■廣東省興寧市第一中學(xué) 藍(lán)云波 ■安徽省靈璧縣第一中學(xué) 鄭 良

淺談選修2-2競(jìng)賽題命題規(guī)律

■廣東省興寧市第一中學(xué) 藍(lán)云波 ■安徽省靈璧縣第一中學(xué) 鄭 良

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容和考點(diǎn),在研究函數(shù)時(shí)具有重要的應(yīng)用。導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中考查的頻率也頗高,且命題靈活,綜合度高,因而具有一定的難度和挑戰(zhàn)性。推理與證明蘊(yùn)含著許多數(shù)學(xué)思想,解題時(shí)具有獨(dú)特的技巧與方法,因此推理與證明也是競(jìng)賽中重點(diǎn)考查的內(nèi)容。而復(fù)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中自成體系,具有一定的獨(dú)立性,但以復(fù)數(shù)為背景的各類試題頻現(xiàn),并且復(fù)數(shù)也是解決其他問(wèn)題的有力工具。在競(jìng)賽試題中主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念,復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、三角形式及其運(yùn)算,在復(fù)數(shù)集中解方程,以及構(gòu)造復(fù)數(shù)解其他數(shù)學(xué)問(wèn)題等。

下面結(jié)合數(shù)學(xué)選修2-2的相關(guān)內(nèi)容,以2016年全國(guó)部分省市競(jìng)賽題為載體,分析與總結(jié)相關(guān)試題的命題方向及其解題策略,以期對(duì)同學(xué)們備戰(zhàn)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽、自主招生以及高考有所幫助。

一、競(jìng)賽知識(shí)點(diǎn)補(bǔ)充梳理

同學(xué)們除掌握課本的基礎(chǔ)知識(shí)外,還應(yīng)掌握以下知識(shí)點(diǎn)。

1.第二數(shù)學(xué)歸納法原理與證明步驟

第二數(shù)學(xué)歸納法原理是設(shè)有一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題,如果:

①當(dāng)n=1時(shí),命題成立;

②假設(shè)當(dāng)n≤k時(shí)命題成立,由此可推得當(dāng)n=k+1時(shí),命題也成立。

那么據(jù)①②可得,命題對(duì)于一切自然數(shù)n都成立。

2.復(fù)數(shù)的三角形式

(1)復(fù)數(shù)的三角形式的乘除法運(yùn)算法則:

④復(fù)數(shù)z=r(co sθ+i s i nθ)的n次方根為:nr,k=0,1, 2,…,n-1,n次方根共有n個(gè)。

二、命題規(guī)律揭示

題型一、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)

(2016年福建省預(yù)賽)函數(shù)f(x) =x2l nx+x2-2零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)___。

解析：f'(x)=2xl nx+x+2x= x(2l nx+3),令f'(x)=0,得x=e-3

2。

所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1。

點(diǎn)評(píng):函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷,通常通過(guò)求導(dǎo)得出函數(shù)的單調(diào)性,再結(jié)合零點(diǎn)存在定理,判斷出函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),整個(gè)過(guò)程運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想方法。

題型二、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

設(shè)f(x)=t anx+2s i nx-3x(0＜x≤1),故只需證明當(dāng)x∈0,1(]時(shí),f(x)＞0即可。

設(shè)g(x)=2co s3x-3co s2x+1(0＜x≤1),則g'(x)=-6co s2xs i nx+6co sxs i nx =6s i nxco sx(1-co sx)＞0,所以g(x)在(0,1]上單調(diào)遞增,則x∈(0,1]時(shí),g(x)＞g(0)=0,因此,f'(x)＞0,f(x)單調(diào)遞增,則f(x)＞0。

點(diǎn)評(píng):本題通過(guò)代數(shù)變形后構(gòu)造函數(shù),轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)的單調(diào)性,借助導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí),使用了二次求導(dǎo)這一核心思想,是一道融會(huì)知識(shí)與能力的好題。

題型三、綜合法

(2016年河南省競(jìng)賽)已知不等式l n(x+1)≤x對(duì)一切x∈(-1,+∞)均成立。證明:不等式(x-1)(e-x-x)+2l nx＜在x∈(0,+∞)時(shí)恒成立。(其中e= 2.71828…)

