張曉霞,李志堅

(山西大學 理論物理研究所,山西 太原 030006)

一維分離時間量子行走的拓撲特性研究

張曉霞,李志堅*

(山西大學 理論物理研究所,山西 太原 030006)

分離時間量子行走是由硬幣旋轉(zhuǎn)算符和依賴于硬幣態(tài)的條件平移算符相繼重復作用于系統(tǒng)初態(tài)的一種量子動力學方案。文章在兩種作用算符中各引入一個可控參數(shù)研究系統(tǒng)的拓撲變化特性。通過計算系統(tǒng)的幾何相位,給出系統(tǒng)在可調(diào)參數(shù)空間的拓撲相圖。進而考慮空間不均勻的一維分離時間量子行走,分析其在邊界上的占有概率隨時間的變化,驗證了拓撲保護邊界態(tài)的存在。對比拓撲相圖與擴散系數(shù)在參數(shù)空間的變化特征,發(fā)現(xiàn)可通過擴散系數(shù)揭露量子行走的拓撲特性。

量子行走;拓撲相變;幾何相位

量子行走是經(jīng)典隨機行走的量子對應[1],描述了量子粒子在離散格點上的動力學行為。在量子行走中由于量子態(tài)的相干疊加和干涉效應,使其與經(jīng)典隨機行走相比有顯著的不同,例如量子行走有比經(jīng)典隨機行走更快的傳播速度。量子行走包括連續(xù)時間量子行走和分離時間量子行走兩種形式。分離時間量子行走沒有勢能的概念,但可以通過硬幣算符的參數(shù)來等效量子勢[2-3]。因此,可以通過分離時間量子行走模擬各種各樣的物理過程,如光合作用[4],量子擴散[5]和電子擊穿[6]等。實驗上,人們已經(jīng)利用光格子中的超冷原子[6]、離子阱中的原子[7]、光學平臺中的光子[8]等一些物理系統(tǒng)實現(xiàn)了單個或多個粒子的量子行走。

另一方面,從整數(shù)量子霍爾效應[9]的發(fā)現(xiàn)開始,物理系統(tǒng)的拓撲結構對系統(tǒng)性質(zhì)的影響受到了人們的廣泛關注。近些年,理論和實驗相繼發(fā)現(xiàn)了拓撲超導體和拓撲絕緣體等新型材料。然而具有這種拓撲性質(zhì)的天然材料很少,分離時間量子行走則為人工制造這種材料提供了可能[10]。通常定義的分離時間量子行走只具有一種非平庸的拓撲結構。后來人們提出了劈裂步分離時間量子行走的設計方案[11-12],這種方案引入了兩個硬幣算符,通過調(diào)節(jié)這兩個硬幣算符中的參數(shù)可以實現(xiàn)平庸拓撲相和非平庸拓撲相的轉(zhuǎn)變。分離時間量子行走可以給出更為豐富的拓撲結構,證實在具有不同拓撲性質(zhì)的兩種相的邊界處存在拓撲保護的邊界態(tài)[13]。本文中,我們在條件平移算符中引入一個可控參數(shù),和硬幣算符的一個參數(shù)形成二維的參數(shù)空間,在該空間中給出分離時間量子行走的拓撲相圖,進而討論拓撲相轉(zhuǎn)變和拓撲保護的邊界態(tài)等物理特性。

1 分離時間量子行走及拓撲相圖

一維分離時間量子行走包含位置和硬幣兩種自由度,其態(tài)矢量定義在位置空間Hp={|m〉,m∈Z}和硬幣空間Hc={|c〉,c=↑,↓}的直積希爾伯特空間中。分離時間量子行走的每一步時間演化U都由硬幣算符Rw和條件平移算符S相繼作用產(chǎn)生,即

(1)

其中Im為位置空間的單位算符。在標準的二維硬幣量子行走模型中,量子行走在一維位置空間中的兩個行走方向分別由兩個正交硬幣態(tài)決定。本文中,我們在條件平移算符中引入一個參數(shù)φ,當二維硬幣態(tài)發(fā)生翻轉(zhuǎn)時,量子行走只以概率幅isinφ進行部分行走,翻轉(zhuǎn)方向決定行走方向,另一部分則以cosφ為概率幅保持硬幣態(tài)和位置不變。相應的條件平移算符可表示為

(2)

