郭強，蔡勝武

（中核武漢核電運行技術(shù)股份有限公司，湖北武漢430223）

300 MW核電廠循環(huán)水泵部件可靠性建模分析

郭強，蔡勝武

（中核武漢核電運行技術(shù)股份有限公司，湖北武漢430223）

設(shè)備可靠性建模是核電廠概率安全分析（PSA）和維修周期優(yōu)化的重要基礎(chǔ)。以秦山300 MW核電廠循環(huán)水泵部件（葉輪）為例，針對完整數(shù)據(jù)和右截尾數(shù)據(jù)同時存在的情況，分別采用最小二乘估計和極大似然估計得到4種常見壽命分布的參數(shù)估計值，通過不同的擬合度確定最優(yōu)擬合分布，并對其結(jié)果進行分析比較。結(jié)果表明極大似然估計擬合效果更佳，是核電廠設(shè)備可靠性建模的一種有效方法。

可靠性建模；數(shù)據(jù)分析；最小二乘估計；極大似然估計；擬合度

0 引言

2014年國家核安全局要求核電廠開展設(shè)備可靠性數(shù)據(jù)采集工作[1]，并委托環(huán)境保護部核與輻射安全中心負責(zé)數(shù)據(jù)處理和發(fā)布[2]。可靠性建模是通過數(shù)據(jù)分析得到壽命分布模型，是概率安全分析（PSA）和維修周期優(yōu)化的前提和基礎(chǔ)，對確保我國核電廠PSA模型以及相應(yīng)分析結(jié)果的準確性和合理性具有重要意義[2]。本文以秦山300 MW核電廠循環(huán)水泵（簡稱循泵）葉輪為例進行可靠性建模分析，為核電廠設(shè)備可靠性建模提供了有效方法和經(jīng)驗。

1 數(shù)據(jù)類型和分析

葉輪在其失效或泵體解體大修時進行更換，假設(shè)其更換為完美維修，相鄰兩次失效時間滿足獨立一致分布。

1.1 數(shù)據(jù)類型

在試驗數(shù)據(jù)和現(xiàn)場數(shù)據(jù)中主要包含以下兩種數(shù)據(jù)類型：完整數(shù)據(jù)和截尾數(shù)據(jù)[3]。

（1）完整數(shù)據(jù)即觀察對象的壽命起止時間都已知的數(shù)據(jù)，即失效數(shù)據(jù)。

（2）截尾數(shù)據(jù)即觀察對象的壽命數(shù)據(jù)不完整，可能有許多種情況，常見的有：①右截尾數(shù)據(jù)：觀察對象的壽命值大于某一已知值；②左截尾數(shù)據(jù)：觀察對象的壽命值小于某一已知值；③區(qū)間截尾數(shù)據(jù)：觀察對象的壽命值位于某一已知的區(qū)間。由于記錄不完整或未能觀察到精確的失效時間，現(xiàn)場數(shù)據(jù)將包含許多截尾數(shù)據(jù)。截尾數(shù)據(jù)同樣能反應(yīng)出觀察對象的部分壽命特征，也可被用于可靠性建模。

1.2 數(shù)據(jù)分析

對于完整數(shù)據(jù)和截尾數(shù)據(jù)，失效概率估計值F（t）的計算方法有所不同。

（1）完整數(shù)據(jù)的參數(shù)估計。設(shè)有n個失效數(shù)據(jù)，將它們以增序排列，并按順序編號為1到n，即t1≤t2≤…≤ti≤…≤tn,則失效概率F（ti）可使用公式1-betainv（0.5，i，n-i+1）計算，一般采用中位秩估計失效概率F（ti）的值，近似中位秩估計公式為[4]：

