基于非線性輸出反饋的三自由度直升機(jī)控制?

周唯王曉東

（昆明理工大學(xué)信息工程與自動(dòng)化學(xué)院昆明650500）

針對(duì)三自由度直升機(jī)系統(tǒng)的控制系統(tǒng)，提出了基于非線性輸出反饋的處理方法。通過機(jī)理分析建立了三自由度直升飛機(jī)的數(shù)學(xué)模型，使用微分幾何中仿射非線性局部同胚坐標(biāo)變換理論把系統(tǒng)的俯仰軸和滾動(dòng)軸兩個(gè)通道精確線性化處理，得到解耦的、正則的線性系統(tǒng)。利用線性最優(yōu)二次型（LQR）理論設(shè)計(jì)了線性化處理后跟蹤控制器，同時(shí)對(duì)旋轉(zhuǎn)軸設(shè)計(jì)了PID控制器。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，論文使用的非線性反饋處理方法是有效的。

非線性；輸出反饋；精確線性化；線性二次型控制；PID控制

Class NumberV275.1

1 引言

本文是基于三自由度直升機(jī)開展的研究。三自由度直升機(jī)具有多輸入多輸出、高階次、強(qiáng)耦合、非線性等特點(diǎn)。為了獲得對(duì)直升機(jī)更好的控制品質(zhì)，需要對(duì)直升機(jī)的建模和控制器進(jìn)行研究。文獻(xiàn)［1～8］提出針對(duì)控制對(duì)象的系統(tǒng)辨識(shí)方法對(duì)系統(tǒng)建模。系統(tǒng)辨識(shí)方法主要依據(jù)系統(tǒng)辨識(shí)理論和實(shí)驗(yàn)，最小二乘參數(shù)辨識(shí)、極大似然參數(shù)辨識(shí)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識(shí)等都應(yīng)用得比較成熟，但是對(duì)于多輸入多輸出系統(tǒng)建模過程就比較復(fù)雜。因此常采用近似線性化處理方法，該方法主要根據(jù)直升機(jī)的動(dòng)力學(xué)模型在工作點(diǎn)附近做Taylor展開，取線性局部近似。缺點(diǎn)是建立的模型精度不夠，在后期的應(yīng)用中很大程度上依賴于控制器的魯棒性對(duì)系統(tǒng)未建模部分進(jìn)行系統(tǒng)鎮(zhèn)定。文獻(xiàn)［9］提出基于奇異系統(tǒng)狀態(tài)反饋魯棒控制器設(shè)計(jì)方法。文獻(xiàn)［10］基于LQR和H∞的三自由度直升機(jī)多模型控制器設(shè)計(jì)，多模型設(shè)計(jì)比較繁瑣。文獻(xiàn)［11］把建模的不精確看成系統(tǒng)的不確定性干擾，設(shè)計(jì)了基于LMI的直升機(jī)魯棒飛行控制器。本文提出的非線性狀態(tài)反饋線性化方法可以實(shí)現(xiàn)非線性強(qiáng)耦合的三自由度直升機(jī)系統(tǒng)的線性化和解耦控制。這種方法相比系統(tǒng)辨識(shí)方法更簡(jiǎn)潔，省去了繁瑣的實(shí)驗(yàn)和繁瑣的數(shù)據(jù)處理，相比局部近似化處理，可以在更大的控制范圍內(nèi)得到很好的控制效果。