容易證明方程(2)滿足幺正性條件SS+=1。硬幣算符Rw也是一個作用于二維硬幣空間上的幺正算符,一般地,它可由繞任意軸w旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)算符Rw=e-iθ w·σ表示,其中σ為泡利矩陣,θ為旋轉(zhuǎn)角。本文中我們選定繞y軸旋轉(zhuǎn),則其可以表示為

(3)

該模型在實驗上可以通過光學平臺加以實現(xiàn)[14-15],硬幣自由度和位置自由度分別編碼在光子的極化態(tài)和軌道角動量態(tài)中。利用1/4波片調(diào)節(jié)光束的極化方向,實現(xiàn)量子硬幣的拋擲過程,此時的量子硬幣可以處于|↓〉態(tài)和|↑〉態(tài)的任意疊加態(tài)上。條件平移算符方程(2)可以通過一個稱為q-plate的光學元件來實現(xiàn)。它是一個結構特殊的可以產(chǎn)生相位延遲的液晶雙折射光學鏡片,并具有拓撲電荷q。在一個橫截面內(nèi),它的光軸不是平行指向。由于雙折射效應,它的功能可以分為兩部分。一部分是它以一定的概率使得入射光子的每個圓極化分量發(fā)生螺旋性翻轉(zhuǎn),使得自旋角動量和軌道角動量相互轉(zhuǎn)變,從而改變了入射光子的角動量態(tài)。由此可以利用q-plate設計產(chǎn)生光子的自旋軌道耦合,實現(xiàn)在光子極化態(tài)控制下的軌道角動量的改變,這在數(shù)學上的表示對應方程(2)的前兩項。另一部分是它使剩下概率的光以尋常光直接通過,既不改變?nèi)肷涔庾拥淖孕莿恿恳膊桓淖児庾拥能壍澜莿恿?這在數(shù)學上的表示對應方程(2)的后兩項。入射光子的角動量態(tài)改變的概率與q-plate產(chǎn)生的延遲相位有關,這一相位由方程(2)中引入的參數(shù)φ描述,它可以通過電場、溫度等外加方式來進行調(diào)控。

在量子行走中,雖然演化算符是由幺正算符S和Ry直接定義而來,但其可以等效為有效哈密頓量Heff的形式,即一步演化算符可表示為U=e-iHeff。經(jīng)過t步,量子行走演化為

因為t取分立的值,因此分離時間量子行走可以看作一個由有效哈密頓量描述的系統(tǒng)進行時間演化時的閃頻模擬,而且有效哈密頓量Heff的本征值以2π為周期。將方程(2)作傅里葉變換,S在動量空間可表示為

(4)

相應地,動量空間中的有效哈密頓量為

(5)

其中nφ,θ(k)為單位矢量,表示動量為k的量子行走在硬幣空間的本征態(tài)的極化方向;Eφ,θ(k)是能量本征值,與動量k滿足色散關系

cos[Eφ,θ(k)]=cosθcosφ-sinksinθsinφ.

(6)

至此,我們可以清楚地看到量子行走可以等效為具有自旋軌道耦合的有效哈密頓量形式,這為實現(xiàn)非平庸的拓撲結構提供了必要的條件。

由于量子行走的坐標和時間都為離散變量,而且具有平移不變性,其動量和能量都是具有周期性結構的準動量和準能量。不失一般性,我們將二者都定義在-π到π區(qū)間之內(nèi)。給定一個動量k,兩個硬幣自由度使得方程(6)包含正負兩支能帶,調(diào)節(jié)參數(shù)θ和φ可以使兩支能帶之間的能隙打開或閉合。圖1(a)給出當θ和φ取不同值時,量子行走的能量Eφ,θ(k)隨動量k的變化圖。當|sinφ|≠|(zhì)sinθ|時,正負兩支能量曲線關于Eφ,θ(k)=0對稱,而且不會相交,即兩支能帶之間存在一定的能隙;當|sinφ|=|sinθ|≠1時,兩支能帶在k=-π/2或π/2處閉合,簡并能量Eφ,θ(k)=0或π。特別地,如果|θ|=|φ|=π/2,量子能量曲線隨能量k成線性變化,而且同時在k=±π/2處閉合。對應每支能帶,量子行走的群速分別為

(7)

