李曉妮 程濤

摘 要：微梁是微機電系統(tǒng)中的常見結(jié)構(gòu)，尺寸效應(yīng)是微梁不同于其他梁的重要特征.基于偶應(yīng)力理論和最小勢能原理，推導(dǎo)了微梁彎曲時一階微分方程組和邊界條件，通過引入狀態(tài)向量，建立微梁狀態(tài)向量間的傳遞關(guān)系，得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程，并借助精細(xì)積分法求解傳遞矩陣，建立了一種分析微梁尺寸效應(yīng)的高精度傳遞矩陣法.數(shù)值結(jié)果驗證了本文的有效性.

關(guān)鍵詞：微梁；尺寸效應(yīng)；傳遞矩陣法；偶應(yīng)力

中圖分類號：TU31；O34 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0 引言

隨著微機電系統(tǒng)（MEMS， Micro-Electro-Mechanical System）在航天航空，機械電子，生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，有關(guān)微尺度問題受到了眾多學(xué)者的關(guān)注.微梁是微機電系統(tǒng)（MEMS）中常見的微結(jié)構(gòu)，它們的尺寸通常是微米或亞微米量級的.很多實驗發(fā)現(xiàn)這類微結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為與結(jié)構(gòu)尺寸相關(guān)（即微尺度效應(yīng)），這是經(jīng)典彈性理論無法解釋的.20世紀(jì)60年代出現(xiàn)的彈性偶應(yīng)力理論對這一現(xiàn)象做出了合理的解釋.Yang等[1]改進(jìn)了偶應(yīng)力理論（修正偶應(yīng)力理論），將描述尺度效應(yīng)的兩個附加常數(shù)減少為一個，大大地降低偶應(yīng)力理論的應(yīng)用難度.

最近幾年，偶應(yīng)力理論被應(yīng)用到更多新的領(lǐng)域.文獻(xiàn)[2-3]將偶應(yīng)力理論應(yīng)用于層合梁，分析其大變形下的穩(wěn)定性和尺度效應(yīng).蘇文政等[4]建立了多孔固體的等效偶應(yīng)力動力學(xué)一維鐵木辛柯梁模型.崔可興等[5]基于應(yīng)變梯度理論對壓電振動能量采集器進(jìn)行建模和尺度效應(yīng)分析.

除了在多個實際工程領(lǐng)域的應(yīng)用，基于偶應(yīng)力理論的數(shù)值求解方法也不斷被報道.Kahrobaiyan等[6]基于修正偶應(yīng)力理論和有限元理論建立了能夠反映微梁尺寸效應(yīng)的一種新的梁單元.顏世軍等[7]和陳萬吉等[8]基于修正偶應(yīng)力理論建立了線彈性體和層合板的有限元方法，分析結(jié)構(gòu)的尺寸效應(yīng).楊海天等[9]將無網(wǎng)格伽遼金法用于求解平面偶應(yīng)力問題，分析了微結(jié)構(gòu)的尺度效應(yīng).王衛(wèi)東等[10]基于偶應(yīng)力理論，采用non-Sibsonian插值的自然單元法，求解了薄梁彎曲問題.這些求解方法在偶應(yīng)力問題中的應(yīng)用進(jìn)一步促進(jìn)了偶應(yīng)力理論的完善和發(fā)展.

傳遞矩陣法具有原理簡單、求解精度和效率較高等特點，本文將其與偶應(yīng)力理論結(jié)合起來，分析微梁的尺寸效應(yīng).首先基于修正的偶應(yīng)力理論，推導(dǎo)微梁彎曲時一階微分方程組，建立系統(tǒng)狀態(tài)變量之間的傳遞關(guān)系，得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程，并采用精細(xì)積分法求解傳遞矩陣，建立了一種分析微梁尺寸效應(yīng)的傳遞矩陣法.

1 基于修正偶應(yīng)力理論的微梁理論模型

與經(jīng)典彈性理論不同，偶應(yīng)力理論在應(yīng)力張量和位移矢量的基礎(chǔ)上，增加了可以描述微尺度效應(yīng)的偶應(yīng)力張量和旋轉(zhuǎn)矢量.由于構(gòu)造方式的不同，偶應(yīng)力理論種類繁多.Yang等[1]的修正偶應(yīng)力理論由偶應(yīng)力理論發(fā)展而來，通過重新定義曲率張量，使得應(yīng)變能密度只與應(yīng)變和曲率張量的對稱部分有關(guān)，且在本構(gòu)方程中只需一個描述尺度效應(yīng)的參數(shù).

1.1 修正偶應(yīng)力理論

微梁上作用有分布載荷或集中力時，如算例2中簡支梁算例的情況，首先根據(jù)載荷情況對梁分段，由于兩端交界面兩側(cè)的狀態(tài)向量因載荷變化而不同，需根據(jù)連續(xù)性和載荷條件修改相應(yīng)的狀態(tài)向量，再進(jìn)行計算.

2 算例驗證

圖3為懸臂微梁自由端撓度的偶應(yīng)力理論解與經(jīng)典解之比隨厚度變化曲線，隨著厚度的增加，二者的比值接近于1，即在厚度較小時，尺寸效應(yīng)明顯，而在厚度較大時偶應(yīng)力解與經(jīng)典解差異很小. 通過與解析解比較，可以看出本文方法的計算結(jié)果精度較高. 圖4為采用本文方法得到不同厚度下的微梁撓度曲線，從圖4中可以看出隨著厚度的減小，經(jīng)典解與偶應(yīng)力解的差異變大，當(dāng)厚度減小至h=20 ？滋m時，兩種方法的結(jié)果出現(xiàn)較大背離，偶應(yīng)力解呈現(xiàn)出較強的抵抗變形能力，而經(jīng)典理論解則沒有. 這種差異說明是否考慮尺寸效應(yīng)對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的預(yù)測影響很大，在微結(jié)構(gòu)中應(yīng)予以考慮.