2 三自由度直升飛機(jī)系統(tǒng)建模

三個(gè)維度上的運(yùn)動(dòng)模擬的是縱列式雙旋翼結(jié)構(gòu)直升機(jī)，美國(guó)的中型運(yùn)輸直升機(jī)（支奴干CH-47）就是代表。如圖1所示，三自由度直升飛機(jī)研究平臺(tái)由直升機(jī)本體、俯仰機(jī)架桿、重力塊、偏航機(jī)架桿、基座、集電環(huán)、三個(gè)角度傳感器組成。直升機(jī)本體由兩個(gè)螺旋槳電機(jī)驅(qū)動(dòng)葉片提供直升機(jī)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力。俯仰機(jī)架桿兩端分別連接重力塊和直升機(jī)本體。偏航軸機(jī)架桿支撐俯仰軸機(jī)架桿。三個(gè)角度傳感器實(shí)時(shí)測(cè)量系統(tǒng)在俯仰、滾動(dòng)、偏航這三個(gè)維度上的角度。定義三自由度直升機(jī)的俯仰角（Pitch）為α，滾動(dòng)角（Elevation）為θ，偏航角（Travel）為?。安裝在基座中的集電環(huán)保證了直升機(jī)本體和控制臺(tái)之間的信號(hào)傳送不受直升機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)的影響。三自由度直升機(jī)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的控制目標(biāo)是俯仰角度，旋轉(zhuǎn)角度的跟蹤，同時(shí)控制滾動(dòng)角度在一定的范圍。取俯仰軸水平時(shí)α=π/2rad，滾動(dòng)軸水平時(shí)θ=0rad，旋轉(zhuǎn)角初始位置?=0rad。

圖1 三自由度直升機(jī)示意圖和實(shí)物圖

2.1俯仰軸（Elevation axis）建模

俯仰運(yùn)動(dòng)是靠前向電機(jī)和后向電機(jī)驅(qū)動(dòng)兩個(gè)螺旋槳產(chǎn)生的升力和系統(tǒng)的重力在俯仰機(jī)架上產(chǎn)生的合力矩來驅(qū)動(dòng)的。前向電機(jī)的電壓輸入為Vf，后向電機(jī)的輸入為Vb。電機(jī)驅(qū)動(dòng)螺旋槳產(chǎn)生的升力近似和電機(jī)的輸入電壓成正比例，Kf為螺旋槳產(chǎn)生的升力和輸入電壓的比值。則單個(gè)螺旋槳的輸入電壓V和輸出升力F之間的關(guān)系：

俯仰軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Je，直升機(jī)本體到俯仰軸支點(diǎn)距離為L(zhǎng)a，前向、后向電機(jī)的輸入電壓分別為Vf，Vb，俯仰軸自重產(chǎn)生的關(guān)于俯仰軸支點(diǎn)的力矩為Fgsinα。則俯仰軸的動(dòng)力學(xué)方程如下

2.2滾動(dòng)軸（Pitch axis）建模

前向電機(jī)和后向電機(jī)的驅(qū)動(dòng)力不相等時(shí)，作用在滾動(dòng)軸上的合力矩不為零，此時(shí)滾動(dòng)軸被驅(qū)動(dòng)。滾動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jp，電機(jī)到轉(zhuǎn)軸之間的距離為L(zhǎng)h，直升機(jī)的升力是垂直于滾動(dòng)軸的。則滾動(dòng)軸動(dòng)力學(xué)方程如下

2.3旋轉(zhuǎn)軸（Travel axis）建模

直升機(jī)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)是由于在直升機(jī)產(chǎn)生俯仰角后在水平面產(chǎn)生了相對(duì)于旋轉(zhuǎn)軸的力矩，此力矩使直升機(jī)在水平面轉(zhuǎn)動(dòng)。直升機(jī)旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jt=Je，旋轉(zhuǎn)平面上的受力是Kf(Vf+Vb)sinθ，受力點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)軸距離為L(zhǎng)a，力的方向與旋轉(zhuǎn)軸之間的夾角為α。則旋轉(zhuǎn)軸的動(dòng)力學(xué)方程如下

在直升機(jī)的實(shí)際控制中首先是控制俯仰角穩(wěn)定，再次控制旋轉(zhuǎn)角。這樣在控制旋轉(zhuǎn)角時(shí)方程（2）是穩(wěn)定的，有如下方程：

把方程（5）代入方程（4）可得：

綜上所述，三自由度直升飛機(jī)的數(shù)學(xué)模型如下：

表1 系統(tǒng)參數(shù)

