沙曉慶 張海迪 侯洪飛

(河北建筑工程學(xué)院，河北 張家口 075000)

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基于節(jié)點應(yīng)變能靈敏度的拱軸線形狀優(yōu)化

沙曉慶 張海迪 侯洪飛

(河北建筑工程學(xué)院，河北 張家口 075000)

結(jié)合兩個算例，研究了基于節(jié)點應(yīng)變能靈敏度拱軸線選擇的方法，指出根據(jù)節(jié)點應(yīng)變能靈敏度進行結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化，降低了結(jié)構(gòu)應(yīng)變能，改善了結(jié)構(gòu)的綜合性能，達(dá)到了更加合理的結(jié)構(gòu)形態(tài)。

拱軸線，應(yīng)變能靈敏度，優(yōu)化方法，數(shù)學(xué)模型

0 引言

拱式結(jié)構(gòu)主要承受軸向作用，軸向作用為最佳的傳力方式，應(yīng)用拱式結(jié)構(gòu)可提高材料的利用率。拱圈的形狀影響結(jié)構(gòu)的內(nèi)力組合狀態(tài)和變形，若拱軸線與外荷載作用下壓力線重合，為合理拱軸線，即拱截面只有軸向作用而沒有彎曲作用。在合理拱軸線的狀態(tài)下材料利用率最高，因此對拱軸線的研究具有一定的意義[1]。

本文基于節(jié)點應(yīng)變能靈敏度調(diào)整節(jié)點位置對拱圈進行形狀優(yōu)化，將數(shù)學(xué)和力學(xué)的基本理論結(jié)合尋求結(jié)構(gòu)的合理狀態(tài)[2]。這種方法最顯著的特點之一就是以結(jié)構(gòu)應(yīng)變能作為目標(biāo)函數(shù)，應(yīng)變能作為目標(biāo)函數(shù)可綜合涉及到應(yīng)力、應(yīng)變、位移等方面的問題，充分反映結(jié)構(gòu)的受力狀態(tài)，優(yōu)化過程中也是全面的考慮到結(jié)構(gòu)受力性能，是一種單目標(biāo)多性能的體現(xiàn)。

1 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

將節(jié)點高度作為設(shè)計變量，結(jié)構(gòu)儲存應(yīng)變能最小作為目標(biāo)函數(shù)，以結(jié)構(gòu)允許變化空間作為約束條件的數(shù)學(xué)模型為：

求：y={y1,y2,y3,…，yn}。

式中：y——節(jié)點豎向坐標(biāo)； n——結(jié)構(gòu)中節(jié)點數(shù)目； C——結(jié)構(gòu)整體應(yīng)變能； UP——在外荷載作用下結(jié)構(gòu)節(jié)點位移列向量； [K]——結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣； P——結(jié)構(gòu)施加的外荷載； S——拱軸線形狀； Ω——允許變化空間。

2 優(yōu)化方法

拱式結(jié)構(gòu)的節(jié)點應(yīng)變能靈敏度反映在高度方向上節(jié)點移動對結(jié)構(gòu)應(yīng)變能的影響程度，據(jù)此調(diào)整節(jié)點位置以降低結(jié)構(gòu)總體應(yīng)變能，提高整體剛度。本文介紹方法主要針對于平面梁單元組成的拱式結(jié)構(gòu)。

2.1 節(jié)點應(yīng)變能靈敏度[3]

荷載作用下結(jié)構(gòu)產(chǎn)生變形，結(jié)構(gòu)內(nèi)部儲存應(yīng)變能，利用荷載和位移列向量求結(jié)構(gòu)應(yīng)變能公式為：

上式兩邊關(guān)于節(jié)點高度yi的微分形式為：

由上式可知應(yīng)變能關(guān)于節(jié)點高度的微分中只有單元剛度矩陣與節(jié)點坐標(biāo)存在微分關(guān)系，某一節(jié)點坐標(biāo)只與其相鄰幾個單元剛度矩陣存在函數(shù)關(guān)系，因此節(jié)點應(yīng)變能靈敏度為相鄰單元應(yīng)變能關(guān)于節(jié)點坐標(biāo)微分的代數(shù)和，即：