（2）不完整數(shù)據(jù)的參數(shù)估計。當數(shù)據(jù)列包含截尾數(shù)據(jù)時，其參數(shù)估計比完整數(shù)據(jù)的要復(fù)雜。本文只考慮右截尾數(shù)據(jù)，根據(jù)Johnson方法[5]，設(shè)數(shù)組含有n個數(shù)據(jù)，其中有m個右截尾的數(shù)據(jù)，（n-m）個失效數(shù)據(jù)，對所有數(shù)據(jù)以增序排列并用1到n編號，記這列編號為j，對所有失效數(shù)據(jù)同樣按增序1到（n-m）進行編號，記這列編號為i，則第i個失效數(shù)據(jù)的失效順序號為：

式（2）中，定義r0=0。以ri代替式（1）中的r，就可以計算得到每一個失效數(shù)據(jù)的失效概率估計值。

2 擬合分布方法

在擬合分布時，通常情況下完整數(shù)據(jù)和截尾數(shù)據(jù)會同時存在。若截尾數(shù)據(jù)的所占比例過大，則擬合分布精確度過低，沒有實際意義。本文采用最小二乘估計和極大似然估計這兩種常用的點估計方法進行參數(shù)估計。

2.1 最小二乘估計

最小二乘法是點估計的一種方法，它主要用來估計線性函數(shù)（常稱為線性回歸）的未知參數(shù)。由最小二乘法求得的參數(shù)估計，稱為最小二乘估計[3]。

在x-y直角坐標系中，根據(jù)觀測到的n個失效數(shù)據(jù){xi，yi}，i=1，2，…，n，按要求配出一條直線

使得該直線與各個點{xi，yi}，i=1,2，…，n的偏差平方和達到最小，這就是最小二乘的基本思想。

回歸直線式（3）與各觀測值的垂直偏差記為，以代表垂直偏差平方和，用數(shù)學(xué)公式可表示為

因此，能夠代表x與y線性關(guān)系的回歸直線，就是所有直線中使E達到最小的那一條，也就是方程y=a+bx中系數(shù)a和b使E達最小值的那個方程所對應(yīng)的直線。

2.2 極大似然估計

極大似然估計是一種重要的估計方法。它的基本思想是：由于樣本來自于總體，因此樣本在一定程度上能夠反映總體特征。如果總體的待估參數(shù)為θ，在θ的一切可能值中，選取一個使樣本觀測值結(jié)果出現(xiàn)的概率達到最大的值作為的θ估計值，記為θ?，這就是極大似然估計[3]。

設(shè)有一列不完整數(shù)據(jù)，共n個。失效數(shù)據(jù)為nf個，及其集合為F；右截尾數(shù)據(jù)為nc個，記其集合為C。記參數(shù)為θ，則其似然函數(shù)L（θ）為：

式（6）中l(wèi)n［L（θ）］為對數(shù)似然函數(shù)。

3 擬合度計算

擬合度是指回歸直線對觀測值的擬合程度。度量擬合度的統(tǒng)計量是可決系數(shù)r2，其計算公式為[6]：

4種常用分布為指數(shù)分布、威布爾分布、正態(tài)分布和對數(shù)正態(tài)分布，本文以威布爾分布為例，將分布模型線性化。

威布爾分布的累積分布函數(shù)為

公式兩邊取自然對數(shù)，得

繼續(xù)兩邊取對數(shù)，得

根據(jù)式（3）可得

于是，式（7）中

4 循泵葉輪可靠性建模

4.1 數(shù)據(jù)收集

循泵系統(tǒng)有6臺循泵并聯(lián)安裝，其功能主要是抽取海水為汽輪機凝汽器提供冷卻水，正常工況下，僅需部分循泵運行即可滿足冷卻水需求，因此循泵系統(tǒng)屬于k/n表決系統(tǒng)。在秦山300 MW核電廠收集到的循泵葉輪的數(shù)據(jù)為累計運行時間（單位為d），増序排列整理后的結(jié)果10.22+，406.89，544.12+，49.44+，413.89，566.02，51.79，463.29，602.07，259.12+，469.37，604.44+，348.30，509.07，687.92，360.90+，516.04+，930.51，其中包含了失效數(shù)據(jù)和右截尾數(shù)據(jù)，+表示數(shù)據(jù)為右截尾數(shù)據(jù)。