從方程(6)和(7)中可以看出,當θ,φ=0或π時,Eφ,θ(k)=0或π,此時群速沒有定義。取不同的θ和φ值,對應能量正支的群速隨動量k的變化如圖1(b)所示。從圖可以看出,如果兩支能帶之間存在間隙,則群速會連續(xù)變化,形成一條平滑的曲線;但是如果能帶發(fā)生閉合,則群速會出現(xiàn)不連續(xù)的情況,特別是當|θ|=|φ|=π/2時,群速除了在k=±π/2處沒有定義外,其絕對值為常數(shù)1。

Fig.1 Variations of (a) energy and (b) group velocity with momentum are shown for different values of θ and φ in discrete time quantum walk圖1 參數(shù)θ和φ取不同的值時,分離時間量子行走的(a)能量和(b)群速度隨動量的變化情況

當|sinφ|≠|(zhì)sinθ|時,隨著k的變化,系統(tǒng)的兩支能帶之間總是存在能隙,在不同的取值區(qū)域,雖然系統(tǒng)的能帶結構相似,但相應態(tài)矢量的極化方向不同,會表現(xiàn)出不同拓撲特性。下面我們用幾何相位

(8)

作為拓撲不變量并給出系統(tǒng)的相圖,以表征系統(tǒng)的拓撲特性。為了方便計算,我們將演化算符U繞y軸旋轉(zhuǎn)角度π-θ,使得單位向量nφ,θ(k)旋轉(zhuǎn)至x-y平面。這時演化算符變?yōu)?/p>

U′=ei(π-θ)σy/2Ue-i(π-θ)σy/2=(cosθcosφ-sinθsinφsink)I-isinφcoskσx-i(sinθcosφ+cosθsinφsink)σy，

(9)

其本征矢可解析地表示為

(10)

其中δ(k)滿足tanδ(k)=(sinφcosk)/(sinθcosφ+cosθsinφsink)。將方程(10)代入(8)可得幾何相位

(11)

上式表明,在參數(shù)θ和φ的不同取值區(qū)域,該量子行走的幾何相位或者為±π,或者為0,它們分別對應著系統(tǒng)具有非平庸和平庸的拓撲相。在圖2中,我們給出幾何相位,即拓撲不變量隨著θ和φ變化的拓撲相圖,實線和虛線分別表示兩支能帶在Eφ,θ(k)=0和Eφ,θ(k)=π處閉合。當能帶間隙閉合時,有效哈密頓量的本征態(tài)是極化方向相反的兩個硬幣態(tài)的任意疊加態(tài),此時拓撲相沒有定義。在兩支能帶閉合的直線兩側,系統(tǒng)具有不同的拓撲相。

Fig.2 Diagram is the topological phase diagram of discrete-time quantum walk in parameter space (θ,φ),±π and 0 in figure are the values of Zak phase in corresponding parameter region圖2 分離時間量子行走在參數(shù)(θ,φ)空間中的拓撲相圖,圖中標記的±π和0是相應區(qū)域的幾何相的大小

2 拓撲保護的邊界態(tài)及擴散系數(shù)

根據(jù)體-邊界對應原理,在具有不同拓撲結構的兩種相的邊界處會出現(xiàn)拓撲保護的邊界態(tài)。為了研究這種邊界態(tài),下面我們考慮一個空間不均勻的量子行走,也就是說,在方程(1)-(3)中,我們固定平移參數(shù)φ,當位置坐標m≤0時,選取硬幣參數(shù)θ=θ-,而當位置坐標m>0時,選取θ=θ+。當(θ-,φ)和(θ+,φ)在圖2中所對應的點具有不同的幾何相位時,m=0兩側區(qū)域具有不同的拓撲相。容易證明這種空間不均勻的量子行走,其演化算符U仍然滿足幺正性。邊界態(tài)是否存在可以通過粒子在邊界處的占有概率來判斷,如果粒子在邊界處的占有概率隨著演化時間的增加不再發(fā)生變化,并保持恒定的占有率,則說明邊界處存在邊界態(tài)。這是因為隨著演化步數(shù)的增加,量子行走一般會彈道擴散,但如果邊界處存在束縛態(tài),那么量子行走就會以一定的概率留在邊界處,而且這一概率不會隨時間改變,其大小由初態(tài)在束縛態(tài)上的投影決定。如果邊界處不存在束縛態(tài),則量子行走在邊界處的概率會隨著演化時間的增加趨于0.

