù)冪，但是其逆命題不成立。Guralnick[5]證明了：如果有限群G的每個(gè)極大子群的指數(shù)均為素?cái)?shù)冪，則G/S(G)≌PSL(2,7)或1，其中S(G)為G的最大可解正規(guī)子群。進(jìn)一步，郭秀云[6]對(duì)極大子群進(jìn)行了限制，得到：

如果有限群G的每個(gè)非冪零的極大子群的指數(shù)均為素?cái)?shù)冪，則G/S(G)≌PSL(2,7)或1，其中S(G)為G的最大可解正規(guī)子群。

在本文我們對(duì)極大子群做進(jìn)一步的限制得到了結(jié)論：

定理1 如果有限群G的每個(gè)非超可解極大子群的指數(shù)均為素?cái)?shù)冪，則G的合成因子為素?cái)?shù)階群或同構(gòu)于單群：A5，PSL(2,8)，PSL(2,11)，PSL(2,p)，其中為p奇素?cái)?shù)且p≡±1(8)。

下面的例1(相關(guān)符號(hào)和概念見后面的定義2和文[7，A，第18節(jié)])說明在定理1的條件下不能得到類似于文[6]的定理1或文[5]的推論3的結(jié)果，即G/S(G)可解或者同構(gòu)于某個(gè)幾乎單群。

1 定義與引理

定義1[9]設(shè)H為G的子群。若存在K≤G滿足HK=G，那么稱K是H在G中的廣義補(bǔ)。

定義2[9]圈積: 對(duì)于群L，把由所有函數(shù)

Σ→L,Σ={1,…,n}

所做成的集合Ln看作一個(gè)群，其乘法按照點(diǎn)來定義為：

對(duì)所有的i∈Σ及a1，a2∈Ln有，ia1a2=ia1ia2其中iak表示ak的第i個(gè)位置上的元素，k=1,2。圈積LwrSn表示Ln關(guān)于Sn的半直積：如果s∈Sn，a∈Ln，那么對(duì)所有的i∈Σ有ias=(is-1)a。此外，對(duì)U≤L記Ln的子群Ui為Ui={a∈Un|jn=1，當(dāng)j≠i}。特別，Ln=L1×…×Ln。令W=LwrSn，記πi為NW(Li)=Li×(L1×…×Li-1×Li+1×…×Ln)Sn-1到L1上的投射。對(duì)于W的子群G，我們記G(i)為i在所有這些函數(shù)NG(Li)πi作用下的像的集合，即

G(i)= {i(NG(Li))πi=w∈LI|存在g∈NG(Li)

使ig=iw}

因此，G(i)是L的一個(gè)子群。稱Sn為圈積W=LwrSn的頂群。

定義3 設(shè)N是一個(gè)非交換單群，如果群G滿足N≤G≤Aut(N)，那么稱G為幾乎單群。

引理1 設(shè)G=W=LwrSn，L是幾乎單群。設(shè)K是L的自正規(guī)化子群，且L=KT，這里T=Soc(L)。設(shè)M=NG(Kn)=KwrSn。如果M在G中有素?cái)?shù)冪指數(shù)，那么K在L中也有素?cái)?shù)冪指數(shù)。

證明 若M在G中有素?cái)?shù)冪指數(shù)，設(shè)為pk，則G有一個(gè)Sylowp-子群P使MP=G。由|G|=|M‖P|/|M∩P|得(|G∶M|,|G∶P|)=1。又L是G的次正規(guī)子群，所以L= (L∩M)(L∩P)=K(L∩P)。 因此|L∶K|為素?cái)?shù)冪。

引理2[9]設(shè)G是圈積W=LwrSn的傳遞地作用在{L1,…,Ln}上的子群。那么存在g∈L2×…×Ln使Gg≤V=G(1)wrSn，其中V是W的子群且具有和W相同的頂群。

引理3[5]設(shè)G為非交換有限單群，H≤G且|G∶H|=pα，其中p為素?cái)?shù)，那么下列斷言之一成立：

(i)G=An，H≌An-1，其中n=pα；

(ii)G=PSL(n,q)，H是直線或超平面的穩(wěn)定化子，|G∶H|=(qn-1)/(q-1)=pα，這里n是素?cái)?shù)。

(iii)G=PSL(2,11)，H≌A5；

(iv)G=M23且H≌M22或G=M11且H≌M10； (v)G=U4(2) ≌S4(3)，H是指數(shù)為27的拋物子群。

引理4 設(shè)G是一個(gè)幾乎單群，若任意的G的不包含Soc(G)的極大子群均為超可解的則Soc(G) ≌PSL(2,p)，其中p為滿足p≡±1(8)的素?cái)?shù)。

