周碧波，邢艷元，張潤(rùn)玲

(呂梁學(xué)院 數(shù)學(xué)系,山西 呂梁 033006)

關(guān)于0<α<1的Caputo分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程解的存在唯一性

周碧波，邢艷元，張潤(rùn)玲

(呂梁學(xué)院 數(shù)學(xué)系,山西 呂梁 033006)

研究了一類Caputo分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程解的存在唯一性問題,通過利用不動(dòng)點(diǎn)定理和壓縮映像原理,得到了分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程存在唯一解的充分條件,并且給出了兩個(gè)例子說明結(jié)論的正確性。文章的結(jié)果推廣和改進(jìn)了以往相關(guān)文獻(xiàn)解的存在性結(jié)論。

分?jǐn)?shù)階；脈沖；Coputo導(dǎo)數(shù)；不動(dòng)點(diǎn)定理

0 引言

分?jǐn)?shù)階微分方程是微分方程理論的一個(gè)重要分支。由于廣泛的應(yīng)用性,分?jǐn)?shù)階微分方程理論被廣泛應(yīng)用于物理、生物、工程、人工智能等領(lǐng)域中,而且由于分?jǐn)?shù)階微積分具有遺傳性和記憶性,所以應(yīng)用分?jǐn)?shù)階微分方程可以更好地刻畫一些復(fù)雜的微觀系統(tǒng)模型,例如:布朗運(yùn)動(dòng)、地下水流系統(tǒng)等;具體可參見文獻(xiàn)[1-4]。

脈沖微分方程在過去二十年中得到了迅速的發(fā)展,適用于刻畫一個(gè)具有不連續(xù)跳躍或者突變的物理過程模型。例如:脈沖微分方程被大量用于疾病預(yù)防控制、減震系統(tǒng)等方面的研究,參見文獻(xiàn)[5-6]。目前,許多學(xué)者開始研究分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程,用它來刻畫一些更為復(fù)雜的微觀系統(tǒng)模型,具體參見文獻(xiàn)[7-10]。

在文獻(xiàn)[6-9]中,作者均研究了一類0<α<1的Caputo分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程,方程格式如下:

(1)

這個(gè)方程在工程物理學(xué)上具有很大的實(shí)際意義,在文獻(xiàn)[10]中,作者K.Balachandran和S.kiruthika證明了(1)式在Banach空間中解的存在性;在文獻(xiàn)[11]中,作者Benchohra和Seba利用Monch不動(dòng)點(diǎn)定理討論了(1)式初值問題和局部的Cauchy問題.

但是在文獻(xiàn)[6-9]中,作者在討論(1)式模型時(shí),均采用如下形式的積分解去構(gòu)造算子:

(2)

仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)(1)式與(2)式并不是完全等價(jià)的,所以利用(2)式去構(gòu)造算子進(jìn)行分析(1)式是不合理的。

事實(shí)上,在不考慮脈沖影響的前提下,即Ik(u(tk))=0,則(1)式可化為:

(3)

轉(zhuǎn)化為如下的積分形式:

(4)

(2)式在不考慮脈沖的條件下可化為:

(5)

由(4),(5)可知,當(dāng)t?J0時(shí),

(6)

在文獻(xiàn)[5]中,作者Zhang等意識(shí)到(2)式并不完全等價(jià)于(1)式,作者只是構(gòu)造了一個(gè)誤差序列en去逼近正確的積分形式解, 沒有給出確定的解的形式。這篇文章其中一個(gè)目的就是尋找(1)式積分解, 然后通過構(gòu)造算子來判斷當(dāng)一定條件滿足時(shí)方程(1)式解的存在唯一性。

1 準(zhǔn)備工作

為敘述問題方便,我們給出如下符號(hào)和定義:令

定義1.1[1]若函數(shù)h∈L1[a,b],α>0,則稱

為函數(shù)h(t)的α次積分;若函數(shù)h(t)定義在[a,b]上,h(t)n階可導(dǎo),?α>0,則對(duì)h(t)的α次Caputo導(dǎo)數(shù)定義如下:

定義1.2[3]若Φ∶X→X,?x,y∈X,有‖Φ(x)-Φ(y)‖≤k‖x-y‖,其中0

證明 由Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義可知:

引理1.5[4]設(shè)C是B*空間中的一個(gè)閉凸子集,T∶C→C連續(xù),且T(C)列緊,則算子T在集合C上至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。

引理1.6[7]若(X,‖.‖)是一個(gè)完備的距離空間,Φ:X→X是一個(gè)壓縮映射,則Φ在X上有唯一的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。

更詳細(xì)的相關(guān)內(nèi)容見文獻(xiàn)[1-4,11]。

2 主要內(nèi)容

引理2.1 若函數(shù)u∈L1(0,T)滿足分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程(1)式當(dāng)且僅當(dāng)u∈L1(0,T)是如下積分方程的解:

(2.1)

證明 必要性:

當(dāng)t∈J0時(shí),對(duì)(1)式中的第一個(gè)方程兩邊同時(shí)取α次積分,再由引理1.2和1.3可以得到:

(2.2)

當(dāng)t∈J1時(shí),對(duì)(1)式中的第一個(gè)方程兩邊同時(shí)取α次積分,再由引理1.2和1.3可以得到:

由于u(t)在(0,t)內(nèi)有一個(gè)間斷點(diǎn)t=t1,所以有

(2.3)

當(dāng)t∈Jk時(shí),有

且

所以

則有

即

(2.4)

由(2.2)(2.3)(2.4)式可知(1)式的積分形式解是(2.1)。

充分性:

當(dāng)t∈J0時(shí),令t=0,由(3.1)可得u(0)=u0.

當(dāng)t∈J1時(shí),對(duì)(2.1)式兩邊取α次Caputo導(dǎo)數(shù),由引理1.4可得:

即

(2.5)

(2.6)

(2.7)

再由(2.7)減去(2.6)可得

(2.8)

所以由(2.5)(2.8)可知,當(dāng)t∈J1時(shí),(2.1)滿足(1)中的各式,同理可證當(dāng)t∈Jk時(shí),(2.1)同樣也滿足(1)中的各式。

證畢。

定理2.1 若以下條件成立:

(H2) Ik∶X→X連續(xù),且存在非負(fù)常數(shù)lk,滿足 ‖Ik(u(tk))‖≤lk,k=1,2，…，m .

則方程(1)至少存在一個(gè)解u(t),且滿足‖u(t)‖≤λ,其中

證明 由引理2.1的積分形式構(gòu)造算子F:PC[J,X]→PC[J,X], 令

第一步,先證F在Bλ中連續(xù)。

?u(t)∈Bλ,?{un}?Bλ,當(dāng)n→∞時(shí),un→u .

令n→∞時(shí),un→u,再由條件(H1),(H2)有Ik(un(tk))→Ik(u(tk)),f(s,un(s))-f(s,u(s)).所以

‖F(xiàn)un(t)-Fu(t)‖→0,(n→∞);即F在Bλ中連續(xù)。

第二步,證F(Bλ)?Bλ.

由引理1.1及(H1),(H2)有,對(duì)?t∈J0=[t0,t1],有

所以‖F(xiàn)u‖≤λ0.

對(duì)?t∈J1=(t1,t2],

所以‖F(xiàn)u‖≤λ1.

對(duì)?t∈Jm=(tm,T],

所以‖F(xiàn)u‖≤λm.

顯然λ0<λ1<λ2<…<λ(m-1)<λm,令λm=λ,所以有F(Bλ)?Bλ.

第三步,證F(Bλ)列緊。

即F(Bλ)等度連續(xù),且由第二步可知F(Bλ)一致有界,通過Azela-Ascoli定理易知F(Bλ)列緊。

最后由引理1.5可知F在Bλ上至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)u,且滿足‖u(t)‖≤λ,其中

證畢。

定理2.2 若以下條件成立:

(H3)對(duì)?u,v∈PC(J,X),?非負(fù)常數(shù)lk,滿足?tk∈J,有‖Ik(u(tk))-Ik(v(tk))‖≤lk‖u-v‖ .

(H4)存在非負(fù)連續(xù)函數(shù)L(t),使得?u,v∈PC(J,X),有‖f(t,u)-f(t,v)‖≤L(t)‖u-v‖ .

證明 對(duì)?u(t),v(t)∈Bλ,有

證畢。

3 例子

例1

(3.1)

令

顯然對(duì)?u∈[0,+∞),?t∈[0,T]有

由定理(2.1)可知,(3.1)在[0,T]上至少存在一個(gè)解。

例2

(3.2)

其中v>0為常數(shù),且t∈ [0,1]/{t1} .

令

則?u1(t),u2(t),?t∈[0,1],有

定理2.2中的所有假設(shè)滿足,所以(3.2)有唯一解。

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Existence and Uniqueness of Solution for a Class of Impulsive Differential Equations of Caputo Fractional Order 0<α<1

ZHOU Bibo，XING Yanyuan，ZHANG Runling

(Departmentofmathematics,LüliangUniversity,Lüliang033006，China)

We study the existence and uniqueness solution for a class of Caputo fractional differential equations. By using the fixed point theorem and contraction mapping principle, we obtain the sufficient conditions which guarantee the existence of a unique solution. As applications, we give two examples to illustrate the conclusions.The relevant results are generalized and improved.

factional order;impulsive;Caputo derivative;fixed point theorem

10.13451/j.cnki.shanxi.univ(nat.sci.).2017.01.010

2016-11-01；

2016-11-01

山西省呂梁學(xué)院2015自然科學(xué)校內(nèi)基金(ZRXN201511)

周碧波,男,山西運(yùn)城人,教師,研究方向:非線性泛函分析。E-mail:359922458@qq.com

O175

A

0253-2395(2017)01-0070-08