4.2 參數(shù)估計和擬合度計算

根據(jù)葉輪累積運行時間數(shù)據(jù)和最小二乘估計方法，可以得到循泵葉輪的4種常見壽命分布的參數(shù)估計，并通過擬合度計算得到各分布的擬合度（表1），擬合分布曲線見圖1。從表1可知，正態(tài)分布的擬合度最接近1，為0.93，說明最小二乘估計得到的最優(yōu)擬合分布為正態(tài)分布。在圖1中，也可看出正態(tài)分布擬合效果最佳。

表1 最小二乘估計和擬合度

根據(jù)葉輪累積運行時間數(shù)據(jù)和極大似然估計方法，得到的4種常見壽命分布的參數(shù)估計和擬合度（可決系數(shù)r2）見表2，擬合分布曲線見圖2。

從表2可知，極大似然估計得到的擬合分布的擬合度都不理想，說明極大似然估計容易出現(xiàn)噪點（例如威布爾分布線性變換后的第一個點，見圖3）。這是由極大似然估計的定義決定的，其擬合分布盡可能靠近大部分的較集中的觀測點，從而會遠離個別觀測點（噪點）。而根據(jù)最小二乘估計的定義，其擬合分布離每個觀測點距離相對平均一些。因此，可決系數(shù)r2可作為衡量最小二乘估計的擬合效果的擬合度，但不適合極大似然估計。

圖1 最小二乘估計的擬合分布曲線

表2 極大似然估計和擬合度

4.3 結(jié)果對比分析

根據(jù)式（5）和（6），求得最小二乘估計所得擬合分布的對數(shù)似然函數(shù)值LK分別為-83.28（指數(shù)分布）、-81.15（威布爾分布）、-77.65（正態(tài)分布）、-82.85（對數(shù)正態(tài)分布），其擬合度排序與可決系數(shù)r2的一致，說明LK也可作為最小二乘估計的擬合度度量。

由于-77.65（正態(tài)分布）小于-77.18（見表2的正態(tài)分布），因此兩種方法得到的正態(tài)分布擬合效果相近，而極大似然估計的擬合效果更佳。在圖4中，也可看到相同的結(jié)果。

圖2 極大似然估計的擬合分布曲線

圖3 威布爾分布的線性回歸

圖4 最小二乘估計和極大似然估計的正態(tài)分布

5 結(jié)論

針對循泵葉輪的完整數(shù)據(jù)和右截尾數(shù)據(jù)，采用最小二乘估計、極大似然估計以及擬合度計算，對循泵葉輪進行了可靠性建模，得到了最優(yōu)壽命分布模型。結(jié)果表明：

（1）通過最小二乘估計和極大似然估計所得擬合分布結(jié)果的比較分析可知，在截尾數(shù)據(jù)存在的情況下，極大似然估計擬合效果更佳，是核電廠設(shè)備可靠性建模的一種有效方法。

（2）對數(shù)似然函數(shù)值LK可作為最小二乘估計和極大似然估計兩種方法的擬合度度量，而可決系數(shù)r2適合于最小二乘估計，但不適合于極大似然估計。

［1］國家核安全局.核電廠設(shè)備可靠性數(shù)據(jù)采集（試行）[R].國家核安全局，2013.

［2］國家核安全局.中國核電廠設(shè)備可靠性數(shù)據(jù)報告（2015版）[R].國家核安全局，2015.

［3］趙宇.可靠性數(shù)據(jù)分析[M].北京:國防工業(yè)出版社，2011.

［4］Nelson Wayne.Accelerated Testing:Statistical Models，Test Plans，and Data Analysis[M].New York:John Wiley&Sons，1990.

［5］蔣仁言，左明健.可靠性模型與應(yīng)用[M].北京：機械工業(yè)出版社，1999.

［6］吳世農(nóng).高級管理統(tǒng)計方法[M].北京：中國對外經(jīng)濟貿(mào)易出版社，1997.

〔編輯 凌瑞〕

TM623.7

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10.16621/j.cnki.issn1001-0599.2017.01.15