馮婷婷

摘要：針對(duì)配電網(wǎng)電能質(zhì)量（PQ）海量監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)采集、存儲(chǔ)和傳輸?shù)入y點(diǎn)問(wèn)題，引入壓縮傳感理論，研究配電網(wǎng)PQ信號(hào)壓縮傳感的實(shí)現(xiàn)方法；采用高斯隨機(jī)測(cè)量矩陣獲取PQ信號(hào)的線性測(cè)量值；基于傅里葉基矩陣對(duì)壓縮感知信號(hào)進(jìn)行正交匹配追蹤重構(gòu)，測(cè)試并分析信號(hào)稀疏特性、隨機(jī)測(cè)量次數(shù)與信號(hào)重構(gòu)精度的關(guān)系。試驗(yàn)結(jié)果表明，基于傅里葉投影空間的正交匹配追蹤算法可對(duì)諧波、間諧波等穩(wěn)態(tài)PQ壓縮感知信號(hào)進(jìn)行精確重構(gòu)，重構(gòu)精度可達(dá)數(shù)量級(jí)。

關(guān)鍵詞：壓縮傳感；隨機(jī)測(cè)量；信號(hào)重構(gòu)算法；傅立葉基；電能質(zhì)量

中圖分類(lèi)號(hào)：TP206 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-1161（2017）01-0049-03

近年來(lái)，智能電網(wǎng)迅速發(fā)展，風(fēng)力、微水、光伏等分布式電源的接入，使配電網(wǎng)從無(wú)源網(wǎng)絡(luò)向有源網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)變，導(dǎo)致電能質(zhì)量（Power Quality，簡(jiǎn)稱(chēng)PQ）問(wèn)題變得更加復(fù)雜。電力負(fù)荷中大量增加的電力電子裝置和敏感設(shè)備，既帶來(lái)了大量的電能質(zhì)量問(wèn)題，又對(duì)配電網(wǎng)電能質(zhì)量提出了更高要求。配電網(wǎng)電能質(zhì)量監(jiān)測(cè)與治理等問(wèn)題成為研究熱點(diǎn)。

壓縮傳感（Compressive Sensing，簡(jiǎn)稱(chēng)CS）理論通過(guò)全局觀測(cè)（Global Measurement）或線性測(cè)量（Linear Measurement）直接獲取原始信號(hào)的壓縮值，將傳統(tǒng)的信號(hào)采集與壓縮合并進(jìn)行，略過(guò)信號(hào)的高采樣率采集過(guò)程，突破奈奎斯特采樣頻率約束，大大節(jié)約數(shù)據(jù)采集、存儲(chǔ)、壓縮、傳輸?shù)拳h(huán)節(jié)消耗的硬件資源，最后通過(guò)正交匹配追蹤等重構(gòu)算法從壓縮感知信號(hào)中恢復(fù)原始信號(hào)，供后續(xù)檢測(cè)處理使用。

針對(duì)電能質(zhì)量信號(hào)壓縮感知與重構(gòu)等核心問(wèn)題，研究電能質(zhì)量信號(hào)在傅里葉基、小波基下的稀疏特性（Sparsity）及線性測(cè)量方法；基于正交匹配追蹤（Orthogonal Matching Pursuit，簡(jiǎn)稱(chēng)OMP）思想，通過(guò)局部最優(yōu)化依次尋求壓縮感知信號(hào)的非零系數(shù)，即信號(hào)稀疏表示向量評(píng)估值，從而獲得原始信號(hào)重構(gòu)。

1 壓縮傳感基本原理

1.1 線性測(cè)量原理

對(duì)于任意一維的實(shí)信號(hào)x∈RN×1，信號(hào)長(zhǎng)度為N。只要能找到對(duì)應(yīng)的稀疏表示空間Ψ，理論上均是可壓縮的，一般空間Ψ為正交變換空間。根據(jù)公式（1）將信號(hào)x投影到Ψ空間：

yi=或Y=Ψx （1）

式中：Ψ稱(chēng)為正交基；y為信號(hào)到Ψ域的投影系數(shù)。

則x可由式（2）反變換表示：

x=ΨHy （2）

式中：ΨH為Ψ的反變換。

對(duì)于變換系數(shù)y能量比x集中，經(jīng)過(guò)正交投影變換去除信號(hào)x中的冗余，即y中只包含K個(gè)少量的大值系數(shù)，K<