2.2 節(jié)點高度調(diào)整[3]

對于拱式結(jié)構(gòu)這種類似的平面結(jié)構(gòu)，只需對節(jié)點高度方向位置進行調(diào)整，將節(jié)點鉛直坐標(biāo)y作為影響結(jié)構(gòu)應(yīng)變能的唯一因素，將應(yīng)變能C寫成關(guān)于節(jié)點高度y的函數(shù)C(y)，將C(y)在節(jié)點高度y附近用泰勒公式展開：

假定節(jié)點鉛直坐標(biāo)y每次的該變量足夠小，Δyi的高階項對應(yīng)變能的值影響非常小，可略去，選取一個參數(shù)Δ作為優(yōu)化步長，故各節(jié)點高度在每個迭代步的調(diào)整值為：

將去掉Δyi高階項的泰勒展開公式寫為：

計算過程中節(jié)點應(yīng)變能靈敏度可為正值、負(fù)值或者零，當(dāng)值為零時說明結(jié)構(gòu)應(yīng)變能對節(jié)點坐標(biāo)的改變不敏感，當(dāng)為正值時節(jié)點應(yīng)向下移動，為負(fù)值時節(jié)點向上移動，只要選取合適的優(yōu)化步長Δ，結(jié)構(gòu)應(yīng)變能會一直呈下降的趨勢，優(yōu)化步長過大會影響計算結(jié)構(gòu)的準(zhǔn)確性，過小會有計算效率，優(yōu)化步長Δ選擇需逐步驗算得出[4]。

3 優(yōu)化步驟

1)根據(jù)設(shè)定的邊界條件，材料屬性，建立初始模型并加載求解，整個優(yōu)化過程中假定節(jié)點荷載不隨節(jié)點位置的改變而改變；

2)計算各個節(jié)點的應(yīng)變能靈敏度；

3)根據(jù)應(yīng)變能靈敏度調(diào)整節(jié)點高度；

4)重復(fù)迭代2)，3)，直至達(dá)到指定的收斂準(zhǔn)則。

兩相鄰迭代步結(jié)構(gòu)應(yīng)變能的差值足夠小時即停止運算。

4 算例分析

4.1 算例1

如圖1所示初始模型平面梁單元組成的模型跨度為40 m，矢高為10 m，梁材料的彈性模量為30 GPa，桿件截面尺寸0.062 5 m2，慣性矩Iz=3.26×10-4m4，中間節(jié)點的豎向荷載Fy=-10 kN。兩端支座為固定鉸支。

圖1a)為模型初始形狀，圖1b)為優(yōu)化后模型形狀，在節(jié)點豎向荷載作用下，經(jīng)過優(yōu)化迭代得到優(yōu)化后模型的形狀，在優(yōu)化前期模型中間部分的節(jié)點高度略有下降，靠近支座的兩端部分節(jié)點有所上升，在后期除支座外的節(jié)點都會呈現(xiàn)上升趨勢，優(yōu)化前后節(jié)點位置見圖2。

表1對模型優(yōu)化前后的應(yīng)變能、最大軸向應(yīng)力、平均軸向應(yīng)力、最大彎曲應(yīng)力、平均彎曲應(yīng)力、最大等效應(yīng)力進行對比。模型應(yīng)變能有著明顯的降低，應(yīng)變能變化過程見圖3，優(yōu)化前期應(yīng)變能下降速度迅速，經(jīng)過20個迭代步后應(yīng)變能變化曲線趨于平緩；最大軸向應(yīng)力和平均軸向應(yīng)力經(jīng)過優(yōu)化其值會減小，降低的幅度很??；最大彎曲應(yīng)力和平均彎曲應(yīng)力的降低較為顯著，單元的最大等效應(yīng)力同樣有明顯下降趨勢。初始形狀模型在荷載作用下以彎曲為主導(dǎo)作用，優(yōu)化后模型主要承受軸向作用，軸向應(yīng)力對模型應(yīng)變能的影響較小，其值變化范圍也較小，所以軸向作用對模型應(yīng)變能的降低貢獻(xiàn)率較小。初始形態(tài)軸向作用產(chǎn)生的應(yīng)變能為44.39 J，優(yōu)化后為39.37 J，逼近模型整體應(yīng)變能，因此模型應(yīng)變能的降低幅度就取決于彎曲作用的減小范圍，整個優(yōu)化過程重點是在降低模型的彎曲作用，一直優(yōu)化下去模型將無限接近于合理拱軸線的形態(tài)。

