王 鶴，李智斌

（1．北京控制工程研究所，北京100190；2．空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100190；3．中國科學(xué)院光電研究院，北京100094）

二維紊流場對飛艇水平面內(nèi)運(yùn)動影響研究

王 鶴1，2，李智斌3

（1．北京控制工程研究所，北京100190；2．空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100190；3．中國科學(xué)院光電研究院，北京100094）

大氣紊流是影響高空飛艇水平面內(nèi)巡航的重要原因，傳統(tǒng)Dryden模型采用譜分解定理，只能生成一維大氣紊流模型，對于高空飛艇復(fù)雜的飛行運(yùn)動來說，生成二維紊流風(fēng)場模型是必要的?；谖闪鲌龅目臻g相關(guān)特性，采用離散自遞歸方法構(gòu)建風(fēng)場模型，然后結(jié)合風(fēng)速矢量三角形關(guān)系式，建立擾動下的飛艇動力學(xué)模型，再對該模型進(jìn)行水平豎直解耦。仿真結(jié)果表明，大氣紊流作用在飛艇上的力會使飛艇較大程度地偏離其運(yùn)動航跡，呈不穩(wěn)定的隨機(jī)波動狀態(tài)。因此，構(gòu)建高空飛艇動力學(xué)模型時，要充分考慮大氣紊流的影響。

大氣紊流；二維紊流場；飛艇動力學(xué)模型

0 引言

平流層飛艇具有生存能力強(qiáng)、駐空時間長、性價比高、覆蓋范圍大等優(yōu)勢，可以用于對地觀測、勘探目標(biāo)、運(yùn)輸貨物，因此成為各國研究熱點(diǎn)。平流層氣象條件穩(wěn)定，風(fēng)速較低，適合飛艇長期懸停。

盡管平流層氣象條件良好，但大量研究表明，高空飛艇所處大氣環(huán)境比較復(fù)雜特殊，尤其風(fēng)場的隨機(jī)不確定性干擾對飛艇航跡和定點(diǎn)懸停影響顯著，不容忽視。飛艇屬于典型的低動態(tài)飛行器，低空空速一般為13．9m/s～41．7m/s。由于螺旋槳在高空稀薄大氣的工作效率低，所以飛艇在高空能夠產(chǎn)生的空速更低。但根據(jù)真實(shí)氣象數(shù)據(jù)，即使在平流層海拔20km的高度，冬季平均風(fēng)都會超過40m/s。據(jù)報(bào)道，谷歌氣球在平流層187天內(nèi)整整環(huán)繞地球跑了9圈，可見風(fēng)場對浮空器位置影響極大。

工程中一般采用傳統(tǒng)的Dryden模型對風(fēng)場進(jìn)行模擬，即紊流風(fēng)速可視作隨機(jī)過程。仿真時先求取紊流風(fēng)速的傳遞函數(shù)，然后輸入白噪聲，輸出即為紊流風(fēng)速［1］。但許多工況下，例如飛艇航跡進(jìn)行動態(tài)優(yōu)化、飛艇編隊(duì)飛行等，一維紊流場具有較大的局限性，難以滿足仿真需求。為了更準(zhǔn)確地反映風(fēng)速對飛艇飛行活動的影響，同時為了后續(xù)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的需要，需要建立二維紊流風(fēng)場模型。

另外，已公開發(fā)表的大量關(guān)于飛艇動力學(xué)建模的文獻(xiàn)中，僅描述了作用在飛艇上的外力和外力矩與運(yùn)動狀態(tài)變量之間的函數(shù)關(guān)系［2］，沒有明確給出風(fēng)場環(huán)境對飛艇的影響，因而不能準(zhǔn)確反映復(fù)雜環(huán)境下飛艇的飛行規(guī)律。因此本文在傳統(tǒng)六自由度飛行器動力學(xué)模型基礎(chǔ)上，構(gòu)建可信度高的風(fēng)場擾動下的飛艇動力學(xué)模型。

1 大氣紊流模型

大氣紊流是一種較為復(fù)雜的物理現(xiàn)象，在實(shí)際工程應(yīng)用中，如本文研究紊流風(fēng)速對飛艇運(yùn)動特性的影響時，一般采用合理地假設(shè)［3］，建立可靠、簡化的工程模型。