證明 若任意的G的不包含Soc(G)的極大子群M均為超可解，則Sec(M)超可解，從而由文[10，定理]得到結(jié)論。

引理5 設(shè)群G滿足Soc(G)=PSL(2,pf)

(i)M超可解；

(ii)M∩PSL(2,pf)為A4或?yàn)閜f階初等交換群和(pf-1)/2階循環(huán)群的半直積。

證明 為了方便起見，用pm·t表示pm階初等交換群和t階循環(huán)群的半直積，Em表示pm階初等交換群，Ck表示k階循環(huán)群。

若f=2r>1，則由文[11]的Ⅱ，8.27得PSL(2,pm)

由文[11]的Ⅱ，8.27可得PGL(2,pf)≤PSL(2,p2f)，所以PGL(2,pf)的子群類型同文[11，Ⅱ，8.27]中的。

下面對(duì)M∩PSL(2,pf)分情況討論：

(i)當(dāng)M∩PSL(2,pf)為PSL(2,pm)或PGL(2,pm)，m

(ii) 當(dāng)M∩PSL(2,pf)=A5且p≠5時(shí)(情況p=5屬于情況(i))。設(shè)α∈PGL(2,pf)PSL(2,pf)，由G=MPSL(2,pf)得PGL(2,pf)=PSL(2,pf)(PGL(2,pf)∩M)。因此，存在α∈(PGL(2,pf)∩M)且αPSL(2,pf)使PGL(2,pf)=PSL(2,pf)α。顯然有PGL(2,pf)/PSL(2,pf)=PSL(2,pf)(PGL(2,pf)∩M)/PSL(2,pf)≌(PGL(2,pf)∩M)/(PSL(2,pf)∩M)=α(PSL(2,pf)∩M)/

(PSL(2,pf)∩M)=αA5/A5。由文獻(xiàn)[11]Ⅱ，8.27(8)可得PSL(2,p2f)≥PGL(2,pf)≥αA5，但由p≠5和文[11]的Ⅱ，8.27可知這是不可能的。 (iii) 當(dāng)M∩PSL(2,pf)為S4時(shí)，同上可得矛盾。

(iv) 當(dāng)M∩PSL(2,pf)=pm·t，其中t|(pm-1)/2且t|pf-1時(shí)，由pm階初等交換群是pm·t的特征子群得M≤NG(Em)且NG(E)m≥Ef。結(jié)合G無可解正規(guī)子群得m=f， 從而M∩PSL(2,pf)=NPSL(2,pf)(Ef)=pf·((pf-1)/2)。此時(shí)，Ef是PSL(2,pf)的Sylowp-子群，由Frattini論斷得G=PSL(2,pf)NG(Ef)。設(shè)M為包含NG(P)的G的極大子群則有M∩PSL(2,pf)=pf·((pf-1)/2)。這說明這樣的M是存在的。

(v) 當(dāng)M∩PSL(2,pf)為4階初等交換群時(shí)，由文[11]的Ⅱ，8.16，8.17可得M≥NPSL(2,pf)(M∩PSL(2,pf))≌A4或S4，這和M∩PSL(2,pf)為4階初等交換群矛盾。

(vi) 當(dāng)M∩PSL(2,pf)=Cz或二面體群D2z(z>2)時(shí)。Aut(N1)=PGL(2,pf)·Aut(q)為PGL(2,pf)和f階循環(huán)群的半直積，且有正規(guī)列時(shí)，Cz為二面體群D2z的特征子群，所以M有正規(guī)列時(shí))或時(shí))。又由M/(M∩PGL(2,pf))≌MPGL(2,pf)/PGL(2,pf)≤Aut(N1)/PGL(2,pf)≌Cf得M/(M∩PGL(2,pf))為循環(huán)群。另有，(M∩PGL(2,pf))/(M∩PSL(2,pf))≌(M∩PGL(2,pf))PSL(2,pf)/PSL(2,pf)≤PGL(2,pf)/PSL(2,pf)得(M∩PGL(2,pf))/(M∩PSL(2,pf))為2階循環(huán)群。因此,M為超可解群。

