高 揚(yáng)

(上海市政工程設(shè)計(jì)研究總院(集團(tuán))有限公司，上海 200092)

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基于板殼理論的梁板結(jié)構(gòu)導(dǎo)荷方式

高 揚(yáng)

(上海市政工程設(shè)計(jì)研究總院(集團(tuán))有限公司，上海 200092)

從板殼理論出發(fā)，首先計(jì)算了板撓度曲面的理論解，而后從梁的變形反推被導(dǎo)算到梁上的荷載，并以導(dǎo)荷函數(shù)的形式進(jìn)行了描述，通過研究導(dǎo)荷函數(shù)的性質(zhì)，清楚的反映了矩形板的平面尺寸及梁與板的剛度關(guān)系對結(jié)構(gòu)導(dǎo)荷方式的影響。

梁板結(jié)構(gòu)，矩形板，導(dǎo)荷方式，導(dǎo)荷函數(shù)，板殼理論

梁板結(jié)構(gòu)在承受豎向荷載作用時(shí)，板上荷載的導(dǎo)算方式是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)分析中的一個(gè)基本問題。現(xiàn)有的研究多停留于有限元模擬階段[1,2]，很難揭示更為本質(zhì)的機(jī)理。從工程角度來講，一般結(jié)構(gòu)所用的板(包括所謂的厚板結(jié)構(gòu))其厚度往往遠(yuǎn)小于平面尺寸，在板殼理論[3]中均屬于“薄板”的概念，應(yīng)當(dāng)存在一個(gè)統(tǒng)一的表達(dá)式來描述荷載的傳導(dǎo)方式。本文針對特定邊界條件下的矩形梁板結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，根據(jù)板撓度曲面的解析解反推梁上所導(dǎo)算到的荷載，并用導(dǎo)荷函數(shù)的形式表示，通過研究導(dǎo)荷函數(shù)的性質(zhì)來揭示板上荷載傳導(dǎo)的機(jī)理。

1 板的撓度曲面計(jì)算

1.1 撓度曲面方程與邊界條件

設(shè)矩形板邊長為a和b，厚度較之于平面尺寸是小量，板受均布面荷載q作用。考慮一種典型的約束情況，取對邊x=±a/2為簡支，對邊y=±b/2支承于彈性梁上，如圖1所示。

根據(jù)板殼理論，板的彎曲基本方程為:

(1)

其中，w為板的撓度；D為板的彎曲剛度。

邊界條件為:

1)當(dāng)x=±a/2時(shí)：

(2)

2)當(dāng)y=±b/2時(shí)：

(3)

其中，v為板的泊松比；C為梁的彎曲剛度。邊界條件式(2)表示板在簡支端的撓度為0，且沿x方向不傳遞彎矩；邊界條件式(3)表示在彈性梁處，梁的扭矩、剪力分別與板在相應(yīng)方向上的彎矩、剪力相平衡。

1.2 微分方程的解

微分方程(1)的解w包括特解w1和通解w2兩部分。根據(jù)結(jié)構(gòu)的對稱性可取特解為：

(4)

同時(shí)由分離變量法給出通解的一般形式為：

(5)

因而微分方程(1)的解就可以表示為w1+w2:

(6)

其中，Am和Bm均為待定系數(shù)，由邊界條件確定。

將式(6)代入邊界條件，有：

1)當(dāng)x=±a/2時(shí)，方程滿足邊界條件式(2)。

2)當(dāng)y=±b/2時(shí)，由邊界條件式(3)可得到：

(7)

(8)

其中，αm為矩形板兩邊長度的比值，αm=mπb/(2a)；λm為梁與板剛度的比值，λm=mπC/(aD)。將式(7),式(8)代入式(6)，矩形板在給定邊界條件和豎向荷載下的撓度曲面w就確定了。

2 板的導(dǎo)荷方式分析

傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)理念認(rèn)為，彈性板上荷載近似以單向板對邊受力、雙向板梯形三角形傳力的方式全部傳遞給了梁[4]。如果用函數(shù)去描述這些導(dǎo)算到梁上的荷載，那么函數(shù)的形狀就能直觀地顯示出板在忽略面外剛度時(shí)的導(dǎo)荷方式。稱這樣的函數(shù)為導(dǎo)荷函數(shù)，下文將推導(dǎo)梁板結(jié)構(gòu)在更為一般的情況下的導(dǎo)荷函數(shù)的表達(dá)式及相關(guān)性質(zhì)。

2.1 導(dǎo)荷函數(shù)的推導(dǎo)

在y=±b/2處，梁的撓度為:

(9)

(10)

因而梁上被導(dǎo)算到的荷載qb(x)為:

(11)

導(dǎo)荷函數(shù)即為:

(12)

其物理意義為：梁在單獨(dú)承受導(dǎo)算荷載qb(x)=f(x)q下的內(nèi)力變形和梁板協(xié)同承受面荷載q時(shí)梁的內(nèi)力變形相等。進(jìn)一步將導(dǎo)荷函數(shù)無量綱化得：

(13)

其中，φ為導(dǎo)荷函數(shù)的無量綱形式,φ=f/a；ξ為導(dǎo)荷函數(shù)的廣義坐標(biāo),ξ=x/a∈[-1/2,1/2]。

2.2 導(dǎo)荷函數(shù)的性質(zhì)

由式(13)可得導(dǎo)荷函數(shù)φ(ξ)是一個(gè)無窮三角級數(shù)。φ(ξ)的形狀由級數(shù)各項(xiàng)φm的形狀及衰減速率決定。而控制這個(gè)速率的就是表征板平面尺寸的αm和表征梁板剛度關(guān)系的λm。