確定信號(hào)稀疏便可實(shí)現(xiàn)信號(hào)壓縮。壓縮傳感策略是將傳統(tǒng)信號(hào)的采集與壓縮同時(shí)完成，直接獲取信號(hào)的壓縮測(cè)量值s，由公式（3）線性測(cè)量實(shí)現(xiàn)：

s=Φx=ΦΨHy （3）

記ACS=ΦΨH。其中，Φ∈RM×N，稱(chēng)為測(cè)量矩陣；s為測(cè)量值，長(zhǎng)度為M。壓縮傳感直接通過(guò)測(cè)量矩陣Φ獲得信號(hào)的壓縮表示，而未經(jīng)過(guò)原始信號(hào)的高采樣率采樣不需要獲得信號(hào)的N個(gè)樣值（一般M<

全局觀測(cè)矩陣的每一行{Φj}，j=1，2，……，M可以視為一個(gè)傳感器對(duì)信號(hào)的測(cè)量即相乘過(guò)程。拾起信號(hào)的一部分信息，M次測(cè)量便得到信號(hào)的M個(gè)測(cè)量值。測(cè)量矩陣需滿(mǎn)足公式（4）定義的約束等距性條件，以保證M個(gè)測(cè)量值中包含原信號(hào)全部信息：

（1-δ）‖x‖2 ≤ ‖s‖2 ≤ （1+δ）‖x‖2 （4）

其中：δ∈（0，1）。

約束等距性條件保證線性測(cè)量具有穩(wěn)定的能量性質(zhì)，即K稀疏信號(hào)x經(jīng)過(guò)線性測(cè)量后仍保持K個(gè)重要分量的長(zhǎng)度。

測(cè)量矩陣約束等距性條件的等價(jià)條件為：測(cè)量矩陣Φ與信號(hào)稀疏表示基矩陣ΨH不相關(guān)。該條件的含義可以從公式（3）看出：由于矩陣Φ與ΨH不相關(guān)，則每次測(cè)量都會(huì)得到與原信號(hào)幾乎不同的信息，以保證少量測(cè)量值包含原信號(hào)的全部信息。

1.2 壓縮感知信號(hào)重構(gòu)原理

壓縮傳感的另一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題是，從長(zhǎng)度為M測(cè)量向量s中恢復(fù)長(zhǎng)度為N（M<

第二步，根據(jù)公式（6）計(jì)算向量y的估計(jì)值，并將搜索到的最相關(guān)列向量去除。

第三步，計(jì)算殘差，并判斷殘差是否很小。

2 基于傅里葉基信號(hào)壓縮傳感與重構(gòu)效果

利用Matlab仿真平臺(tái)產(chǎn)生諧波、間諧波和電壓暫降等電能質(zhì)量信號(hào)，運(yùn)用高斯隨機(jī)測(cè)量矩陣實(shí)現(xiàn)信號(hào)的線性測(cè)量，得到壓縮感知信號(hào)；基于傅里葉基（或投影空間）采樣正交匹配追蹤算法，利用線性測(cè)量值得到信號(hào)的重構(gòu)值；最后，在同等試驗(yàn)條件下測(cè)定不同測(cè)量次數(shù)與重構(gòu)精度的關(guān)系。

算例模型為：

x1（t）=A1cos（2πf1t）+ A2cos（2πf2t）+ A3cos（2πf3t）+

A4cos（2πf4t） （7）

式中：f1=50 Hz，f2=80 Hz，f3=150 Hz，f4=250 Hz；幅度分別為A1=1.00 V，A2=0.03 V，A3=0.20 V，A4=0.15 V，采樣率為800 Hz，信號(hào)長(zhǎng)度取256個(gè)點(diǎn)。