引理 7 設(shè)3k=2f=1，其中k，f為正整數(shù)，則k=1，f=1或k=2，f=3。

證明 若k為奇數(shù)，則由二項(xiàng)式定理知，存在正整數(shù)j使2f=(2+1)k-1=2(2j+a)，因此可得2j+a=1，從而a=1。

若k為偶數(shù)，設(shè)k=2d，則2f=32d-1=(3d-1)(3d+1)，從而3d-1和3d+1都是2的方冪。又3d-1和3d+1的最大公因子為2，因此3d-1=2，從而d=1，于是k=2，f=3。

2 定理1的證明

證明 用反正法證明，假設(shè)結(jié)論不成立，設(shè)G為極小階反例。

(i)G有唯一的極小正規(guī)子群N且N≌N1×N2×…×Nr，CG(N)=1，其中N1≌…≌Nr是非交換單群。

顯然，對(duì)G的每一個(gè)正規(guī)子群H，G/H滿足定理的條件。因此，G/H的每一個(gè)合成因子都同構(gòu)于素?cái)?shù)階群或A5，PSL(2,8)，PSL(2,11)，PSL(2,p)，其中p為奇素?cái)?shù)且p≡±1(8)。于是，G有唯一的極小正規(guī)子群N，這是因?yàn)镚/(L∪H)的合成因子同構(gòu)于G/H或G/L的合成因子，其中K和H是G的正規(guī)子群。因?yàn)镚是極小階反例，所以N是非可解的。因此，N≌N1×N2×…×Nr，CG(N)=1，其中N1≌…≌Nr是非交換單群。

(ii) 設(shè)V=G(1)wrSr，則N≤G≤V=G(1)wrSr。 由(i)得到G=G/CG(N)可看做是Aut(N)=W=Aut(N1)wrSr的一個(gè)子群。再由N為G的極小正規(guī)子群知道G傳遞的作用在{Aut(N1),Aut(N2),…,Aut(Nr)}上和引理2可設(shè)G≤V=G(1)wrSr。

(iii) 設(shè)M(1)為G(1)的極大子群且M(1)N(1)=G(1)，M=(M(1))r，K=NW(M)∩G，則K(1)=M(1)且K是G的極大子群。

(iv)G(1)的每個(gè)非超可解極大子群的指數(shù)都是素?cái)?shù)冪的。

設(shè)M(1)為G(1)的極大子群且M(1)N1=G(1)。若M(1)非超可解，則K也非超可解。因此|G∶K|為素?cái)?shù)冪，從而存在G的Sylow子群，設(shè)為P， 使G=KP。所以V=G(1)wrSr=Nw(M)N=Nw(M)G=Nw(M)KP=Nw(M)P，Nw(M)在V中的指數(shù)為素?cái)?shù)冪。因此，由引理1得M(1)在G(1)中的指數(shù)為素?cái)?shù)冪。

肢體語言作為一種非有聲語言，與有聲語言交流起著相互映襯的作用。有時(shí)在對(duì)課文進(jìn)行講解時(shí)，有聲語言不足以將課文中想要表達(dá)的感情表達(dá)出來，這時(shí)便需要借助肢體語言(動(dòng)作)，來共同完成這節(jié)課的講解。例如，在講解《斜塔上的實(shí)驗(yàn)》時(shí)，學(xué)生會(huì)對(duì)這一實(shí)驗(yàn)感到陌生，這時(shí)教師在導(dǎo)入中可以采用肢體語言表達(dá)的方式，通過實(shí)驗(yàn)展示出重物和輕物在一樣的環(huán)境下，由上方下落的情況，從而引出課本中伽利略在比薩斜塔上做輕重兩個(gè)物體同時(shí)落地的實(shí)驗(yàn)，并進(jìn)行對(duì)照，引導(dǎo)學(xué)生要學(xué)習(xí)伽利略敢于挑戰(zhàn)權(quán)威、大膽想象并勇于實(shí)踐的精神。