證明：因?yàn)閤∈(-1,+∞)時(shí),l n(x+1)≤x,所以x∈(0,+∞)時(shí),l nx≤x-1。

(x-1)(e-x-x)+2l nx＜(x-1)· (e-x-x)+2(x-1)=(x-1)(e-x-x+2)。

①當(dāng)x∈(0,1)時(shí),(x-1)(e-x-x+2)

綜上,命題得證。

點(diǎn)評(píng):本題從已知條件的重要不等式l n(x+1)≤x出發(fā)直接進(jìn)行證明,思路自然,過(guò)程流暢。實(shí)際上綜合法是最常用的證明方法。在各類考試中,以l n(x+1)≤x為題根的試題屢見(jiàn)不鮮,應(yīng)引起足夠的重視,而且這個(gè)不等式源于課本習(xí)題上的重要不等式ex≥x+1。

題型四、分析法

(2016年安徽省預(yù)賽)證明:對(duì)任意的實(shí)數(shù)a,b,c都有,并求等號(hào)成立的充分必要條件。

不等式成立的必要條件是a(b-c)=0。

當(dāng)a=0時(shí)不等式等號(hào)成立等價(jià)于bc≥0,當(dāng)b=c時(shí),不等式等號(hào)成立。

綜上所述,不等式等號(hào)成立的充分必要條件是a=0且bc≥0或b=c。

點(diǎn)評(píng):本題沒(méi)有更多的已知條件,所以直接使用綜合法證明問(wèn)題比較困難,故可逆向思考,運(yùn)用分析法證明問(wèn)題,逐步尋求使它成立的充分條件,直到歸結(jié)為判定一個(gè)顯然成立的條件為止。

題型五、反證法(2016年江西省競(jìng)賽)如果實(shí)數(shù)集合A中的全體元素可以排成一個(gè)等比數(shù)列,就稱A是一個(gè)幾何集。例如無(wú)窮集合A ={3,15,5,…}就是一個(gè)幾何集。試確定是否存在7個(gè)幾何集A1,A2,…,A7,使得它們的并集元素中,包含有前50個(gè)正整數(shù),即M?A1∪A2∪…∪A7,其中M= {1,2,…,50},并證明你的結(jié)論。

解析：不存在,首先證明,任意一個(gè)幾何集中至多含有兩個(gè)質(zhì)數(shù)。下面用反證法證明之,假設(shè)某個(gè)幾何集G的元素中含有三個(gè)質(zhì)數(shù)x,y,z,其中x＜y＜z,若其首項(xiàng)為a,公比為q,記x=aqm,y=aqn,z=aqk,其中正整數(shù)m＜n＜k。

所以yk-m=xk-n·zn-m,這與y是質(zhì)數(shù)矛盾!

故假設(shè)不成立,所以任意一個(gè)幾何集中至多含有兩個(gè)質(zhì)數(shù)。

于是7個(gè)幾何集A1,A2,…,A7的并集中,至多含有14個(gè)質(zhì)數(shù),而M= {1,2,…,50}含有15個(gè)質(zhì)數(shù)2,3,5,7,…, 47,因此,滿足條件的7個(gè)幾何集不存在。

點(diǎn)評(píng):因?yàn)閹缀渭脑嘏懦梢粋€(gè)等比數(shù)列,而質(zhì)數(shù)除了1和本身沒(méi)有其他正因數(shù),故可考查幾何集中的質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)情況。容易發(fā)現(xiàn)幾何集中最多含有兩個(gè)質(zhì)數(shù),但不易直接證明,故可使用反證法,使用反證法,首先假設(shè)某命題不成立,然后推理出明顯矛盾的結(jié)果,從而假設(shè)不成立,原命題得證。

題型六、數(shù)學(xué)歸納法

(1)求a的值;

(2)已知數(shù)列an{}滿足a1=1,an+1= f(an)+2(n∈N+),設(shè)Sn=[a1]+[a2]+[a3]+…+[an],其中[m]表示不超過(guò)m的最大整數(shù),求Sn。

當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)＞0,則f(x)在(0, +∞)上單調(diào)遞增,無(wú)最小值,不合題意。