1.1 大氣紊流基本假設(shè)

（1）平穩(wěn)性和均勻性假設(shè)

假設(shè)大氣紊流的統(tǒng)計(jì)特性不隨時間和位置發(fā)生變化，因此飛行器在大氣中飛行時，紊流風(fēng)速可視作平穩(wěn)隨機(jī)過程。

（2）各項(xiàng)同性假設(shè)

假設(shè)大氣紊流的統(tǒng)計(jì)量不隨坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)而變化，與方向無關(guān)。因此研究紊流風(fēng)速時，可以任意假設(shè)坐標(biāo)軸的方向。相關(guān)研究表明，該假設(shè)適用于中高空紊流。因此對海拔20km的平流層飛艇來說，該假設(shè)是可行的。

（3）Gauss分布假設(shè)

假設(shè)紊流風(fēng)速大小服從正態(tài)分布。

（4）Taylor凍結(jié)場假設(shè)

一般情況下，紊流風(fēng)速度Uw是時間t和空間位置r的函數(shù)。滿足：

當(dāng)飛艇在大氣中運(yùn)動時，它受到的風(fēng)速變化率為：

假設(shè)紊流速度的改變量相對飛艇速度足夠小，可以忽略不計(jì)，即當(dāng)式（2）右邊第1項(xiàng)遠(yuǎn)小于第2項(xiàng)時，式（2）可近似化為：

上述過程稱為Taylor凍結(jié)場假設(shè)。

1.2 傳統(tǒng)紊流模型的局限性

傳統(tǒng)生成紊流風(fēng)場方法的局限性［4-5］在于：一維紊流風(fēng)場模型無法推廣到高維，因?yàn)闊o法按照假設(shè)條件將空間頻譜函數(shù)轉(zhuǎn)化成時間頻譜函數(shù)；另外，二維紊流場無法像一維紊流場那樣生成濾波器函數(shù)，因?yàn)殡y以生成二維紊流場。

文獻(xiàn)［6］給出生成二維紊流風(fēng)場的方法，即分別沿x、y方向生成一維速度序列，如圖1所示。

圖1 二維紊流網(wǎng)格Fig.1 Turbulence grid of two dimensional

圖1表明，（i，j）點(diǎn)的風(fēng)速值大小為x、y方向序列在該點(diǎn)處的算術(shù)平均值，即：

按式（4）可生成整個紊流網(wǎng)格序列，但這樣有很大的局限性。從圖2可以看出，這會使（i，j）點(diǎn)處的紊流值僅與（i-1，j）有關(guān)，而與點(diǎn)（i，j-1）無關(guān)。

圖2 二維紊流相關(guān)點(diǎn)Fig.2 Turbulence related points of two dimensional

實(shí)際上，只有當(dāng)二維紊流場是獨(dú)立的隨機(jī)過程時，即滿足式（5），該結(jié)論才成立。

對于Dryden模型，縱、橫向相關(guān)函數(shù)分別如下：

由式（7）得：

由式（8）可知，二維紊流場不是獨(dú)立的隨機(jī)過程，因此必須考慮點(diǎn)（i-1，j-1）。所以，式（4）的算法對于二維紊流風(fēng)場不成立。

1.3 大氣紊流的強(qiáng)度和尺度

根據(jù)式（8），可得：

其中，σ是紊流強(qiáng)度均方差，h是采樣步長，L是紊流尺度。

（1）強(qiáng)度選擇

對于Dryden模型，按照超越概率分等級。例如：1/102概率為輕度紊流風(fēng)，1/103概率為中度紊流風(fēng)，1/105概率為嚴(yán)重紊流風(fēng)。在65000ft（19812m）的海拔高度，標(biāo)準(zhǔn)差超越穩(wěn)態(tài)風(fēng)速8ft/s（2．5m/s）以上的概率為1/105，所以這個高度的紊流風(fēng)速強(qiáng)度取為：σwx＝σwy＝2．5m/s。

（2）尺度選擇

地面533m以上脈動風(fēng)尺度取為：

1.4 離散自遞歸模型

由1．2小節(jié)可知，圖2中（i，j）點(diǎn)處的紊流值與（i-1，j）、（i，j-1）、（i-1，j-1）這3處的紊流值相關(guān)，根據(jù)1．1小節(jié)中的假設(shè)條件，建立二維1階自遞歸模型：