(a)(b) θ-=-π/4,θ+=5π/16;(c)(d) θ-=-3π/5,θ+=5π/16;(e)(f) θ-=π/8,θ+=3π/4Fig.3 Subfigures (a), (c) and (e) show the probability distribution in position space when t=50 and the subfigures (b), (d)and (f) show the probability distribution in position space as a function of time t. The other parameters are chosen as φ=5π/12圖3 (a),(c)和(e)為當t=50時,空間不均勻的量子行走在位置空間中的概率分布圖;(b),(d)和(f)為空間不均勻的量子行走的概率分布隨時間和空間變化的二維投影圖,其中參數(shù)φ=5π/12

從上文已經(jīng)看到,通過調(diào)節(jié)方程(1)-(3)中的平移參數(shù)φ和硬幣參數(shù)θ,可以使得量子行走的拓撲特性發(fā)生改變。研究這種拓撲轉(zhuǎn)變與可觀察效應的關系具有重要意義。下面我們研究擴散系數(shù)對這些參數(shù)的依賴關系,從而來判斷系統(tǒng)所具有的拓撲特性。擴散系數(shù)是物質(zhì)的物理性質(zhì)之一,表示粒子的擴散能力,某一時刻的擴散系數(shù)D[16]定義為

(12)

Fig.4 Diffusion coefficient as a function of parameter angle φ are plotted for different values of θ圖4 選取不同的參數(shù)θ,擴散系數(shù)隨參數(shù)φ的變化圖

3 結論

分離時間量子行走是操控一個粒子的量子動力學方案,我們通過在分離時間量子行走中的旋轉(zhuǎn)算符和條件平移算符中各引入一個可控參數(shù),研究其隨著這些參數(shù)變化的拓撲變化特性。由于該分離時間量子行走的準能量與準動量間具有獨特的色散關系,可以通過改變引進的參數(shù)使得兩支能帶間的能隙打開或閉合,相應地,群速在能隙閉合時會發(fā)生突變。通過計算系統(tǒng)的幾何相位,發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)在不同參數(shù)區(qū)域有幾何相位為0的平庸拓撲相和幾何相位為±π的非平庸拓撲相,由此給出系統(tǒng)在可調(diào)參數(shù)空間的拓撲相圖。在此基礎上,我們考慮了一個空間不均勻的一維分離時間量子行走,也就是改變可調(diào)參數(shù)使得具有相同或不同拓撲相的兩種結構相連接,通過計算邊界上量子行走的占有概率隨著時間的變化情況,驗證了拓撲保護邊界態(tài)的存在。對比拓撲相圖與擴散系數(shù)在參數(shù)空間的變化特征,發(fā)現(xiàn)可觀察的擴散系數(shù)在不同的拓撲相區(qū)域會表現(xiàn)出兩種完全不同的變化形式,一種是拋物型變化,一種是平直不變,二者的連接處是一個拐點,剛好對應兩支能帶的閉合點,由此可以通過擴散系數(shù)揭露量子行走的拓撲特性。

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Topological Property of One-Dimensional Discrete-Time Quantum Walk

ZHANG Xiaoxia,LI Zhijian*

(InstituteofTheoreticalPhysics,ShanxiUniversity,Taiyuan030006,China)

Discrete-time quantum walk is a quantum dynamic scheme, which involves the coin flipping and conditional position shift based on the outcome of the coin state.We study the topological properties of one-dimensional discrete-time quantum walk by introducing two controllable parameters in coin operator and conditional shift operator respectively. The topological phase diagram in this parameter space is present by calculating the geometric phase. Furthermore, we consider an inhomogeneous quantum walk to demonstrate the existing of the topologically protected edge states. When two parts with different topological phase joint together, the occupancy probability at the boundary keeps a constant after lone time evolution. By comparing the topological phase diagram with the change of the diffusion coefficient in the parameter space, we find that the diffusion coefficient can reveal the topological properties of quantum walk.

quantum walk;topological phase transition;geometric phase

10.13451/j.cnki.shanxi.univ(nat.sci.).2017.01.014

2016-12-05；

2016-12-26

山西省回國留學人員科研資助項目(2015-012)；山西省面上自然科學基金(201601D011009)

張曉霞(1990-)，女，山西大同人，碩士研究生， E-mail ：928970149@qq.com

*通信作者：李志堅(LI Zhijian),E-mail:zjli@sxu.edu.cn

O413

A

0253-2395(2017)01-0100-06