(a)N1=An，其中n=pα；

(b)N1=PSL(n,q)，(qn-1)/(q-1)為素?cái)?shù)冪，其中n為素?cái)?shù)；

(c)N1=M23，M11或N1=U4(2)≌S4(3)。

(vi)下面對(duì)(v)中的情況(a)，(b)，(c)逐條討論，其中Pi表示PSL(n,q)的i-型拋物子群。為了方便起見，我們暫時(shí)用符號(hào)G來表示G(1)：

(a) 情形N1=An：當(dāng)n>10時(shí)，設(shè)G=An或Sn。取M=Sn-2×S2，則由文[12]第一章，定理D得M∩G為G的極大子群。此時(shí)，M的指數(shù)為n(n-1)/2，不可能是素?cái)?shù)冪。當(dāng)n<10時(shí)由文[8]可得。

(b) 情形N1=PSL(2,q)：此時(shí)對(duì)q分情況討論。

(A) 當(dāng)q=2f且f>1時(shí)，PSL(2,q)只有域自同構(gòu)，Aut(N1)=PSL(2,q).Aut(GF(q))，其中Aut(GF(q))表示q階域的自同構(gòu)群。

|G∶NG(PSL(2,2m))|=|N1∶PSL(2,2m)|=

((2f+1)2f(2f-1))/((2m+1)2m(2m-1))

不可能是素?cái)?shù)冪。

因此，當(dāng)2f+1為素?cái)?shù)冪時(shí)群G才可能滿足定理?xiàng)l件。此時(shí)，由2f+1≡0(3)得2f+1為3的方冪，即2f+1=3k，其中k為某個(gè)正整數(shù)。由引理7得f=3，k=2，從而N1=PSL(2,8)。

(B) 當(dāng)q=p5，p是奇素?cái)?shù)時(shí)，Aut(N1)=PGL(2,q)·Aut(GF(q))。由|PGL(2,q)/PSL(2,q)|=2得G有兩種情況G≥PGL(2,q)或GPGL(2,q)。

(B1) 若f有奇素?cái)?shù)因子t且f=tm，設(shè)M=(PGL(2,pm)·Aut(GF(q)))，則M1=M∩G是G的極大子群且Aut(N1)=N1M，N1∩M1=N1∩M=PSL(2,pm)[11]。因此，由(iv)得|G∶M1|=|N1∶PSL(2,pm)|為素?cái)?shù)冪。但是

不可能是素?cái)?shù)冪。

(B2) 若f無奇素?cái)?shù)因子且f>1，設(shè)f=2r>1。設(shè)M是G的極大子群且N1M。

(B2.2)假設(shè)GPGL(2,q),則G≤Aut(N1)=PSL(2,q)·Aut(GF(q))。設(shè)m=2r-1，此時(shí)PGL(2,pm)≤PSL(2,q)，PGL(2,pm)是PSL(2,q)的極大子群[11]。設(shè)M=(PGL(2,pm)·Aut(GF(q)))，則M∩G是G的極大子群且N1∩M=PGL(2,pm)。因此，由(iv)得|G∶M|=|N1∶PGL(2,pf)|為素?cái)?shù)冪。但是

不可能是素?cái)?shù)冪。

(B3) 若f=1，則Aut(N1)≌PGL(2,p)。

(B3.1) 當(dāng)p2≠1(16)時(shí)，PSL(2,p)有(2,2)型子群K，且所有的(2,2)型子群在PSL(2,p)中共軛[11]。于是由Frattini論斷得G=N1NG(K)。設(shè)M是G的極大子群且M≥NG(K)，則N1M。又NN1(k)≌A4[11]，所以M非超可解。

若G=PGL(2,p)，則由引理5得M∩PSL(2,p) ≌A4。由M的指數(shù)為素?cái)?shù)冪得N1只有3個(gè)素因子，結(jié)合文[13]引理2.3得N1同構(gòu)于PSL(2,4)，PSL(2,7)，PSL(2,8)，PSL(2,9)或PSL(2,17)，由文[8]可得結(jié)果。若G=PSL(2,p)則M=A4或A5[11]。當(dāng)M=A4時(shí)與G=PGL(2,p)時(shí)同理可得。當(dāng)M=A5時(shí)，設(shè)|G∶M|=ri，其中r為素?cái)?shù)，則由Sylow定理得PSL(2,p)的Sylowr-子群的個(gè)數(shù)kr+1為60的因子。顯然k>0，對(duì)30以下的素?cái)?shù)逐個(gè)檢驗(yàn)得r可能為3，5，7，11，19，29。于是，由素?cái)?shù)p為|PSL(2,p)|的因子得p可能為5，7，11，19，29，由文[8]可得結(jié)果。