下面給出系數(shù)a1、a2、a3、σw的具體算法。

設(shè)Rij＝E［w（x，y）w（x+ih，y+jh）］。其中，h是采樣步長，i＝0、1、2、…，j＝0、1、2、…。

于是：

采用Cramer法則求解式（11），得系數(shù)a1、a2、a3。

根據(jù)式（10）～式（12），結(jié)相應(yīng)的紊流強(qiáng)度、尺度參數(shù)值，選擇合適的步長，給出維紊流場的局部樣本，如圖3、圖4所示。

由圖3、圖4可知，紊流的東風(fēng)分量沿x方向的波動范圍是（3m/s，-30m/s），沿y方向的波動范圍是（5m/s，-20m/s）；紊流的北風(fēng)分量沿x方向的波動范圍是（-3m/s，-30m/s），沿y方向的波動范圍是（-5m/s，-20m/s）。由此看來，擾動風(fēng)速與飛艇巡航速度15m/s～20m/s相比，量級相當(dāng)。因此飛艇在平流層風(fēng)場中運(yùn)動時，大氣紊流的擾動不能忽略，建模要充分考慮風(fēng)速變化對飛艇運(yùn)動特性的影響。

2 大氣紊流擾動下飛艇動力學(xué)模型

2.1 飛艇六自由度方程

為簡化推導(dǎo)過程，進(jìn)行以下基本假設(shè)：

1）將飛艇視為剛體，忽略艇體的彈性變形。

2）飛艇的外形和質(zhì)量分布關(guān)于縱平面oxbzb對稱，且體積中心和浮心重合。

3）忽略副氣囊充放氣導(dǎo)致的質(zhì)量變化。

4）忽略地球旋轉(zhuǎn)及曲率，將地面坐標(biāo)系近似為慣性坐標(biāo)系。

上述假設(shè)對于區(qū)域駐留段和低速巡航段的飛艇而言，基本符合實(shí)際情況。

大氣擾動飛行原理的最基本關(guān)系是速度三角形［2］，地速UK、風(fēng)速Uw、空速U三者之間有如下關(guān)系：

上述3個速度作用在飛艇體積中心，它們在艇體系中的分量為：

由理論力學(xué)知，艇體坐標(biāo)系中，風(fēng)場干擾下的非線性飛艇六自由度模型如式（15）所示：

Fx、Fy、Fz是合力沿3個坐標(biāo)軸的分量，p、q、r是角速度在艇體坐標(biāo)系中的分量。

［xgygzg］T是質(zhì)心在地系中的坐標(biāo)分量，風(fēng)速Uw在地系中的坐標(biāo)分量［wxgwygwzg］T，Tgb為艇體坐標(biāo)系到地面坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣［3］。

其中，L、M、N是總力矩在艇體坐標(biāo)系中的分量，Ix、Iy、Iz是慣性矩，Izx是慣性積。

其中，θ、ψ、φ是姿態(tài)角。

2.2 水平面內(nèi)飛艇動力學(xué)模型

存在風(fēng)場擾動時，平流層飛艇在控制系統(tǒng)的作用下，依靠自身動力系統(tǒng)回到指定位置，并長期懸停于某地。因此平流層飛艇主要以水平面內(nèi)運(yùn)動為主，即僅考慮飛艇的前向和側(cè)向運(yùn)動，不考慮豎直方向的運(yùn)動、滾轉(zhuǎn)俯仰運(yùn)動［7］。參照潛水艇的建模思路［8］，對2．1小節(jié)中建立的飛艇動力學(xué)模型進(jìn)行水平與豎直解耦，得到簡化后的水平面內(nèi)動力學(xué)模型如式（19）所示：

3 數(shù)值仿真

3.1 配平

要保證飛艇在水平面內(nèi)做勻速直線運(yùn)動，則飛艇受到的合力與合力矩均等于0［9］。在此穩(wěn)定飛行狀態(tài)下，飛艇無非對稱運(yùn)動（側(cè)力、偏航力矩均為0），側(cè)滑角、方向舵偏角也為0。