由式（7）可以看出三自由度直升機(jī)系統(tǒng)是一個(gè)多輸入多輸出、強(qiáng)耦合、非線性的系統(tǒng)。對(duì)上述系統(tǒng)直接設(shè)計(jì)控制器是十分困難的。通常的做法是在式（7）的基礎(chǔ)上進(jìn)行近似處理，使得系統(tǒng)用線性系統(tǒng)來近似，再利用線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)的相關(guān)理論進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)。本文提出的非線性反饋的方法是在式（7）的基礎(chǔ)上利用非線性輸出反饋線性化三自由度直升機(jī)的數(shù)學(xué)模型得到解耦的線性模型，使得到的解耦的線性系統(tǒng)能夠用成熟的線性控制理論設(shè)計(jì)控制器。

3 非線性輸出反饋線性化

本文使用的是基于微分幾何理論的非線性輸出反饋線性化方法，又稱精確線性化方法。非線性輸出反饋在實(shí)現(xiàn)中針對(duì)輸入和輸出數(shù)量不相等的系統(tǒng)來說處理起來比較復(fù)雜［12］。輸入和輸出相等的非線性系統(tǒng)的線性化處理的問題可以如下：

定理：給定的一個(gè)仿射多輸入多輸出非線性系統(tǒng)

對(duì)給定的x0∈X，如果存在x0的領(lǐng)域V及整數(shù)向量(r1,…,rm)使?jié)M足（L是李導(dǎo)數(shù)符號(hào)）：

則稱系統(tǒng)（8）在x0處具有相對(duì)階(r1,…,rm)。

在控制率u=-A-1(x)b(x)+A-1(x)V的作用下可以線性化和解耦放射非線性系統(tǒng)。其中V是給定的新輸入：線性化處理后得到的系統(tǒng)：

本文只針對(duì)俯仰角和滾動(dòng)角進(jìn)行線性化處理，是二輸入和二輸出系統(tǒng)。把三自由度直升機(jī)模型（7式）改寫成式（8）的仿射非線性形式：其中狀態(tài)x=[x1x2x3x4]=[α aθ θ]。

假設(shè)系統(tǒng)的相對(duì)階r=[22]，下面驗(yàn)證系統(tǒng)的相對(duì)階：

在一定的控制范圍中，俯仰角在±30°，滾動(dòng)角±15°，A(x)為非奇異矩陣。

系統(tǒng)滿足假設(shè)提出的相對(duì)階，可以進(jìn)行線性和處理三自由度直升機(jī)的仿射非線性模型。由反饋構(gòu)成的控制率：u=-A-1(x)b(x)+A-1(x)V，其中V是給定的新參考輸入。

加入非線性輸出反饋，經(jīng)過坐標(biāo)變換之后的系統(tǒng)可以表示成如下解耦的線性系統(tǒng)，輸入V=[v1v2]如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)線性化處理結(jié)構(gòu)

加入非線性輸出反饋后，在三自由度直升機(jī)模型中，系統(tǒng)輸入v1單獨(dú)控制俯仰角，輸入v2單獨(dú)控制滾動(dòng)角。至此一個(gè)兩輸入兩輸出的非線性強(qiáng)耦合系統(tǒng)變成了一個(gè)線性的、解耦的線性系統(tǒng)。

4 控制器設(shè)計(jì)

前面實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的部分線性化和解耦處理，通過驗(yàn)算得出系統(tǒng)（9）是一個(gè)不穩(wěn)定的系統(tǒng)。需要再次設(shè)計(jì)控制器使得系統(tǒng)穩(wěn)定，首先對(duì)式（9）設(shè)計(jì)LQR無限時(shí)間跟蹤控制器，再對(duì)旋轉(zhuǎn)軸設(shè)計(jì)PID控制器［13］。

4.1最優(yōu)二次型無限時(shí)間定常跟蹤控制器設(shè)計(jì)

利用最優(yōu)二次型（LQR）無限時(shí)間定常跟蹤控制器，可以方便地設(shè)計(jì)針對(duì)線性系統(tǒng)的跟蹤控制器。在線性時(shí)不變條件下，設(shè)計(jì)的LQR無限時(shí)間定常跟蹤控制器是一個(gè)近似的控制器［14］。

經(jīng)過驗(yàn)算，系統(tǒng)（9）是一個(gè)完全能控制完全能觀的系統(tǒng)。yl為希望輸出，e(t)為誤差向量，誤差e(t)=yl-y(t)，性能指標(biāo)：

