彭捷　李成　鄧陽(yáng)　劉萍　羅振國(guó)

摘 要：以衡陽(yáng)市古漢養(yǎng)生精為研究對(duì)象，運(yùn)用分?jǐn)?shù)階微積分知識(shí)和Matlab軟件編程。簡(jiǎn)要分析了藥物在生物體內(nèi)吸收、分布、代謝和排泄的速度規(guī)律，以期為臨床醫(yī)學(xué)治療提供一些幫助。

關(guān)鍵詞：古漢養(yǎng)生精；藥物代謝動(dòng)力學(xué)；分?jǐn)?shù)階微積分；藥動(dòng)學(xué)模型

中圖分類號(hào)：O175 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.15913/j.cnki.kjycx.2017.08.073

古漢養(yǎng)生精是由人參、炙黃芪、枸杞子、女貞子（制）、菟絲子和金櫻子肉等12味中藥材制成的，它屬于中藥制成的滋陰壯陽(yáng)藥物，具有提高男性性功能的作用。該藥具有滋腎益精、補(bǔ)腦安神的功效，臨床主治腦動(dòng)脈硬化、冠心病、前列腺增生、更年期綜合征、病后虛弱等癥。迄今為止，相關(guān)人員還未檢測(cè)到針對(duì)古漢養(yǎng)生精展開藥代動(dòng)力學(xué)研究的文獻(xiàn)，因此，對(duì)古漢養(yǎng)生精進(jìn)行藥代動(dòng)力學(xué)研究是非常有必要的。開展古漢養(yǎng)生精藥物代謝動(dòng)力學(xué)研究，對(duì)闡明和揭示古漢養(yǎng)生精藥效物質(zhì)基礎(chǔ)和作用機(jī)制、設(shè)計(jì)及其優(yōu)選古漢養(yǎng)生精給藥方案、促進(jìn)古漢養(yǎng)生精研發(fā)、劑型改進(jìn)和質(zhì)量控制有非常重要的意義。

筆者將簡(jiǎn)單回顧分?jǐn)?shù)階微積分的概念，分析現(xiàn)在分?jǐn)?shù)階微積分的應(yīng)用情況，然后建立基于分?jǐn)?shù)階微積分的古漢養(yǎng)生精藥動(dòng)學(xué)模型，繼而著重分析和論述由模型得出的結(jié)果，從而為臨床醫(yī)學(xué)治療提供一定幫助。

1 分?jǐn)?shù)階微積分概念

1.1 分?jǐn)?shù)階微積分背景和定義

300多年前，分?jǐn)?shù)階微積分誕生了。眾多周知，分?jǐn)?shù)階微積分是古典微積分的延伸，即階次的擴(kuò)展——當(dāng)整數(shù)n變成分

數(shù)時(shí)，導(dǎo)數(shù) 是否成立？當(dāng)整數(shù)n變?yōu)闊o(wú)理數(shù)或復(fù)數(shù)，導(dǎo)數(shù) 是否同樣成立？

1695年，萊布尼茨以通信的方式與洛必達(dá)探討過(guò)函數(shù)的分?jǐn)?shù)階微分問題。萊布尼茨在信中向洛必達(dá)提出這個(gè)問題：“如果把微分運(yùn)算中微分的階數(shù)由整數(shù)變?yōu)榉謹(jǐn)?shù)，此時(shí)，微分表示什么意義呢？”洛必達(dá)認(rèn)為，這個(gè)問題非常有趣，在回信中回復(fù)：

“當(dāng)微分的次數(shù)是 ，此微分有什么意義呢？”顯然，在當(dāng)時(shí)，這些問題還很難解決。1819年，拉科魯瓦給出了

這個(gè)答案，這是關(guān)于分?jǐn)?shù)階微積分的最早結(jié)果，具體詳見參考文獻(xiàn)[4]。

隨著分?jǐn)?shù)階微積分的發(fā)展，黎曼、劉維爾、格倫沃爾、列特尼科夫和卡普托等數(shù)學(xué)家從不同角度先后給出了幾種分?jǐn)?shù)階微積分的定義。下面，我們簡(jiǎn)單介紹幾種常用的分?jǐn)?shù)階微積分定義。

