郭芳承

(隴東學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅慶陽745000)

負(fù)曲率流形中極小超曲面的特征值估計(jì)

郭芳承

(隴東學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅慶陽745000)

極小超曲面；特征值估計(jì)；Yamabe不變量；比較定理

Δf=div(

Mn中測地球B(p,r)上Dirichlet邊值問題定義為

它具有離散特征值,其第一非零特征值記為λ1(B(p,r))，由特征值的區(qū)域單調(diào)性原理，λ1(B(p,r))關(guān)于半徑r遞減且與點(diǎn)p的選擇無關(guān)。進(jìn)而,整個(gè)流形Mn上的第一特征值定義為

λ1(Mn)?

研究λ1(Mn)與流形的幾何結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系是幾何分析領(lǐng)域一個(gè)重要問題。

本文借助于Hessian比較定理,推廣了P.T.Ho的結(jié)果,得到如下結(jié)論。

注：當(dāng)k0=k1=1時(shí),上述結(jié)論即為P.T.Ho得到的雙曲空間中的相應(yīng)結(jié)果。

1 基本事實(shí)

為了將雙曲空間中結(jié)論推廣到截面曲率有界流形上,我們需要對它們距離函數(shù)的Hessian算子進(jìn)行比較,即需要如下Hessian比較定理。

Hessian比較定理[7]設(shè)

引理2.1 設(shè)完備流形(Mn,g)的截面曲率K(Mn)≤δ，ρ是Mn上從點(diǎn)p出發(fā)的距離函數(shù),γ:[0,r]→Mn是Mn上從點(diǎn)p出發(fā)的極小正規(guī)測地線,則對于任何X∈Tγ(t)Mn，有

在研究超曲面的幾何性質(zhì)時(shí),如下引理提供的外圍空間上光滑函數(shù)及其限制在超曲面上時(shí)Laplace算子之間的關(guān)系是重要的。

引理2.2[8]設(shè)∑n是等距嵌入在n+1維黎曼流形Mn+1中的超曲面,則對任意f∈C∞(Mn+1)，有

其中v是∑n在Mn+1中的單位法向量場,H是∑n的平均曲率向量。

主定理中的上界估計(jì)要用到超曲面的Yamabe不變量小于零的條件,其定義如下。

其中

這里Rg和dvg分別為度量g的數(shù)量曲率和體積元,進(jìn)而流形(Mn,g)的光滑Yamabe不變量定義為

同時(shí)還要用到如下超曲面穩(wěn)定極小的概念。

(2.1)

當(dāng)V″(0)≥0時(shí),稱∑n是穩(wěn)定的,其中B是∑n的第二基本形式,Ric(v)是Mn+1上沿著方向v的Ricci曲率。

若外圍空間截面曲率有負(fù)下界,則有如下事實(shí)。

其中Rm表示∑n的數(shù)量曲率。

2 主定理的證明

設(shè)ρ是Mn+1上從某點(diǎn)p出發(fā)的距離函數(shù),取Mn+1上點(diǎn)p處某一鄰域內(nèi)一組單位正交標(biāo)架{e1,e2,…,en，en+1}，使其中前n個(gè),即{e1,e2,…,en}切于超曲面∑n，則由引理2.2

(3.1)

(3.2)

(3.3)

div(f2ρ)=〈f2,ρ〉+f2Δρ

(3.4)

由帶ε的Young不等式,對某ε>0有

進(jìn)而(3.4)整理為

div(f2

對其在∑n上積分得

據(jù)Rayleigh原理(參見[9]或[10])得

至此,完成了下界估計(jì),下面給出上界估計(jì)。

由∑n上Yamabe不變量σ(∑n)<0知,對∑n上誘導(dǎo)度量g，有Y(g)<0，從而對于任意非負(fù)函數(shù)f∈C∞(∑n)，有

(3.5)

再由∑n穩(wěn)定極小,結(jié)合引理2.3得

(3.6)

結(jié)合(3.5)和(3.6)得

即

從而

至此,我們完成了整個(gè)定理的證明。

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【責(zé)任編輯 朱世廣】

Eigenvalue Estimates for Minimal Surface Embedded in Manifold with Negative Curvature

GUO Fang-cheng

(SchoolofMathematicsandStatistics,LongdongUniversity,Qingyang745000,Gansu)

minimal surface;eigenvalue estimates;Yamabe invariant;comparison theorem

1674-1730(2017)03-0004-03

2016-11-09

隴東學(xué)院青年科技創(chuàng)新項(xiàng)目《流形上Laplace和P-Laplace算子特征值研究》(XYZK-1002)

郭芳承(1982—),男,甘肅西峰人,講師,博士,主要從事幾何分析理論研究。

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