王學(xué)偉，董曉璇 ，王 琳，袁瑞銘 ，田海亭 ，姜振宇 ，王國興

（1.北京化工大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，北京 100029；2.國網(wǎng)冀北電力有限公司電力科學(xué)研究院，北京 100045）

0 引言

隨著智能電網(wǎng)的加速建設(shè)，風(fēng)能、太陽能、潮汐能等新能源的大量接入，電網(wǎng)中動態(tài)負荷以及具有非穩(wěn)態(tài)特征的新型電源的輸出普遍存在［1-4］。因此，建立能夠反映隨機動態(tài)特征的測試信號模型，以及研究一種隨機型動態(tài)測試信號電能量的測量方法，建立檢測系統(tǒng)模型，已經(jīng)成為電能計量領(lǐng)域亟待解決的重要科學(xué)問題。

在測試信號的建模方面，近年來學(xué)者們均采用確定周期信號建模的方法建立了確定型動態(tài)測試信號模型：文獻［5］建立了正弦和梯形包絡(luò)調(diào)幅的動態(tài)測試信號時域模型；文獻［6］建立了調(diào)相與調(diào)頻的動態(tài)測試信號時域模型；文獻［7-8］建立了通斷鍵控（OOK）調(diào)幅動態(tài)測試信號的時域和頻域模型。電力系統(tǒng)動態(tài)負荷的重要特征是其具有隨機性，確定型動態(tài)測試信號模型不能測試動態(tài)負荷的隨機特性對電能表動態(tài)誤差的影響。因此建立偽隨機動態(tài)測試信號模型，進而研究得到相應(yīng)的動態(tài)誤差測試方法十分重要。然而，通過對國內(nèi)外的文獻檢索表明，目前尚未見隨機型動態(tài)測試信號建模的文獻報道。

在動態(tài)測試信號電能量檢測方法方面，國內(nèi)外學(xué)者針對穩(wěn)態(tài)測試信號提出了時域電能量值測量算法［9］、頻域基于快速傅里葉變換（FFT）的電能測量算法［10］以及在時頻域中基于小波變換的電能量值測量算法［11-12］。但如何建立偽隨機動態(tài)測試信號的電能量檢測模型，是有待解決的科學(xué)問題。

在隨機信號檢測方法方面，壓縮感知（CS）理論［13］與壓縮檢測（CM）方法［14-15］的提出，為檢測隨機信號提供了新的解決思路。目前CM信號檢測方法的研究均是從理論層面解決二元通信信號“有”和“無”的檢測問題［16］，提出了針對通信信號的 CM 算法［17-18］。但CM算法的性能與測量矩陣的優(yōu)越性相關(guān)，不能解決隨機信號的電能量值的準(zhǔn)確測量問題。

本文研究建立了m序列偽隨機動態(tài)測試信號模型，采用CS這一現(xiàn)代信號處理工具，建立偽隨機動態(tài)測試信號的電能量CM系統(tǒng)模型，并針對該電力動態(tài)測試信號，提出CS電能測量新方法。

1 m序列調(diào)制的偽隨機動態(tài)測試信號模型

1.1 m序列調(diào)制的偽隨機動態(tài)測試信號參數(shù)模型

本文采用將穩(wěn)態(tài)信號轉(zhuǎn)換為動態(tài)信號的方法，建立m序列調(diào)制的偽隨機動態(tài)測試信號參數(shù)模型（以下簡稱為m序列動態(tài)測試信號模型），如圖1所示。該方法利用m序列二元波形函數(shù)m（t）對穩(wěn)態(tài)工頻電流信號is（t）進行調(diào)制，建立具有偽隨機動態(tài)特性的測試電流信號id（t）模型，測試電壓信號模型由穩(wěn)態(tài)正弦電壓信號us（t）給出，動態(tài)測試功率信號模型由 us（t）與 id（t）相乘得到。建模過程如下。