表1 結(jié)構(gòu)優(yōu)化前后靜力性能比較

迭代步應(yīng)變能/J最大軸向應(yīng)力/MPa平均軸向應(yīng)力/MPa最大彎曲應(yīng)力/MPa平均彎曲應(yīng)力/MPa最大等效應(yīng)力/MPa11051.161.110.9611.897.5412.720039.771.050.890.020.011.06

4.2 算例2

如圖4所示平面梁單元組成的模型跨度為20 m，矢高為4 m，梁材料的彈性模量為30 GPa，桿件截面尺寸為變截面，中間節(jié)點的

豎向荷載Fy=-5 kN。兩端支座為固定鉸支，圖4中編號為單元號。

表2 單元截面尺寸

m2

表2為各個梁單元的截面面積。經(jīng)過優(yōu)化拱圈的矢高為5.28 m，結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能由345.92 J下降為18.99 J；結(jié)構(gòu)平均軸向應(yīng)力由2.49 MPa下降為1.92 MPa；平均彎曲應(yīng)力由13.32 MPa下降為0.02 MPa。在本算例中下降最為顯著的依然是彎曲作用，圖5為優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)彎矩云圖。

5 結(jié)語

基于節(jié)點應(yīng)變能靈敏度的拱軸線形狀優(yōu)化，拱軸線形狀的改變可使拱結(jié)構(gòu)應(yīng)變能顯著下降，應(yīng)變能是一個綜合的物理量，它的降低反映結(jié)構(gòu)綜合性能得到改善。拱式結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化旨在極大的降低彎曲作用，使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的彎曲應(yīng)變能最小化，桿件主要承受軸向這種傳力最高效的作用形式。在進行結(jié)構(gòu)設(shè)計時允許的空間范圍內(nèi)改變結(jié)構(gòu)形狀抵抗外荷載作用，可提高材料利用率。

[1] 張淑云.基于形狀優(yōu)化設(shè)計的拱軸線選擇[J].西安礦業(yè)學(xué)院學(xué)報,1998(A9):36-40.

[2] 崔昌禹,姜寶石,崔國勇.結(jié)構(gòu)形態(tài)創(chuàng)構(gòu)方法的工程應(yīng)用[J].建筑鋼結(jié)構(gòu)進展,2011,13(6):9-18.

[3] 崔昌禹,嚴(yán) 慧.自由曲面結(jié)構(gòu)形態(tài)創(chuàng)構(gòu)方法——高度調(diào)整法的建立與其在工程設(shè)計中的應(yīng)用[J].土木工程學(xué)報,2006,39(12):1-6.

[4] 王有寶.自由曲面單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)形態(tài)創(chuàng)構(gòu)方法研究[D].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué),2012.

Shape optimization of arch axis based on strain energy sensitivity

Sha Xiaoqing Zhang Haidi Hou Hongfei

(HebeiInstituteofArchitectureandCivilEngineering,Zhangjiakou075000,China)

Through two examples, the method of selecting the arch axis based on the strain energy sensitivity is studied. According to the strain energy sensitivity, the structural shape optimization can reduce the strain energy of the structure, improve the comprehensive performance of the structure, achieve a more reasonable structure.

arch axis, strain energy sensitivity, optimization method, mathematic model

2016-11-28

沙曉慶(1990- )，男，在讀碩士； 張海迪(1991- )，女，在讀碩士； 侯洪飛(1992- )，男，在讀碩士

1009-6825(2017)04-0050-02

TU311

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