對于載荷和邊界條件復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，采用解析方法求解比較困難，本文提出的半解析半數(shù)值方法，可以高精度求解這類偶應(yīng)力問題. 算例2以復(fù)雜載荷作用下的簡支微梁為例，驗證本文方法的有效性.

算例2 圖5所示簡支梁，梁上作用有分布載荷q1=1 N/m，q2=2 N/m和集中力P=50 ？滋N，微梁的寬度和長度分別為b=2 h和L=20 h，其他參數(shù)均與算例1相同. 圖6和圖7分別為不同厚度下微梁撓度變化曲線.

從圖6和圖7可以看出，隨著厚度的減小，經(jīng)典理論解與偶應(yīng)力理論解差異逐漸變大，尺寸效應(yīng)所產(chǎn)生的影響較大，不可忽略.

3 結(jié)論

基于偶應(yīng)力理論和最小勢能原理，建立微梁狀態(tài)向量間的傳遞關(guān)系，借助精細(xì)積分法求解傳遞矩陣，形成了一種分析微梁尺寸效應(yīng)的傳遞矩陣法.這種方法原理簡單，精度較高，而且可以方便地求解各種邊界條件下微梁的變形. 數(shù)值結(jié)果表明，本文的方法具有良好的精度和穩(wěn)定性. 通過分析不同邊界條件和載荷作用下微梁的彎曲變形，可以看出：當(dāng)微梁的尺寸與材料的尺度參數(shù)相當(dāng)時，尺寸效應(yīng)非常明顯，在設(shè)計計算時需要考慮其影響. 因此，在微機電系統(tǒng)中，考慮尺寸效應(yīng)的影響對于預(yù)測微系統(tǒng)的響應(yīng)具有重要意義.

參考文獻(xiàn)

[1] YANG F， CHONG A C M， LAM D C C， et al. Couple stress based strain gradient theory for elasticity[J]. International Journal of

Solids and Structures， 2002， 39（10）： 2731-2743.

[2] 陳萬吉，趙國水.偶應(yīng)力理論層合梁大變形非線性分析[J].沈陽航空航天大學(xué)學(xué)報，2013， 30（4）：1-6.

[3] 陳萬吉，鄭楠.偶應(yīng)力理論層合梁的穩(wěn)定性及尺度效應(yīng)[J].沈陽航空航天大學(xué)學(xué)報，2012， 29（4）：29-34.

[4] 蘇文政，劉書田.一類多孔固體的等效偶應(yīng)力動力學(xué)梁模型[J].力學(xué)學(xué)報，2016， 48 （1）：111-126.

[5] 崔可興，霍睿，李淑穎，等.基于應(yīng)變梯度理論的微壓電振動能量采集器建模與仿真[J].機械設(shè)計與制造，2015 （1）：195-200.

[6] KAHROBAIYAN M H， KHAJEHPOUR M， AHMADIAN M T. A size-dependent beam element based on the modified couple stress theory[C]// ASME 2011 International Mechanical Engineering Congress and Exposition.Denver：ASME， 2011（8）：591-597.

[7] 顏世軍，劉占芳.修正偶應(yīng)力線彈性理論及廣義線彈性體的有限元方法[J].固體力學(xué)學(xué)報 ，2012， 33（3）：279-287.

[8] 陳萬吉，楊勝奇.有限元方法研究修正偶應(yīng)力Mindlin層合板的尺寸效應(yīng)[J].沈陽航空航天大學(xué)學(xué)報，2014， 31（3）：1-8.

[9] 楊海天，何宜謙，陳國勝. 無網(wǎng)格伽遼金法求解平面偶應(yīng)力問題[J]. 計算力學(xué)學(xué)報，2010， 27（4）：590-595.

[10] 王衛(wèi)東，張敦福，趙國群，等. 基于偶應(yīng)力理論的自然單元法研究[J]. 機械強度，2009，31（4）：634-637.

[11] 向宇，黃玉盈，袁麗蕓，等.非線性系統(tǒng)控制方程的齊次擴容精細(xì)積分法[J].振動與沖擊，2007 （12）：40-43.

[12] 賴國森，向宇，袁麗蕓，等.多層框架結(jié)構(gòu)靜力分析的精細(xì)元法[J].廣西工學(xué)院學(xué)報，2011， 22 （1）：7-12.

[13] 余婧妮，向宇，李曉妮，等.求解梁大變形問題的一種精細(xì)分析方法[J].廣西科技大學(xué)學(xué)報，2014，25（4）：34-39.

[14] LAM D C C， YANG F， CHONG A C M， et al. Experiments and theory in strain gradient elasticity[J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids， 2003， 51（8）：1477-1508.

[15] PARK S K ， GAO X L. Bernoulli-euler beam model based on a modified couple stress theory[J]. Journal of Micromechanics and

Microengineering， 2006， 16（11）：2355-2359.

Abstract： The micro-beam is the common structure of MEMS （micro-electro-mechanical system）， of which the size effects are the significant characteristic different from other beams. The first order differential equations and boundary conditions of the micro-beam bending deformation are derived from the couple stress theory and the principal of minimum potential energy. The transfer relations between the state vectors are established， and the state space equations are obtained. Precise integration method is used to solve the transfer matrix. So the transfer matrix method with high precision is set up to analyze the size-dependent effects of micro-beam. Several numerical examples are used to test the present method and the results show the validity of the method.

Key words：micro-beam； size-dependent effects； transfer matrix method； couple stress

（學(xué)科編輯：張玉鳳）