圖1 m序列動態(tài)測試信號建模方法Fig.1 Modeling of m-sequence dynamic test signal

設(shè)穩(wěn)態(tài)電壓信號和穩(wěn)態(tài)電流信號分別為：

其中，U、I分別為電壓、電流幅值；φ為電壓初相位；Ω1=2πf1為角頻率，f1為工頻頻率。

二元波形函數(shù)m（t）采用數(shù)值m序列m（k）與矩形窗函數(shù)的乘積表示：

其中，N=2n-1，n 為 m 序列的級數(shù)；g（t-kT）為窗函數(shù)，T=1 /f1為二元波形函數(shù)m（t）的碼元寬度，也為穩(wěn)態(tài)工頻電流信號is（t）的周期。

由 m（t）對 is（t）進行幅度調(diào)制得到 id（t）為：

其中，為動態(tài)電流的幅度變化；。

對于式（3）所示m序列動態(tài)測試電流信號，本文采用如圖2所示的方案來實現(xiàn)。

圖2 m序列動態(tài)測試信號實現(xiàn)方案Fig.2 Implementation scheme of m-sequence dynamic test signal

根據(jù)m序列的生成原理，m（k）可以由其遞推方程式表示如下：

其中，Ci=0 或 1（i=1，2，…，n）為 m 序列系數(shù)。將式（4）代入式（3）可得m序列動態(tài)測試電流信號的參數(shù)模型，見式（5），其模型參數(shù)由 Ci、I、Ω1共同決定。

m序列動態(tài)測試功率信號參數(shù)模型可由穩(wěn)態(tài)電壓信號 us（t）與式（5）相乘并化簡得出：

綜上所述，m序列動態(tài)測試信號的參數(shù)模型可由穩(wěn)態(tài)電壓信號 us（t）、式（5）和式（6）給出，其模型參數(shù)由 Ci（i=1，2，…，n）、I、U、Ω1、φ 決定。

圖3展示了m序列動態(tài)測試信號參數(shù)模型給出的m序列動態(tài)測試信號的波形圖。

圖3 m序列動態(tài)測試信號波形Fig.3 m-sequence dynamic test signal waveforms

1.2 m序列動態(tài)測試信號模型的統(tǒng)計特性

本文建立的m序列偽隨機信號模型，給出了一種長周期信號（比如：17級m序列，其長度為N=131071位），若觀察測試時間大于一個周期，則是確定性周期信號，并顯示出它的非隨機特性；若觀察測試時間小于一個周期，則是真實的隨機二進制信號［20］。

以下將針對本文m序列動態(tài)測試電流信號模型，在測試信號的一個周期Tm內(nèi)分析其統(tǒng)計特性。

m序列m（k）和與其對應(yīng)的二元波形m（t）是同一事物的 2 種不同描述方法［20］，故 m（k）與 m（t）具有相同的統(tǒng)計特性。以下由 id（t）=m（t）is（t）的函數(shù)關(guān)系，推導(dǎo)m序列動態(tài)測試電流信號id（t）的數(shù)學(xué)期望 E［id（t）］、方差 Var［id（t）］、自相關(guān)函數(shù) Rd（T）：

由式（7）—（9）可知：推導(dǎo)得出 m 序列 m（k）的期望 E［m（k）］、方差 Var［m（k）］、自相關(guān)函數(shù) Rm（T），就能確定m序列動態(tài)測試電流信號id（t）的統(tǒng)計特性。

根據(jù) m 序列的 0-1分布特性，“0”比“1”少一個：。則由二值分布的數(shù)學(xué)期望和方差定義與性質(zhì)，可推導(dǎo)得出m序列的數(shù)學(xué)期望及方差為：

在m序列的一個周期Tm內(nèi)，m（k）為平穩(wěn)的隨機過程［20］，因此可計算 m 序列 m（k）的自相關(guān)函數(shù)為：

當(dāng)m序列為17級時，取n=17，N=2n-1，則有：

其中，10-6，即誤差項 δ1、δ2、δ3可以忽略不計。

將式（13）代入式（7）得到 E［id（t）］為：

將式（14）代入式（8）得到 Var［id（t）］為：

將式（15）代入式（9）得到Rd（T）為：

在動態(tài)條件下，由于m序列動態(tài)測試電流信號幅度的波動周期大于穩(wěn)態(tài)電流信號的工頻周期，因此，本文取穩(wěn)態(tài)電流工頻周期的整數(shù)倍為時間變量，研究m序列動態(tài)測試電流信號的統(tǒng)計特性。即取t=k1T+t0，T=k2T（k1，k2=0，1，…，N-1），t0＜T 為常數(shù)，代入式（16）—（18），得：

