萬樹園,王智勇

(南京信息工程大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院,江蘇 南京 210044)

一類二階Hamilton系統(tǒng)次調和解的存在性

萬樹園,王智勇*

(南京信息工程大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院,江蘇 南京 210044)

研究了一類次二次的二階Hamilton系統(tǒng)次調和解的存在性.利用鞍點定理,得到了一個新的存在性結果,推廣和改進了以往文獻中的相關結論.

次調和解; 次二次; 臨界點; 鞍點定理

1 主要結果

考慮二階系統(tǒng)

(1)

其中T>0,F:[0,T]×RN→R關于第一變量是T-周期的且滿足以下假設:

(A) F(t,x)對每個x∈RN關于t是可測的,對a.e.t∈[0,T]關于x是連續(xù)可微的,且存在a∈C(R+,R+),b∈L1(0,T;R+)使得對所有x∈RN與a.e.t∈[0,T]有:

通常把kT-周期解稱為次調和解.許多學者利用變分方法研究了問題(1)次調和解的存在性,并得到了一系列存在性和多解性結論,如文獻[1-6].特別地,P.H.Rabinowitz[1]考慮了F(t,x)是次二次的情況并得到如下定理:

定理 A[1]若F∈C1(R×RN,R)且滿足以下條件:

(F1) 存在常數(shù)1<μ<2,L1>0,使得對所有|x|≥L1,t∈[0,T]有

(F2) 存在常數(shù)a1,a2>0,1

定義 1.1 假設φ是這樣的連續(xù)函數(shù)集合,對?θ∈φ,存在常數(shù)M>0使得:

(i) 對所有t∈R+,θ(t)>0;

最近,文獻[7]通過引入控制函數(shù)θ∈φ,得到了一個新的次二次條件,并在此條件下研究了問題(1)周期解的存在性.受文獻[1,3,7-9]的啟發(fā),本文利用文獻[7]中新的次二次條件,考慮問題(1)的次調和解的存在性,給出本文的主要結論:

定理 1.2 若F滿足假設(A)及以下條件:

(H2) 當|x|→+∞時,F(t,x)≥0對a.e.t∈[0,T]一致成立;

(H3) 存在子區(qū)間E?[0,T]滿足meas(E)>0,使得對a.e.t∈E有

則問題(1)對每一個正整數(shù)k有kT-周期解uk,且滿足當k→+∞時,‖uk‖∞→+∞.

注 1.3 顯然定理1.2中的一系列假設都弱于定理A,因此結果顯著推廣了定理A.存在函數(shù)滿足定理1.2但不滿足文獻[1,3-5,10-14]中的相關結果.例如:令

其中

設θ(|x|)=ln(2+|x|2)時,計算可知F(t,x)滿足條件(H1)～(H3)但不滿足(F1)與(F2).

注 1.4 因為F(t,x)關于t是T-周期的,不失一般性,可假設條件(A)中的b(t)是T-周期的.

2 預備知識

則有

(2)

考慮能量泛函

由文獻[1]易知,φk的臨界點對應于問題(1)的kT-周期解.

為了證明定理1.2,需要如下結論.

引理 2.1[10]若F滿足假設(A),E是[0,T]的一個可測子集,假設對a.e.t∈E有

則對?δ>0,存在E的子集Eδ滿足meas(EEδ)<δ使得

對所有的t∈Eδ一致成立.

引理 2.2[7]若F(t,x)滿足假設(A)和(H1),則對所有x∈RN與a.e.t∈[0,T]有

其中

注 2.3 由θ的性質(ii),可知當|x|→+∞時,有G(|x|)→0;又依據(jù)1/θ的范圍,有

因此t2G(t)關于t是遞增的.

3 定理證明

定義 3.1[15]設X是Banach空間,φk∈C1(X,RN),如果存在c∈R,{un}?X滿足

稱{un}為(C)c序列.如果對任意的c∈R,(C)c序列都有收斂的子列,我們稱泛函φk滿足Cerami條件(簡稱(C)條件).

引理 3.2 若假設條件(A)、(H1)、(H2)與(H3)成立,則能量泛函φk滿足(C)條件.

(3)

由假設(A)和(H1),對?x∈RN與a.e.t∈[0,T]有

(4)

其中h2(t)=(2+M)h1(t)≥0.結合(3)和(4)式,對?n∈N有

因此,存在常數(shù)M1>0使得

(5)

由(2)、(3)式和引理2.2、注2.3,對?n∈N有

(6)

因此,當n→+∞時,有|un(t)|→∞對t∈[0,T]一致成立.由(H2)和(H3),有當n→∞時,

(I2) ?u∈RN,當|x|→+∞時,有φk(x+ek)→-∞.

結合注2.3可得(I1)成立.

(7)

由ek(t)=k(cosωt/k)x0,則

由(H2)可知存在常數(shù)M1>0使得當|x|≥M1時有F(t,x)≥0.所以對?x∈RN和a.e.t∈[0,T],有

(8)

因此利用(H2)和(7)、(8)式及注1.4,并注意到1/θ的范圍,可知對所有|x|≥G+k,有

(9)

由β的任意性有當|x|→+∞時,φk(x+ek)→-∞.因此(I2)成立.

綜上可知,存在臨界點uk∈E使得

對x∈RN,令

由文獻[4]可知,對所有充分大的k有

(10)

(11)

對?x∈RN和充分大的k,用與(9)式類似的方法,再結合(11)式并注意到θ的范圍有

(12)

所以有

由β的任意性有

因此

(13)

最后,證明當k→+∞時,‖uk‖∞→+∞.假設結論不成立,則存在一個子列使得對所有k∈N有

其中C為一個正實數(shù).因此,由條件(A)及注1.4有

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2010 MSC：34C25

(編輯 陶志寧)

Subharmonic Solutions for a Class of Second-order Hamiltonian Systems

WAN Shuyuan,WANG Zhiyong

(SchoolofMathematicsandStatistics,NanjingUniversityofInformationScienceTechnology,Nanjing210044,Jiangsu)

In this paper,we investigate the existence of subharmonic solutions for subquadratic second-order Hamiltonian systems.By using saddle point theorem,a new existence theorem is obtained.Our theorem extends and improves known results.

subharmonic solution; subquadratic; critical point; saddle point theorem

2016-02-06

國家自然科學基金(11571176)

O175.12

A

1001-8395(2017)02-0172-05

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.02.005

*通信作者簡介：王智勇(1979—),男,副教授,主要從事非線性泛函分析的研究,E-mail:mathswzhy@126.com