其中Q和R都是正定的常數(shù)矩陣。則系統(tǒng)的近似最優(yōu)控制率為

其中S是黎卡提代數(shù)方程（10）的解：

考慮控制效果選擇Q=diag（［50 10］），R=di?ag（［1 1］），這樣俯仰軸和滾動(dòng)軸的控制器設(shè)計(jì)完成。4.2旋轉(zhuǎn)軸PID控制器設(shè)計(jì)

可以把方程（6）右端滾動(dòng)角θ看成式（6）的輸入，則簡(jiǎn)化后的表達(dá)式JtΦ=Fgθ，進(jìn)行拉普拉斯變換后

首先加入PD控制器［14］，定義旋轉(zhuǎn)角誤差e=?c-?，則輸入uβ=Kke+Kde，Kk為比例系數(shù)，Kd為微分系數(shù)。閉環(huán)傳遞函數(shù)：

按照二階系統(tǒng)響應(yīng)選取阻尼比ξ=0.707設(shè)計(jì)系統(tǒng)PD控制器參數(shù)。再加入積分環(huán)節(jié)，實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)角的無靜差控制。通過計(jì)算和調(diào)試選取的控制器為：Kk=0.55，Kd=1.66，Ki=1.11。

5 仿真和實(shí)驗(yàn)

仿真和實(shí)驗(yàn)均是在Matlab/Simulink環(huán)境下實(shí)現(xiàn)。其中仿真是在Simulink的normal模式仿真環(huán)境下實(shí)現(xiàn)的。實(shí)驗(yàn)是通過Matlab/Simulink的實(shí)時(shí)工具箱RTW（Real-Time Workshop）實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)控制。圖3所示是Simulink仿真模塊，在Simulink模塊中Helicopter_3DOF搭建的是三自由度直升機(jī)的非線性模型式（7），no2line用Fcn函數(shù)模塊搭建非線性反饋模塊（8），PID控制器模塊是旋轉(zhuǎn)軸PID控制器。在實(shí)驗(yàn)中需要把仿真中的Helicopter_3DOF模塊換成控制對(duì)象的驅(qū)動(dòng)模塊，這樣就可以按照仿真模型中的控制規(guī)律實(shí)時(shí)控制自由度直升飛機(jī)的俯仰角和旋轉(zhuǎn)角。

在系統(tǒng)控制中受到客觀的條件限制5π/18＜α＜2π/3，-π/6＜?＜π/6。直升機(jī)未上電的俯仰軸π/3=1.05rad，滾動(dòng)軸θ=0rad，初始條件z=［0.87 0 0 0］T。實(shí)驗(yàn)設(shè)定俯仰角跟蹤方波高電平，底電平1.22，即俯仰軸在水平α=π/2rad在±20°內(nèi)跟蹤給定方波信號(hào)。滾動(dòng)角設(shè)定方波跟蹤信號(hào)高電平0.26，底電平-0.26，即是滾動(dòng)角θ=0rad在±15°內(nèi)跟蹤給定信號(hào)。實(shí)驗(yàn)用方波周期為10s，時(shí)間20s。

圖3仿真Simulink模塊

圖4 是非線性反饋后LQR跟蹤控制器的俯仰角和滾動(dòng)角仿真跟蹤結(jié)果，PID跟蹤控制的旋轉(zhuǎn)角仿真跟蹤結(jié)果。從仿真結(jié)果可以看出在三個(gè)角度單獨(dú)跟蹤仿真時(shí)效果良好；俯仰角和滾動(dòng)角的動(dòng)態(tài)響應(yīng)快速，超調(diào)??；旋轉(zhuǎn)角動(dòng)態(tài)響應(yīng)較差，調(diào)節(jié)時(shí)間長(zhǎng)，有明顯超調(diào)。

在圖1所示的直升機(jī)平臺(tái)上，實(shí)驗(yàn)分成三組進(jìn)行，每組實(shí)驗(yàn)開始先給定俯仰角指令使俯仰角穩(wěn)定，再給定旋轉(zhuǎn)角指令使得旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)半圈后穩(wěn)定。以此來驗(yàn)證本文提出的方法可以使得系統(tǒng)快速的穩(wěn)定和跟隨給定指令。