1.2 拉普拉斯變換在分?jǐn)?shù)階微積分的應(yīng)用

拉普拉斯變換法是討論整數(shù)階微分方程初值問題的一種重要方法，且被廣泛應(yīng)用于藥動(dòng)學(xué)中。對(duì)于分?jǐn)?shù)階微分方程的初值問題，也可以采用拉普拉斯變換法。近年來(lái)，許多專家學(xué)者利用拉普拉斯變換法來(lái)研究分?jǐn)?shù)階微分方程，主要方法是將偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程，而且在同一代數(shù)域上考慮方程中不同階數(shù)的微積分算子，大大簡(jiǎn)化求解過(guò)程。下面，列出幾個(gè)常用的分?jǐn)?shù)階拉普拉斯變換公式。

函數(shù)的分?jǐn)?shù)階積分和函數(shù)分?jǐn)?shù)微分之間有很大的不同，計(jì)算f（t）分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的初值是函數(shù)的分?jǐn)?shù)階積分定義的拉普拉斯變換所需要。在實(shí)際工程應(yīng)用中，很難得到這樣的初值，且并不明確其幾何意義和物理意義，所以，整數(shù)階微積分的拉普拉斯變換與函數(shù)分?jǐn)?shù)微分定義下分?jǐn)?shù)階算子的拉普拉斯變換所需初值相同，形式比較簡(jiǎn)潔，適合解其解析值。

1.3 分?jǐn)?shù)階微積分的應(yīng)用

對(duì)于阿貝爾積分方程與等時(shí)問題，劉維爾位勢(shì)理論等應(yīng)用為分?jǐn)?shù)階微積分的發(fā)展注入了新的活力。近年來(lái)，分?jǐn)?shù)階微分方程在分形幾何、金融數(shù)學(xué)、生物科學(xué)、控制理論、光學(xué)和化學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用越來(lái)越廣泛。這標(biāo)志著分?jǐn)?shù)階微積分已經(jīng)成為了解決實(shí)際問題的重要工具之一。

2 古漢養(yǎng)生精的藥動(dòng)學(xué)模型

運(yùn)用數(shù)學(xué)方法模擬藥物在體內(nèi)吸收、分布和消除的變化過(guò)程而建立起來(lái)的數(shù)學(xué)模型，稱作藥代動(dòng)力學(xué)模型。其中，倉(cāng)室模型、統(tǒng)計(jì)矩模型和藥物動(dòng)力學(xué)模型最常見，而一般的倉(cāng)室模型使用的是常微分方程。近年來(lái)，針對(duì)許多社會(huì)現(xiàn)象，比如個(gè)體化給藥時(shí)所建立的數(shù)學(xué)模型驗(yàn)證效果不好，因此，許多學(xué)者考慮采用新的數(shù)學(xué)建模方法來(lái)解決許多現(xiàn)實(shí)問題。在研究古漢養(yǎng)生精的藥動(dòng)學(xué)時(shí)，我們建立了分?jǐn)?shù)階微方程模型。

2.1 古漢養(yǎng)生精的二室分?jǐn)?shù)階模型

在學(xué)者們建立的藥動(dòng)學(xué)模型中，雖然一室模型非常簡(jiǎn)便，但是，它太粗糙，不能滿足當(dāng)今社會(huì)對(duì)藥物治療的需求。因此，我們可以考慮用更多的房室來(lái)描述數(shù)據(jù)和復(fù)雜的模型。目前，公認(rèn)較好是二室模型。二室模型與一室模型相比精確度好，只是需要計(jì)算稍復(fù)雜。二室分?jǐn)?shù)階模型如圖1所示。

2.2 二室模型的數(shù)值解

由于實(shí)際情況比較復(fù)雜，很難得到所建立的分?jǐn)?shù)階微分方程模型的精確解。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，常利用計(jì)算機(jī)程序?qū)Ψ謹(jǐn)?shù)階微分方程進(jìn)行離散化，仿真模擬，從而得到分?jǐn)?shù)階微分方程模型的數(shù)值解。對(duì)于古漢養(yǎng)生精，可采用以下方法進(jìn)行數(shù)值逼近模擬。

