薛紅,王銀利

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，西安 710048)

雙分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過程下后定選擇權(quán)定價(jià)

薛紅,王銀利

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，西安 710048)

假定股票價(jià)格服從雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)和泊松過程共同驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程,股票預(yù)期收益率,無風(fēng)險(xiǎn)利率和股價(jià)波動(dòng)率均為常數(shù),建立雙分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散環(huán)境下金融數(shù)學(xué)模型,利用保險(xiǎn)精算方法,結(jié)合雙分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散隨機(jī)分析理論研究后定選擇權(quán)定價(jià)問題,得出了雙分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散環(huán)境下后定選擇權(quán)定價(jià)公式。

后定選擇權(quán);雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng);跳-擴(kuò)散過程;保險(xiǎn)精算方法

隨著期權(quán)市場(chǎng)的發(fā)展,期權(quán)定價(jià)成為金融工程學(xué)研究的核心問題。后定選擇權(quán)是一種允許持有人在特定時(shí)間點(diǎn)選擇看漲或者看跌的新型期權(quán)。由于股票價(jià)格會(huì)因?yàn)橐恍┩话l(fā)狀況而出現(xiàn)跳躍,近年來不少學(xué)者考慮用Poisson過程和布朗運(yùn)動(dòng)或分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)共同驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程來描述股票價(jià)格變化,文獻(xiàn)[1]假定股票價(jià)格服從分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)和非時(shí)齊Poisson過程共同驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程,且無風(fēng)險(xiǎn)利率和波動(dòng)率為時(shí)間的非隨機(jī)函數(shù)的條件下,得出了歐式期權(quán)的定價(jià)公式。文獻(xiàn)[2]在布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下假定股票價(jià)格滿足跳擴(kuò)散過程驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程,利用測(cè)度變換方法給出了歐式任選期權(quán)的定價(jià)公式。由于布朗運(yùn)動(dòng)的增量具有平穩(wěn)性和獨(dú)立性,使得它只能描述未來股價(jià)與過去無關(guān)的股票價(jià)格變化過程,這使得對(duì)期權(quán)價(jià)格的研究具有很大的局限性。文獻(xiàn)[3]假定股票價(jià)格服從分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過程驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程,利用分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散理論及保險(xiǎn)精算方法,得出了分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過程下后定選擇權(quán)的定價(jià)公式。雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)是一種比分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)更一般的高斯過程,其既不具有平穩(wěn)增量,也不具有獨(dú)立增量,使得它可用來描述股票價(jià)格變化。文獻(xiàn)[4-5]闡述了雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的概念和性質(zhì)。文獻(xiàn)[6]假定股票價(jià)格服從雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)和跳過程驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程,運(yùn)用保險(xiǎn)精算方法得出了雙分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過程下歐式期權(quán)定價(jià)公式。文獻(xiàn)[7]首次提出保險(xiǎn)精算方法,與鞅方法或測(cè)度變換方法相比,保險(xiǎn)精算方法將期權(quán)定價(jià)問題轉(zhuǎn)化為等價(jià)的公平保費(fèi)問題,不存在任何經(jīng)濟(jì)假設(shè),在計(jì)算數(shù)學(xué)期望時(shí)使用的是股票價(jià)格過程的實(shí)際概率測(cè)度,這樣使得它不僅對(duì)均衡,無套利,完備的市場(chǎng)有效,并且對(duì)非均衡,有套利,不完備的市場(chǎng)也有效。關(guān)于保險(xiǎn)精算方法在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用見文獻(xiàn)[8-10]。本文假定股票價(jià)格服從雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)和Poisson過程共同驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程,運(yùn)用雙分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散隨機(jī)分析理論,利用保險(xiǎn)精算方法得出了后定選擇權(quán)的定價(jià)公式。

1 金融數(shù)學(xué)模型

假定股票價(jià)格St滿足隨機(jī)微分方程

(1)

引理1.1 隨機(jī)微分方程(1)的解為

(2)