當(dāng)a＞0時(shí),若0＜x＜a,則f'(x)＜0;若x＞a,則f'(x)＞0。所以函數(shù)f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減,在(a,+∞)上單調(diào)遞增。

所以f(x)min=f(a)=l na-a+1。

若0＜a＜1,則g'(a)＞0;若a＞1,則g'(a)＜0。所以函數(shù)g(a)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,因此g(a)≤g(1)=0,當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí),等號(hào)成立。

故當(dāng)a=1時(shí),f(x)取得最小值0。

由a1=1,得a2=2。從而因?yàn)?所以2＜a3＜3。

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n≥3時(shí),2＜an＜3。

①當(dāng)n=3時(shí),結(jié)論已成立。

②假設(shè)n=k(k≥3)時(shí),2＜ak＜3。那么,當(dāng)n=k+1時(shí),有

所以h(2)＜h(ak)＜h(3),即,所以2＜h(ak)＜3,即2＜ak+1＜3。即當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也成立。

由①②可知,對(duì)一切正整數(shù)n≥3,2＜an＜3。

由[a1]=1,[an]=2(n≥2),得Sn= [a1]+[a2]+[a3]+…+[an]=1+2(n-1) =2n-1。

點(diǎn)評(píng):對(duì)于本題,無(wú)法直接求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)本題含有取整函數(shù),即高斯函數(shù)。故可研究數(shù)列的通項(xiàng)的大致范圍,通過(guò)計(jì)算,可猜測(cè)n≥3時(shí),2＜an＜3。但是難以直接證明,故可考慮數(shù)學(xué)歸納法,使用數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵是證明從n=k過(guò)渡到n =k+1的情形。

題型七、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

(2016年安徽省競(jìng)賽)設(shè)i為虛數(shù)單位,化簡(jiǎn)(i+1)2016+(i-1)2016=____。

解析：因?yàn)閕+1()2=i2+2i+1=2i,所以

i+1()2016=21008。

又因?yàn)閕-1()2=i2-2i+1=-2i,所以i-1()2016=-2()1008=21008。

所以i+1()2016+i-1()2016=21009。

點(diǎn)評(píng):本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,嫻熟的運(yùn)算能力,公式的合理使用是解題的關(guān)鍵,還可通過(guò)復(fù)數(shù)的三角形式求解。

題型八、復(fù)數(shù)的三角形式

A.-1 B.-i C.i D.1

點(diǎn)評(píng):本題考查了復(fù)數(shù)的三角形式及其運(yùn)算,將復(fù)數(shù)的代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為三角形式是解題的關(guān)鍵,三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的使用是成功解題的保證。

題型九、共軛復(fù)數(shù)

點(diǎn)評(píng):復(fù)數(shù)a+bi的共軛復(fù)數(shù)為a-bi,共軛復(fù)數(shù)的求解應(yīng)在標(biāo)準(zhǔn)形式進(jìn)行,否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。本題還可利用復(fù)數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及性質(zhì)求解達(dá)到事半功倍的效果。

題型十、復(fù)數(shù)的模

解析：設(shè)z=a+bi(a,b∈R),x=x0是方程+i=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根,則+i=0,即x20-2ax0+

消去x0,并化簡(jiǎn)可得

所以z 的最小值為1。

點(diǎn)評(píng):本題以方程為背景考查了復(fù)數(shù)相等和復(fù)數(shù)的模的概念,并與基本不等式交匯,體現(xiàn)出在知識(shí)的交匯處命題的思路。復(fù)數(shù)除與基本不等式交匯外,還經(jīng)常與解析幾何、導(dǎo)數(shù)、柯西不等式、線性規(guī)劃等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行交匯。

通過(guò)對(duì)2016年競(jìng)賽題的分析,我們發(fā)現(xiàn),涉及數(shù)學(xué)選修2-2的競(jìng)賽題具有一定的靈活性和難度,但并非高不可攀。只要我們多總結(jié),對(duì)命題規(guī)律進(jìn)行必要的挖掘,并結(jié)合一定的練習(xí),就能做到心中有數(shù)、觸類旁通。

(責(zé)任編輯 徐利杰)