函數(shù)的分?jǐn)?shù)階積分適用于數(shù)值計(jì)算，而且在某些特定條件下，其與函數(shù)分?jǐn)?shù)階微分是等價(jià)的，則有式（15）成立，即：

本文使用受試者4的相干參數(shù)探究二室分?jǐn)?shù)階模型的中央室C-t曲線在不同α值下的影響。在其他參數(shù)相同的情況下，α分別取值為0.8，0.9，1.0，1.1.經(jīng)過(guò)計(jì)算機(jī)模擬，可得不同α值下的C-t曲線，具體如圖3所示。

從圖3中可以明顯看出，當(dāng)參數(shù)α=α1=α2>1時(shí)，與整數(shù)階情形α=1時(shí)相比，藥物濃度衰減速率要快；當(dāng)參數(shù)α=α1=α2<1時(shí)，與整數(shù)階情形α=1時(shí)相比，藥物濃度衰減速率要緩慢。因此，我們利用這個(gè)重要性質(zhì)來(lái)擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，從而更精準(zhǔn)地刻畫出藥動(dòng)學(xué)模型。

3 結(jié)束語(yǔ)

健康的身體是所有人的共同追求，而動(dòng)脈硬化、冠心病、前列腺增生、腫瘤等疾病卻常常讓我們身邊的人苦不堪言，重者甚至還會(huì)奪去生命。古漢養(yǎng)生精在這些方面有比較好的療效，毒副作用比較小，是中藥治療和中西結(jié)合治療的不錯(cuò)選擇。經(jīng)過(guò)研究，筆者希望可以運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)為醫(yī)學(xué)進(jìn)步盡一點(diǎn)綿薄之力。

本文運(yùn)用分?jǐn)?shù)階微積分知識(shí)，利用 Matlab 編程軟件得到濃度-時(shí)間曲線圖。在研究過(guò)程中，模擬了古漢養(yǎng)生精藥物的反常擴(kuò)散過(guò)程，與整數(shù)階情形相比較，其反常擴(kuò)散過(guò)程更符合實(shí)際情況，為臨床醫(yī)學(xué)治療提供了一定的參考，更為一般意義下的非線性分?jǐn)?shù)階模型和不同階次的模型動(dòng)力學(xué)行為研究指明了方向。

參考文獻(xiàn)

[1]徐文流，周聯(lián).古漢養(yǎng)生精配合放化療在腫瘤治療中對(duì)白細(xì)胞影響34例臨床觀察[J].北京中醫(yī)，1995（4）：64-65.

[2]劉禮意，孫兆泉，唐湘娟，等.古漢養(yǎng)生精抗動(dòng)脈粥樣硬化作用的實(shí)驗(yàn)探究[J].湖南中醫(yī)雜志，1995，11（2）：35-37.

[3]尹天雷，陳風(fēng)華，管紅英，等.古漢養(yǎng)生精治理神經(jīng)衰弱72例臨床觀察[J].湖南中醫(yī)雜志，2015，31（1）：43-44.

[4]郭柏靈.分?jǐn)?shù)階偏微分方程及其數(shù)值解[M].北京：科學(xué)出版社，2011：18-45.

[5]百占兵.分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題理論及應(yīng)用[M].北京：中國(guó)科學(xué)技術(shù)出版社，2012：1-37.

[6]胡海波，王林.冪律分布研究簡(jiǎn)史[J].物理，2005，34（12）：889-896.

[7]張浩.基于分?jǐn)?shù)階微積分的藥物代謝動(dòng)力學(xué)建模及其分析[D].武漢：華中科技大學(xué)，2013.

[8]Hilfer R.Fractional calculus in physics.Singapore：World scientific，2000.

作者簡(jiǎn)介：彭捷（1994—），男，湖南衡陽(yáng)人，本科，主要從事微分方程計(jì)算及應(yīng)用方面的研究。

〔編輯：白潔〕