陸春桃 覃州

【摘 要】利用Excel工具、回歸軟件對電池剩余放電時間進行討論，從經(jīng)濟、有效等方面出發(fā)，通過函數(shù)擬合、數(shù)據(jù)篩選、作圖等，構(gòu)建出擬合精度高、可決系數(shù)高的放電曲線的初等模型，進而對電池剩余放電時間進行預測。先應用Excel工具對給定的9組數(shù)據(jù)進行函數(shù)擬合，得出了9條放電曲線，接著根據(jù)MRE定義算出9條放電曲線的平均相對誤差，并以此求出當電壓為9.8 V時，30 A、40 A、50 A、60 A、70 A的剩余放電時間。接著應用同樣方法建立了20～100 A任一恒定電流強度放電時的放電曲線的數(shù)學模型，并用MRE評估模型的精度、表格和圖形給出電流強度為55 A時的放電曲線。最后根據(jù)模型算出在衰減狀態(tài)3下的放電曲線及其在最低保護電壓9 V時的剩余的放電時間。

【關(guān)鍵詞】放電曲線；平均相對誤差；擬合函數(shù)；Excel工具；回歸軟件

【中圖分類號】TM912 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-0688（2017）06-0042-05

1 問題提出

2016年高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽C題給出了電池剩余放電時間預測問題。在鉛酸電池以恒定電流強度放電過程中，電壓隨放電時間單調(diào)下降，直到額定的最低保護電壓（Um，2016年高教社全國大學生數(shù)學建模競賽C題中為9 V）。從充滿電開始放電，電壓隨時間變化的關(guān)系稱為放電曲線。電池在當前負荷下還能供電多長時間（即以當前電流強度放電到Um的剩余放電時間）是必須回答的問題。電池通過較長時間的使用或放置，充滿電后的荷電狀態(tài)會發(fā)生衰減。

根據(jù)高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽C題附件1（同一生產(chǎn)批次電池出廠時以不同電流強度放電測試的完整放電曲線的采樣數(shù)據(jù)）用初等函數(shù)表示各放電曲線，并分別給出各放電曲線的平均相對誤差（MRE）。并在新電池使用中，分別以30 A、40 A、50 A、60 A和70 A電流強度放電，測得電壓都為9.8 V時，根據(jù)模型，算出電池的剩余放電時間。同步建立以20～100 A任一恒定電流強度放電時的放電曲線的數(shù)學模型，并用MRE評估模型的精度、用表格和圖形給出電流強度為55 A時的放電曲線。

再由高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽C題附件2（同一電池在不同衰減狀態(tài)下以同一電流強度從充滿電開始放電的記錄數(shù)據(jù)），預測出高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽C題附件2中電池衰減狀態(tài)3的剩余放電時間。

2 問題的假設

（1）電池與金屬容器不直接接觸，不會引起冒煙或燃燒。

（2）使用指定的充電器在指定的條件下充電。

（3）電池沒有安裝在密封的設備里。

（4）不在充滿灰塵的地方使用電池，不將電池放在可能被水淹或有產(chǎn)生火花設備的地方。

（5）確保在電池和設備之間和周圍布置有充分的絕緣措施。

（6）電池在指定的范圍內(nèi)使用。

3 符號說明

符號說明見表1。

4 問題分析

本文是要解決如何預測電池剩余放電時間的問題。

針對問題一，首先應用Excel數(shù)據(jù)工具中的線性函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及多項式分別對9組數(shù)據(jù)進行擬合，比較它們的可決系數(shù)后發(fā)現(xiàn)：用多項式中的二次函數(shù)擬合其可決系數(shù)較高，因此選擇多項式中的二次函數(shù)進行擬合，最終擬合出9條放電曲線的函數(shù)圖像，并獲得各放電函數(shù)方程。然后對高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽C題附件1的每組數(shù)據(jù)進行篩選，讓每組數(shù)據(jù)的差值控制在±0.005之內(nèi)，然后再根據(jù)“最大間隔”條件，分別從9個電流對應的電壓值中篩選出231個樣本點，之后計算平均相對誤差MRE后，根據(jù)所得模型計算出9.8 V時電池的放電時間，再用高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽C題附件1各電流對應的最低保護電壓對應的放電時間減去9.8 V的放電時間后，分別得到30 A、40 A、50 A、60 A和70 A電流強度電池的剩余放電時間。

針對問題二，與問題一的解法類似，由問題一得出的結(jié)論對每個電流數(shù)篩選出來的231個點重新用Excel工具進行擬合，得出新的各放電函數(shù)方程，再利用電流數(shù)與ai（I），bi（I），ci（I）的數(shù)據(jù)組成3組數(shù)據(jù)，應用回歸軟件進行擬合，確定3個待定系數(shù)方程，得出任一恒定電流的放電曲線數(shù)學模型，并用MRE對模型進行精度評估，并以此繪制出55 A對應的表格、圖形和放電曲線。

針對問題三，先根據(jù)高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽C題附件2的電壓、衰減狀態(tài)3的數(shù)據(jù)，應用Excel工具進行擬合，得出其對應的衰減曲線方程，將最低保護電壓9 V帶入，得出放電時間，減去已經(jīng)放電的時間596.2 min，求得預測出衰減狀態(tài)3的剩余放電時間。

5 模型的建立和求解

5.1 問題一

第一步，選擇高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽C題附件1給定的9個電流所對應的電壓、放電時間為數(shù)據(jù)源，應用Excel工具作出9組數(shù)據(jù)對應的散點圖，再選擇相應的函數(shù)進行二次項系數(shù)擬合，得出9條對應的圖形（如圖1所示）。