假定只在t1∈[0,t]時(shí)刻發(fā)生了一次跳躍,則在[0,t1)時(shí)間段內(nèi)有

同理在(t1,t]時(shí)間段內(nèi)有

由(1)式有

從而有

所以,當(dāng)跳躍次數(shù)服從Poisson過程時(shí)可得結(jié)果。

定義1.2[7]股票價(jià)格過程{St,t≥0}在[t,T]上的期望回報(bào)率βu,u∈[t,T]定義為

證明 由(2)式有

又因?yàn)閧Ui,i≥1}為獨(dú)立同分布列,有

所以有E[ST]=Stexp{μ(T-t)}, 從而可得結(jié)果。

2 后定選擇權(quán)權(quán)定價(jià)

定義2.1[7]歐式看漲期權(quán)在t時(shí)刻的保險(xiǎn)精算價(jià)格定義為

(3)

其中r表示無風(fēng)險(xiǎn)利率,

歐式看跌期權(quán)在t時(shí)刻的保險(xiǎn)精算價(jià)格定義為

定理2.2 歐式看漲期權(quán)在t時(shí)刻的保險(xiǎn)精算價(jià)格

歐式看跌期權(quán)在t時(shí)刻的保險(xiǎn)精算價(jià)格

其中N(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù),且

證明 先來證明歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式。 由定義2.1有

令

則A={ξ>-d}.由(3)式及保險(xiǎn)精算定義可知

其中

且X～N(0,1),同時(shí)

同理可得歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式。

推論2.3 當(dāng)K=1時(shí),可得文獻(xiàn)[1]的結(jié)果。

推論2.4 歐式看漲、看跌期權(quán)的平價(jià)關(guān)系式為

其中C(St*,t*)和P(St*,t*)分別表示歐式看漲、看跌期權(quán)在t*時(shí)刻的保險(xiǎn)精算價(jià)格。

由歐式看漲、看跌期權(quán)平價(jià)關(guān)系可知,后定選擇權(quán)在t*時(shí)刻的現(xiàn)金流為

(4)

定理2.6 在t*時(shí)刻選擇看漲或看跌期權(quán)的后定選擇權(quán)在選擇時(shí)點(diǎn)前任意時(shí)刻t(0

其中N(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù),且

證明 令

其中

且Y～N(0,1),同時(shí)

從而定理得證。

推論2.7 當(dāng)K=1時(shí),可得到分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過程下的后定選擇權(quán)定價(jià)(見文獻(xiàn)[3])。

推論2.8 當(dāng)λ=0時(shí),可得雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下后定選擇權(quán)定價(jià)公式。

[1] 隋梅真,張?jiān)獞c.分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)和泊松過程共同驅(qū)動(dòng)下的歐式期權(quán)定價(jià)[J].山東建筑大學(xué)學(xué)報(bào),2008,23(1):70-73.

[2] 黃國(guó)安,鄧國(guó)和,霍海峰.跳-擴(kuò)散過程下歐式任選期權(quán)的定價(jià)[J].山西大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2008,31(3):438-442.

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Pricing Chooser Option Under Bi-fractional Jump-diffusion Process

XUE Hong,WANG Yinli

(SchoolofScience,Xi’anPolytechnicUniversity,Xi’an710048，China)

Assume that the stock price satisfy the stochastic differential equation driven by Bi-fractional Brownian and jump process, the expected return rate, interest rate and volatility rate are constant, the financial mathematics model is built, and the pricing problem of the chooser option is discussed by the theory of bi-fractional Brownian and jump process. The pricing formula of the chooser option is obtained by the actuarial approach.

chooser option;bi-fractional Brownian motion;jump-diffusion process;actuarial approach

10.13451/j.cnki.shanxi.univ(nat.sci.).2017.01.009

2016-03-30；

2016-10-20

陜西省自然科學(xué)基金(2016JM1031)；陜西省教育廳專項(xiàng)科研基金(14JK1299)

薛紅(1964-),男,山西萬榮人,博士,教授,從事隨機(jī)分析與金融數(shù)學(xué)研究,E-mail:xuehonghong@sohu.com

F830;O211

A

0253-2395(2017)01-0051-06