圖4 跟蹤仿真

根據(jù)三組實(shí)驗(yàn)，從數(shù)據(jù)可以看出，在直升機(jī)系統(tǒng)允許的角度范圍內(nèi)，俯仰角響應(yīng)非常迅速，上升時(shí)間小于2.5s，超調(diào)量小于5%，調(diào)節(jié)時(shí)間小于3s，可以推斷俯仰軸的動(dòng)態(tài)響應(yīng)是滿足設(shè)計(jì)要求的。在給定指令使得旋轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)動(dòng)半圈180°的實(shí)驗(yàn)中，旋轉(zhuǎn)角度響應(yīng)比較慢，上升時(shí)間在5s～9s之間，超調(diào)量很大在30%左右，調(diào)節(jié)時(shí)間在20s左右。

圖5 俯仰軸70°、旋轉(zhuǎn)軸180°

圖6 俯仰軸90°、旋轉(zhuǎn)軸180°

表2 俯仰角和旋轉(zhuǎn)角分別給定1.22、3.14（70°、180°）

表3 俯仰角和旋轉(zhuǎn)角分別給定1.57、3.14（90°、180°）

表4 俯仰角和旋轉(zhuǎn)角分別給定1.92、3.14（110°、180°）

隨著俯仰角度的增加，在相同的旋轉(zhuǎn)角給定下，旋轉(zhuǎn)角響應(yīng)時(shí)間隨俯仰角度增大上升時(shí)間是增大，但超調(diào)和調(diào)節(jié)時(shí)間是先增大后減小。滾動(dòng)角的變化在1rad（60°）內(nèi)變動(dòng)，調(diào)節(jié)時(shí)間和旋轉(zhuǎn)角的調(diào)節(jié)時(shí)間相等。

6 結(jié)語

根據(jù)仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果，可以得出本文提出的非線性反饋處理的方法在三自由度直升飛機(jī)模型上是適用的。俯仰角動(dòng)態(tài)響應(yīng)迅速，跟蹤準(zhǔn)確；旋轉(zhuǎn)角跟蹤準(zhǔn)確，單響應(yīng)較慢，其原因是采用的PID控制策略的控制策略前期放大了誤差，且旋轉(zhuǎn)軸的阻尼很小，導(dǎo)致在追求旋轉(zhuǎn)軸的快速性和準(zhǔn)確性上存在著矛盾。

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Control of 3DOF Helicopter Based on Nonlinear Output Feedback

ZHOU WeiWANG Xiaodong
（Faculty of Information Engineering&Automation，Kunming University of Science and Technology，Kunming650500）

For the control system of three degree of freedom helicopter system，a method based on nonlinear output feedback is proposed.Through the mechanism analysis，a mathematical model of three degree of freedom helicopter is established.Using the differential geometry of affine nonlinear local homeomorphism coordinate transformation theory the system of elevate axis and pitch axis two channel exact linearization processing，are decoupled，regular linear systems.Based on the linear quadratic regulator（LQR）theory，the tracking controller is designed for the linear system，and the PID controller is designed for the travel axis.Simu?lation and experimental results show that the nonlinear feedback processing method is effective in this paper.

nonlinear，output feedback，exact linearization，linear quadratic regulator，PID control

V275.1

10.3969/j.issn.1672-9722.2017.05.027

2016年11月1日，

2016年12月20日

云南省科技計(jì)劃項(xiàng)目（編號(hào)：2015ZC005，2013DH034）；云南省中青年學(xué)術(shù)和技術(shù)帶頭人后備人才培養(yǎng)計(jì)劃項(xiàng)目（編號(hào)：2011CI017）資助。

周唯，男，碩士研究生，研究方向：向非線性控制、魯棒控制。王曉東，男，博士，教授，研究方向：基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的工業(yè)過程控制、多源信息融合技術(shù)、基于數(shù)據(jù)挖掘的智能檢測(cè)技術(shù)。