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        薩切里四邊形與非歐幾何

        2017-06-05 14:21:12張曉林謝俊峰
        初中生世界 2017年18期

        張曉林謝俊峰

        薩切里四邊形與非歐幾何

        張曉林謝俊峰

        幾何學是數(shù)學科學中歷史最悠久,也是最成熟的一個分支.18世紀以前,歐幾里得的歐氏幾何一統(tǒng)天下,我們現(xiàn)在初中所學習的幾何也屬于歐氏幾何的范疇.但到了19世紀,非歐幾何的發(fā)現(xiàn)對幾何學產生了深遠的影響.本文從歐幾里得的《幾何原本》說起,與大家談談薩切里四邊形與非歐幾何的聯(lián)系.

        大家都知道,歐幾里得(公元前約325~270)是古希臘一位著名的幾何學家.他將前人積累的豐富資料以及自己的發(fā)現(xiàn),進行系統(tǒng)而嚴密的整理,給出了幾何系統(tǒng)的第一個邏輯結構,寫下了人類歷史上的光輝巨著——《幾何原本》.《幾何原本》是歐氏幾何的基礎,歐幾里得先給出了關于點、直線、圓等概念的定義,然后列出了5條公理與5條公設(《幾何原本》中有“公理”與“公設”之分,近代數(shù)學對此不再區(qū)分,都稱“公理”).這本著作里的命題都是依據這些定義、公理和公設,用形式邏輯的方法推演出來的,其系統(tǒng)性與嚴謹性令人驚嘆.這里給出了5個公設:

        1.任何兩點之間可以畫一條直線;

        2.有限的直線可以無限地延長;

        3.以任何已知點為圓心,以任何長為半徑,總可以作出一個圓;

        4.所有的直角都相等;

        5.如果一個平面上的兩條直線與另一條直線相交,并且如果同側內角的和小于兩直角,則如果充分地延長這兩條直線,它們必將在內角和小于兩直角的一側相交.如圖,如果α+β<180°,則直線l1和l2必將在直線l3的右側某一點相交.

        前4個公設很容易陳述,而且的確是不證自明的.第五公設就不同了,它的敘述非常繁瑣,并且不那么明了,似乎超出了直接的體驗.因此,自從《幾何原本》問世之后,人們就開始了對第五公設的爭議與研究.許多數(shù)學家都曾嘗試通過其他的公設和公理對第五公設予以證明,以消除對它的可靠性的懷疑,雖然都以失敗告終,但這些研究卻加深了人們對第五公設的認識,得出了許多與第五公設等價的命題,例如:過已知直線外一點能且只能作一條直線與已知直線平行.這種說法看上去簡單些,但本質上與第五公設沒有任何差別.

        隨著用直接方法驗證的失敗,數(shù)學家們轉向間接方法,就是先否定第五公設,然后試圖導出矛盾.

        18世紀初葉,意大利數(shù)學家薩切里(1667~1733)曾利用一個奇特的四邊形試圖用歸謬法證明第五公設.這個奇特的四邊形ABCD是個等腰雙直角四邊形,即AB=CD,∠B=∠C=90°,BC為下底邊,AD為上底邊,AB和CD為腰,∠A、∠D為頂角,這個平面上的簡單的四邊形被稱為薩切里四邊形,如下圖.

        在不使用歐幾里得第五公設的條件下,很容易能證明∠A=∠D,但這兩個頂角的大小卻無法判定,于是,薩切里提出了三種假設:

        1.(直角假設)∠A和∠D都是直角;

        2.(鈍角假設)∠A和∠D都是鈍角;

        3.(銳角假設)∠A和∠D都是銳角.

        薩切里當時的思路是證明在這三種假設下,只有直角假設才是正確的,而承認其他兩種假設將會導致矛盾.

        在直角假設下,薩切里證明了第五公設成立,反之,在第五公設成立的條件下,顯然有∠A和∠D都是直角.因此,歐幾里得的第五公設等價于薩切里四邊形中的直角假設.在鈍角假設下,薩切里導出了矛盾.而對于銳角假設,他證明得到了許多有趣的命題,如三角形內角之和小于平角,過線外一點可以作很多條直線與已知直線平行……但并沒有明確地導出矛盾.盡管得到了許多有趣的命題,但薩切里認為這些命題如此奇怪,無法令人接受.于是,他斷言歐幾里得第五公設是成立的,并于1733年發(fā)表了名著《歐幾里得無懈可擊》.就這樣,薩切里走到了非歐幾何這個偉大發(fā)現(xiàn)的門前卻止步了.

        不過,很快就有人指出,薩切里在銳角假設下所導出的命題只是與人們的觀念和經驗相矛盾,而沒有邏輯上的矛盾.實際上,當承認銳角假設時,由此推出的一系列幾何事實,就是羅巴切夫斯基幾何的內容.1829年羅巴切夫斯基的《幾何學原理》第一次公開發(fā)表了,1855年,他的最后一本著作《泛幾何學》對非歐幾何給出了全新的說明.

        此外,當承認鈍角假設時,由此推出的一系列幾何事實,實際上是黎曼幾何的內容.1854年,黎曼提出了一種全新的非歐幾何的思想,黎曼幾何.

        這就是人們現(xiàn)在所稱的兩種非歐幾何,通常它們的名稱是羅巴切夫斯基(或雙曲)幾何和黎曼(或橢圓)幾何.

        盡管如此,薩切里的三種假設還是有功績的,他的方法與思路給了人們很多啟示.所以,人們還是認為薩切里為非歐幾何的開山祖師之一.

        (作者單位:江蘇省揚州市田家炳實驗中學)

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