2.1 壓縮感知信號(hào)重構(gòu)效果

對(duì)上述諧波、間諧波仿真模型進(jìn)行高斯隨機(jī)測(cè)量，獲得其線性測(cè)量值，隨機(jī)測(cè)量次數(shù)為64次?；谡黄ヅ渥粉櫵惴▽?shí)現(xiàn)信號(hào)重構(gòu)，正交投影空間選擇傅里葉空間，按公式（8）計(jì)算信號(hào)的重構(gòu)精度：

壓縮傳感采樣與重構(gòu)程序運(yùn)行20次，信號(hào)平均重構(gòu)誤差為1.06×10-4。試驗(yàn)結(jié)果表明，OMP算法可以從隨機(jī)測(cè)量值中較好的重構(gòu)諧波、間諧波信號(hào)，其中某次試驗(yàn)結(jié)果的原始信號(hào)與重構(gòu)信號(hào)波形如圖1所示。

圖1（a）為原始信號(hào)；圖1（b）為原始信號(hào)與重構(gòu)信號(hào)對(duì)比效果。由圖1可以直觀看出，重構(gòu)信號(hào)非常接近原始信號(hào)。

2.2 測(cè)量次數(shù)與重構(gòu)精度關(guān)系測(cè)定

為分析隨機(jī)測(cè)量次數(shù)M對(duì)信號(hào)重構(gòu)精度的影響，選取測(cè)量次數(shù)分別為2，4，8，16，32，64，128七組，對(duì)式（7）信號(hào)進(jìn)行壓縮與重構(gòu)，每組測(cè)量次數(shù)Mi程序運(yùn)行20次，計(jì)算平均重構(gòu)誤差，作為隨機(jī)測(cè)量次數(shù)對(duì)應(yīng)的重構(gòu)誤差，結(jié)果列于表1。

從表1中的數(shù)據(jù)來(lái)看，當(dāng)測(cè)量次數(shù)小于8次時(shí)，重構(gòu)誤差很大，最小誤差為0.161 2，說(shuō)明OMP算法不能從隨機(jī)測(cè)量值中正確恢復(fù)原始信號(hào)；隨著測(cè)量次數(shù)的增加，信號(hào)重構(gòu)誤差越來(lái)越小，當(dāng)測(cè)量次數(shù)大于16次時(shí)，重構(gòu)精度迅速增加，誤差降低至數(shù)量級(jí)；測(cè)量次數(shù)從16增加到128，重構(gòu)誤差逐步減小，但仍保持在數(shù)量級(jí)，說(shuō)明信號(hào)重構(gòu)效果達(dá)到一定精度后，不再隨著測(cè)量次數(shù)的增加而明顯減小。為精確重構(gòu)原始信號(hào)，隨機(jī)測(cè)量次數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足如下關(guān)系：

M≥Klog（N/K） （9）

式中：K為信號(hào)稀疏度；N為信號(hào)長(zhǎng)度。

試驗(yàn)信號(hào)包含4個(gè)頻率分量，稀疏度為4；信號(hào)長(zhǎng)度為256，根據(jù)公式（9）計(jì)算得最少測(cè)量次數(shù)應(yīng)該為24。由試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果可知，當(dāng)測(cè)量次數(shù)大于16后，信號(hào)重構(gòu)效果理想，說(shuō)明試驗(yàn)結(jié)果可靠。

3 結(jié)論

通過(guò)高斯隨機(jī)測(cè)量矩陣實(shí)現(xiàn)試驗(yàn)信號(hào)的壓縮感知，分別基于FFT基矩陣和小波基矩陣實(shí)現(xiàn)感知信號(hào)的正交匹配追蹤重構(gòu)。試驗(yàn)結(jié)果表明：本研究方法可有效實(shí)現(xiàn)電能質(zhì)量信號(hào)的壓縮傳感；隨機(jī)測(cè)量次數(shù)越多，信號(hào)重構(gòu)精度越高，當(dāng)測(cè)量次數(shù)達(dá)到公式（9）約束的關(guān)系后，重構(gòu)精度基本穩(wěn)定；基于FFT基的信號(hào)重構(gòu)算法適合諧波、間諧波等穩(wěn)態(tài)PQ信號(hào)的壓縮傳感。

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