考察當(dāng)λm較大，導(dǎo)荷函數(shù)式(13)可近似為:

(14)

可將其表示為圖2的形式。其中第1項(xiàng)占有絕對重要的比重，高階項(xiàng)衰減極快，取很少的幾項(xiàng)之和就可足夠逼近級數(shù)的值。

這也就說明了λm足夠大時(shí)，φ(ξ)的圖形是和φ1(ξ)比較接近的，亦比較接近三角形或者至少可以用三角形去近似計(jì)算。在傳統(tǒng)的梁板結(jié)構(gòu)中，梁的彎曲剛度遠(yuǎn)大于板，因而可以采用三角形分布的導(dǎo)荷方式將板上荷載傳遞給梁。

當(dāng)λm較小時(shí)，根據(jù)式(13)導(dǎo)荷函數(shù)可近似為式(15),見圖3。

(15)

與前一種情況相對應(yīng)地，隨m增大，級數(shù)各項(xiàng)的振幅近似以m-1速率衰減，衰減速率要慢得多，且φ(ξ)受級數(shù)高階項(xiàng)的影響不可忽略，其圖形也不再可以近似是三角形。這種情況就對應(yīng)于厚板結(jié)構(gòu)，梁的彎曲剛度與板比較接近，這時(shí)板向梁所導(dǎo)的荷載不能再以三角形分布來考慮。

當(dāng)λm足夠大，且αm也足夠大時(shí)，導(dǎo)荷函數(shù)可近似為:

(16)

那么對于混凝土樓板(v=0.2)，φ(ξ)形狀如圖4所示，最大值約為0.567。φ(ξ)的圖形近似于一個(gè)等腰直角三角形，這正對應(yīng)于傳統(tǒng)的單向板導(dǎo)荷情況。

這樣，導(dǎo)荷函數(shù)以一個(gè)統(tǒng)一的表達(dá)式φ(ξ)描述了梁板結(jié)構(gòu)在特定約束條件下的導(dǎo)荷方式；并且隨梁板剛度變化和板的尺寸變化，導(dǎo)荷函數(shù)的圖形可退化至傳統(tǒng)設(shè)計(jì)的簡化情況，驗(yàn)證了推導(dǎo)的正確性。

3 算例

以一個(gè)給定參數(shù)的梁板結(jié)構(gòu)為算例。簡圖同圖1，a和b均為8.4m，梁彎曲剛度C=2.722×109N/m2，板彎曲剛度D=1.4×109N/m2，材料的泊松比v=0.2，面荷載q=100kN/m2。

通過兩種方法計(jì)算得到板的變形如圖5所示，其中圖5a)為基于有限元方法的數(shù)值解(單位mm)，圖5b)為基于板殼理論的解析解(單位m)?？梢钥闯鰞烧咴谛螤詈蛿?shù)值上是一致的。

由式(13)計(jì)算得到板的導(dǎo)荷函數(shù)，如圖6所示。

下面通過兩種方法計(jì)算梁的撓度如圖7所示，圖7a)為利用有限元方法計(jì)算整個(gè)梁板結(jié)構(gòu)在面荷載作用下梁的撓度(單位mm)，圖7b)為計(jì)算單獨(dú)的梁在圖6所示導(dǎo)算荷載下的撓度(單位m)。同樣地，可以看出兩者在形狀和數(shù)值上是一致的。

從而，上述計(jì)算驗(yàn)證了板上的荷載確實(shí)是以式(13)所示的導(dǎo)荷函數(shù)的形式傳遞給了梁，導(dǎo)荷函數(shù)顯示了梁板結(jié)構(gòu)傳遞荷載的方式。

4 結(jié)語

本文基于板殼理論，針對對邊簡支對邊彈性梁的矩形板進(jìn)行分析。首先計(jì)算板撓度曲面的理論解，而后從梁的變形反推被導(dǎo)算到梁上的荷載，并以導(dǎo)荷函數(shù)的形式來描述。通過研究導(dǎo)荷函數(shù)的性質(zhì)，揭示矩形板的平面尺寸和梁板間的剛度關(guān)系對結(jié)構(gòu)導(dǎo)荷方式的影響。

[1] 曾昭陽.框架結(jié)構(gòu)內(nèi)力考慮樓板剛度變化影響的有限元分析[D].長沙:中南大學(xué),2011.

[2] 程新春,顧祥林,孫 凱.梁板結(jié)構(gòu)有限元分析的非等效荷載處理方法[J].結(jié)構(gòu)工程師,2011,27(4):28-33.

[3] Timoshenko S,Woinowsky-Krieger S.Theory of Plates and Shells[D].Mcgraw-Hill College,1959.

[4] 結(jié)構(gòu)計(jì)算軟件YJK-A用戶手冊及技術(shù)條件[Z].

The beam and slab structure load transfer way based on plate shell theory

Gao Yang

(Shanghai Municipal Engineering Design & Research Institute(Group) Limited Company, Shanghai 200092, China)

From the plate shell theory, this paper firstly calculated the theory resolution of plate deflection curved surface, then from the deformation of beam inversed guiding calculation beam load, and made discussion taking the form of load transfer function, through the nature of load transfer function research, clearly reflected the influence of plane size of rectangular plate and the stiffness relationship of beam and plate to structure load transfer form.

beam and slab structure, rectangular plate, load transfer way, load transfer function, plate shell theory

1009-6825(2017)12-0049-03

2017-02-14

高 揚(yáng)(1984- )，男，博士，工程師

TU311

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