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        一道經(jīng)典不等式問題的多種證法

        2017-06-05 15:20:22陜西省武功縣教育局教研室特級教師
        關(guān)鍵詞:綜合法反證法證法

        ■陜西省武功縣教育局教研室 李 歆(特級教師)

        一道經(jīng)典不等式問題的多種證法

        ■陜西省武功縣教育局教研室 李 歆(特級教師)

        綜合法、分析法和反證法是數(shù)學(xué)證明的三種基本方法,下面利用這三種方法給出一道經(jīng)典不等式問題的多種證明方法,供同學(xué)們學(xué)習(xí)參考。

        題目: 已知a,b,c∈R+,求證:a3+b3+c3≥3abc。

        一、綜合法

        本題可分別從作差比較法和作商比較法入手,利用熟知的立方和公式或和的立方公式以及基本不等式a2+b2≥2ab,以及a2+b2+c2≥ab+bc+ca進行證明。

        證法一:

        a3+b3+c3-3abc

        =a3+3a2b+3ab2+b3+c3-3a2b-3ab2-3abc=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)

        =(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2] -3ab(a+b+c)

        =(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2-3ab]

        =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bcca)≥0。

        因此,a3+b3+c3≥3abc。

        證法二:

        a3+b3+c3-3abc

        =(a+b+c)3-3a2b-3ab2-3b2c-3bc2-3c2a-3ca2-9abc

        =(a+b+c)3-3(a+b+c)(ab+bc+ca)

        晞月嘆口氣:“從前雖然都是側(cè)福晉,我又比她年長,可是我進府時才是格格,雖然后來封了側(cè)福晉,可旁人眼里到底覺著我不如她,明里暗里叫我受了多少氣?同樣這個鐲子,原是一對的,偏要我和她一人一個,形單影只的,也不如一對在一起好看。”

        =(a+b+c)[(a+b+c)2-3(ab+bc+ca)]

        =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bcca)≥0。

        因此,a3+b3+c3≥3abc。

        證法三:

        a3+b3+c3-3abc

        =(a+b+c)(a2+b2+c2)-a2b-ab2-b2c-bc2-c2a-ca2-3abc

        =(a+b+c)·(a2+b2+c2)-(a+b+c)(ab+bc+ca)

        =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bcca)≥0。

        證法四:

        所以a3+b3+c3≥3abc。

        證法五:

        證法六:

        二、分析法

        證法七:

        要證a3+b3+c3≥3abc,只需證(a+b+c)3≥3(a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2)+9abc,即證(a+b+c)3≥3(a+b+c)(ab+bc+ca),(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca),也即證a2+b2+c2≥ab+bc+ca,此不等式顯然成立,所以a3+b3+c3≥3abc。

        證法八:

        以上兩種證法,雖然采用的都是分析法,但是完全不是前面六種綜合證法的逆推,每種證法都是在等價轉(zhuǎn)化中進行,由此充分體現(xiàn)了這道經(jīng)典不等式問題所蘊含的數(shù)學(xué)思想和知識含量。

        三、反證法

        假設(shè)要證的不等式不成立,如何得到矛盾的結(jié)論,是反證法證明的關(guān)鍵。對此題來說,放縮法不失為一種有效方法。

        證法九:

        假設(shè)a3+b3+c3<3abc,則有(a+b+c) (a3+b3+c3)<3abc(a+b+c)。

        故a4+b4+c4+(a3b+ab3)+(b3c+bc3)+(c3a+ca3)<3abc(a+b+c)。

        因為a4+b4+c4+(a3b+ab3)+(b3c+bc3)+(c3a+ca3)≥a4+b4+c4+2a2b2+2b2c2+2c2a2,所以a4+b4+c4+2a2b2+2b2c2+2c2a2<3abc(a+b+c)。

        故(a2+b2+c2)2<3abc(a+b+c)。

        又因為a2+b2+c2≥ab+bc+ca,所以(ab+bc+ca)2<3abc(a+b+c)。(※)

        但(ab+bc+ca)2=(ab)2+(bc)2+(ca)2+2abc(a+b+c)

        ≥ab·bc+bc·ca+ca·ab+2abc(a+b+c)=3abc(a+b+c)。

        與(※)式矛盾,所以假設(shè)不成立。

        因此,a3+b3+c3≥3abc。

        此證法通過對不等式的等價變形,看起來將簡單的不等式變成了復(fù)雜的不等式,但是卻為放縮法的運用搭建了平臺,使問題解決實現(xiàn)了根本性的轉(zhuǎn)變。

        (責(zé)任編輯 徐利杰)

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