3.2 飛艇動力學(xué)模型仿真

以某型號飛艇為例，在配平基礎(chǔ)上，根據(jù)擾動風(fēng)速自遞歸模型，采用Matlab和Simulink對隨機(jī)風(fēng)場下水平面內(nèi)飛艇運(yùn)動模型，進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。分有風(fēng)干擾和無風(fēng)擾動2種情形進(jìn)行討論。

由圖5可以看出，無風(fēng)情形下，飛艇在水平面內(nèi)沿x方向做定直平飛運(yùn)動，速度大小為20m/s，無側(cè)滑。所以，y方向速度和位移均為0。

圖5 無風(fēng)時飛艇速度、位移響應(yīng)Fig.5 Speed and displacement response of the airship without wind

圖6與圖5相比，可以看出，在大氣紊流的擾動下，飛艇不再保持20m/s的勻速運(yùn)動狀態(tài)，x方向速度分量出現(xiàn)隨機(jī)波動，y方向速度分量不再是0，波動幅度較大，飛艇產(chǎn)生不穩(wěn)定的側(cè)滑運(yùn)動；從圖6位移曲線可知，無控制狀態(tài)下，有風(fēng)作用時，飛艇運(yùn)動軌跡較為復(fù)雜，不再做勻速直線運(yùn)動，偏離無風(fēng)時的既定航線。綜上所述，紊流風(fēng)速對飛艇運(yùn)動特性影響較大，并且較大的風(fēng)速使飛艇處于不斷的顛簸狀態(tài)，對艇載設(shè)備造成不利影響，所以建立飛艇動力學(xué)模型時，必須考慮飛艇所處的外界環(huán)境，尤其風(fēng)場的影響對飛艇運(yùn)動帶來的干擾。

圖6 風(fēng)干擾時飛艇速度、位移響應(yīng)Fig.6 Speed and displacement response of the airship with wind

4 結(jié)論

本文在無風(fēng)狀態(tài)下飛行器六自由度方程的基礎(chǔ)上，結(jié)合風(fēng)速矢量三角形，推導(dǎo)出大氣紊流影響下的飛艇水平面內(nèi)動力學(xué)方程，并根據(jù)已有的飛艇氣動數(shù)據(jù)，對飛艇的運(yùn)動特性進(jìn)行仿真。結(jié)果表明：無風(fēng)干擾時，飛艇按照既定航線做勻速平飛運(yùn)動；加上擾動風(fēng)后，飛艇的運(yùn)動軌跡出現(xiàn)了較大變化，呈現(xiàn)不穩(wěn)定的隨機(jī)波動特性。另外，本文構(gòu)建的風(fēng)擾條件下高空飛艇水平面內(nèi)動力學(xué)模型，可為后續(xù)平流層飛艇長航時懸停的控制器設(shè)計(jì)提供一定的依據(jù)。

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Study for the Horizontal Movement of Airship under the Two-dimensional Turbulence

WANG He1，2，LI Zhi-bin3
（1．Beijing Institute of Control Engineering，Beijing 100190；2．Science and Technology on Space Intelligence Control Laboratory，Beijing 100190；3．Academy of Opo-electronics，Chinese Academy of Sciences，Beijing 100094）

Atmospheric turbulence is a key factor that affects airship fixed-point hover．When building the turbulent flow model，the Dryden model based on the spectral decomposition theorem is adopted．But the traditional method only generate one-dimensional atmospheric turbulence model．It is necessary to build two-dimensional atmospheric turbulence model for the complex flight movement of the airship．Firstly，a recursive model of two-dimensional turbulence based on the spacerelated function is adopted to construct the wind field in this paper．Secondly，the dynamic model of the airship under the disturbance of the wind field is built according to the wind velocity triangle relationship．And then the model is decoupled in the horizontal and vertical direction．The simulation results indicate that the forces of wind acting on the airship will make it deviate from the flight trajectory comparing with no wind．Therefore，the paper conforms that turbulence effect needs to be considered when the dynamic model of airship is constructed．

atmospheric turbulence；two-dimensional turbulence；the dynamic model of the airship

V212

A

1674-5558（2017）01-01382

10．3969/j．issn．1674-5558．2017．03．001

王鶴，女，博士，飛行控制專業(yè)，研究方向?yàn)轱w行器設(shè)計(jì)與控制。

2017-03-28

國家自然科學(xué)基金（編號：61273199，61603320）