(B3.2) 當(dāng)p2≡1(16)時(shí)，設(shè)M是G的極大子群且N1M，則N1∩M超可解[10]。 所以N1∩M為p階群，z階循環(huán)群、2z階二面體群，其中另外，若z=2，則4階二面體群D4在N1中的正規(guī)化子同構(gòu)于S4[11]，從而N1∩M包含同構(gòu)于S4的子群，這是一個(gè)矛盾。其他情況，和引理5證明第(vi)步類似可得M超可解。另外，顯然p2≡1(16)?p≡±1(8)。

(c) 情形N1=PSL(3,q)：因?yàn)镻SL(3,2)≌PSL(2,7)，所以假定(n,q)≠(3,2)。設(shè)L=(Zq-1)2/ZdS3，d=(3,q-1)，則從文[9，引理2.1]證明的步驟(2)的情形n=3知M=NG(L)是G的一個(gè)極大子群。顯然M非超可解，故M有素?cái)?shù)冪廣義補(bǔ)。但從文[12]表1和表3得M在G中沒有廣義補(bǔ)。

(d) 情形N1=PSL(n,q)，n≥5且是素?cái)?shù)：若(n,q)=(5,2)，則由文[8]可知：若G=PSL(5,2)則G有非超可解且指數(shù)為155的極大子群M=26∶(S3×PSL(3,2))；若G=Aut(PSL(5,2))則G有非超可解且指數(shù)為24·31的極大子群M=PSL(4,2)∶2。因此，(n,q)≠(5,2)。此時(shí)分G是否包含圖自同構(gòu)這兩種情況來討論。

(A) 若G不包含圖自同構(gòu)，則NG(P2)是G的極大子群。由文[12]知P2為2-維全奇異子空間的穩(wěn)定子，所以P2必有同構(gòu)于PSL(n-2,q)的截?cái)?即子群的商群)，于是NG(P2)非超可解。但由文[12]的表1和表3可知NG(P2)沒有廣義補(bǔ)，于是不可能有素?cái)?shù)冪指數(shù)。這里拋物子群P2顯然非超可解。

(B) 若G包含圖自同構(gòu)，則M=NG(P(n-1)/2∩P(n+1)/2)是G的極大子群。再由文[12]第5頁可知P(n-1)/2∩P(n+1)/2必有同構(gòu)于PSL((n+1)/2,q)的截?cái)?于是M非超可解。故M有素?cái)?shù)冪廣義補(bǔ)。但從文[12]的表1和表3可得M在G沒有廣義補(bǔ)。

(e) 情形N1=M23，G=M11或U4(2)≌S4(3)：此時(shí)從文[8]第18，26和71頁可知G有非超可解極大子群M使|G∶M|非素?cái)?shù)冪。

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[13]ZHANGL,SHIW.Recognitionofsomesimplegroupsbytheirnoncommutinggraphs[J].MonatshMath, 2010, 160: 211-221.

Finite groups whose every non-super-solvable maximal subgroup is of prime power index

LIShiheng1,ZHAOXianhe2

(1. College of Science, Zhengzhou University of Aeronautics, Zhengzhou 450015, China;2. College of Mathematics and Information Science, Henan Normal University, Xinxiang 453007, China)

LetGbe a finite group. If |G∶M| is of prime power for every non-supersolvable maximal subgroupMofG, then any composition factor ofGis of prime order or isomorphic to one of the following:A5,PSL(2,8),PSL(2,11) andPSL(2,p), wherepisaprimeandp≡±1(8).

finite groups; non-supersolvable group; maximal subgroup; almost simple groups

2016-08-05 基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金(11501176)；河南省高等學(xué)校重點(diǎn)科研項(xiàng)目(16A110039)

李士恒(1977生)，男；研究方向：群論；E-mail:lishiheng01@163.com

10.13471/j.cnki.acta.snus.2017.02.010

O

A

0529-6579(2017)02-0057-06