然后我們對圖1進行列表（見表2）。

應用多項式的二次項系數(shù)擬合曲線時，其可決系數(shù)R2>0.95，接近1，可見擬合度很好，因此選擇運用二次項系數(shù)函數(shù)方程表示各放電曲線。9條放電曲線方程（見表2）。

第二步，利用MATLAB軟件求出9個放電曲線對應的反函數(shù)，再利用Excel工具算出9條放電曲線的已放電時間tij，計算|Tij-tij|后進行數(shù)據(jù)篩選，然后根據(jù)題目給的附件1中MRE定義，先篩選出2個時間點的差值，基本步驟如下：首先計算tij-ti（j-i）；將不符合-0.005≤tij-ti（j-i）≤0.005條件的點刪去；再給最大定義中“最大間隔”將累計在±0.005之間的刪去；從最低保護電壓9 V開始向上找231個點（見表3）。

通過以上步驟，篩選出20 A、30 A、40 A、50 A、60 A和80 A 6個電流對應的231個點，70 A和100 A不到231個點，再次篩選得出70 A符合條件的點為218個、100 A為194個點，根據(jù)定義可得平均相對誤差公式：

■（1）

再用Excel工具算出9條放電曲線的平均相對誤差，結(jié)果見表4。

第三步，分別把9.8 V帶入30 A、40 A、50 A、60 A、70 A各個電流強度的反函數(shù)中進行計算，算出5個放電時間 ti（i=1，2，…，5），列出附件1給定的5個放電曲線在9 V的時間Ti（i=1，2，…，5），得出5個放電曲線的剩余放電時間計算公式如下：

di=Ti-ti（i=1，2，…，5）（2）

將具體數(shù)據(jù)帶入公式（2），得出5個放電曲線的剩余放電時間（見表5）。

5.2 問題二

第一步，根據(jù)問題一的結(jié)論，以9個電流經(jīng)過篩選出來的231個樣本點為數(shù)據(jù)，利用MATLAB軟件重新進行擬合，得出9個新的放電方程（見表6）。

第二步，以9個電流值與它們所對應的3組系數(shù)為數(shù)據(jù)，應用回歸軟件進行擬合，得出以下公式：

Y=（-2.75×10-7+6.8×10-9I-2.21×10-10I2）t2

+（0.001 23-3.52×10-5I-1.43×10-7I2）t

+（8.91+0.047 8I-0.000 35I2）t

（20 A≤I≤100 A，I∈Z）

第三步：同理問題一中的平均相對誤差計算公式：■，得MRE（見表7）。

由表7可以看出，數(shù)學模型的MRE非常小，說明經(jīng)此模型計算出的數(shù)值與題目所給的數(shù)據(jù)相差較小，精度很高。可以以此模型為基礎，建立20～100 A之間任一恒定電流強度放電時的放電曲線。

第四步，將55 A帶入公式（2），得出其放電曲線如下：

Z=-0.516 147 133 881 57×10-6t2

-0.821 629 192 877 413×10-3t

+10.454 389 391 9107

結(jié)合時間增加2 min的條件，利用Excel的計算工具，算出其對應的電壓值（見表8），再對數(shù)據(jù)進行擬合，得出圖形（如圖2所示）。

5.3 問題三

第一步，根據(jù)附件二所給數(shù)據(jù)，可以利用Excel工作表繪制出該規(guī)格電池在衰減狀態(tài)3下電壓與放電時間的放電函數(shù)曲線（如圖3所示）。

第二步，再利用Excel工作表，擬合出電池在衰減狀態(tài)3下的放電擬合曲線，并得到函數(shù)表達式：

g=-5.161 471 338 815 7×10-7t2

-82 162 919 287 741 300×10-4t

+10.454 389 391 910 700 000 00

該擬合曲線的可決系數(shù)R2=0.996 529 794 84>0.995，接近1，可見擬合度很好。擬合曲線如圖4所示。

第三步，利用MATLAB軟件，求出擬合曲線函數(shù)表達式的反函數(shù)（如圖5所示）。

第四步，計算出當電池電壓為9 V時，衰減狀態(tài)3的放電時間（如圖6所示）。

第五步，用在衰減狀態(tài)3下，計算出的9 V的放電時間減去數(shù)據(jù)給出的最大放電時間得到剩余放電時間為Q=1 061.836-596.2=465.6（min）。

6 結(jié)果分析

由模型重新合算的9條放電曲線可決系數(shù)已原來的可決系數(shù)進行比較（見表9）。

從表9中可以看出，根據(jù)新的可決系數(shù)比原可決系數(shù)要高。

7 模型的評價

本文應用了Excel表格工具、MATLAB軟件對數(shù)據(jù)進行函數(shù)擬合、數(shù)據(jù)篩選、作圖等，構(gòu)建出放電曲線的初等模型，準確性較好，擬合程度高，通用性強，簡單易懂，能較好地解決題目的問題。當然，篩選時數(shù)據(jù)較多，得到的值存在一定的誤差，因此本模型的分析方法仍有待提高和改進。

參 考 文 獻

[1]趙靜，但琦.數(shù)學建模與數(shù)學實驗[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]謝金星，薛毅.LINDO/LINGO軟件[M].北京：清華大學出版社2005.

[3]胡劍涼，孫曉君.MATLAB數(shù)學實驗[M].北京：高等教育出版社，2006.

[責任編輯：鐘聲賢]