對于動態(tài)測試電流信號id（t），計算其在t=k1T+t0時刻的時間均值〈id（k1T+t0）〉，并考慮 N=2n-1，得：

同理可計算 id（t）在 t=k1T+t0、T=k2T 的時間自相關(guān)函數(shù)，由偽隨機序列的移位相加性［19］（m（k1T）m（k1T+k2T）=-m（k1T+lT）（l=0，1，…，N-1）），簡化時間自相關(guān)函數(shù)，可得：

式（19）—（23）表明：在 t=k1T+t0（k1=0，1，…，N-1；t0＜ T）為常數(shù)情況下，id（t）在測試信號周期 Tm內(nèi)是平穩(wěn)的隨機信號，且具有各態(tài)歷經(jīng)性。

由帕斯瓦爾定理可知，m序列動態(tài)測試電流信號的自相關(guān)函數(shù)式（21）與其功率譜是一對傅里葉變換，則m序列動態(tài)測試電流信號的功率譜密度為：

其中，δ（Ω）為 Rd（k2T）經(jīng)傅里葉變換后產(chǎn)生的直流分量，Ω為模擬頻率。

由式（24）可知m序列動態(tài)測試電流信號只在Ω=0點有離散頻率分量，表明m序列動態(tài)測試電流信號在頻域上具有稀疏性，為CS測量方法提供基礎(chǔ)。

2 m序列動態(tài)測試信號電能量值的CS測量方法

2.1 m序列動態(tài)測試信號電能量的CS檢測系統(tǒng)模型

由于式（24）所示m序列動態(tài)測試電流信號在頻域具有稀疏性，CS理論表明，在任何域具有稀疏性的信號均可以通過CS的方法進行處理。本文采用 CS非重構(gòu)檢測信號處理方法，建立m序列動態(tài)測試功率信號的檢測系統(tǒng)模型，解決偽隨機動態(tài)測試功率信號電能量的準(zhǔn)確測量問題。

離散化式（6）所示m序列動態(tài)測試功率信號pd（t），采樣頻率為 fs=Ns/T，得到離散 m 序列動態(tài)測試功率信號pd（n′），其中Ns為工頻信號采樣點數(shù)。對于長度為 Nm=N×Ns的離散測試信號 pd（n′），用向量形式表示為： pd= ［ pd（1），pd（2），…，pd（Nm）］T。

構(gòu)建信號pd的CS檢測系統(tǒng)模型見圖4。m序列動態(tài)測試功率信號pd作為CS的原始信號，經(jīng)過CS測量矩陣Φ投影降維后，實現(xiàn)對pd信號電能量的測量，測量值為E。根據(jù)圖4建立m序列動態(tài)測試功率信號的電能量CS檢測系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型為：

其中，E為信號電能量的CS測量值；Φ為1×Nm階CS測量矩陣。

圖4 m序列動態(tài)測試信號CS檢測系統(tǒng)模型Fig.4 CS measurement system model for m-sequence dynamic test signal

式（25）還給出CS檢測系統(tǒng)的輸入、輸出之間的關(guān)系，pd作為CS檢測系統(tǒng)的輸入，是系統(tǒng)的檢測變量，E作為系統(tǒng)的輸出，Φ又為系統(tǒng)狀態(tài)矩陣。下文將構(gòu)建最優(yōu)測量矩陣Φ，使m序列動態(tài)測試信號的電能量E與理論電能量E0相對誤差δ最小，即：

2.2 CS測量矩陣的構(gòu)建

本文針對式（25）所示CS檢測系統(tǒng)，采用穩(wěn)態(tài)優(yōu)化方法構(gòu)建CS測量矩陣Φ。

根據(jù)上述對信號 pd（t）的采樣方法，對式（6）進行離散化，可得動態(tài)測試功率信號的離散表達式如下：

其中，ω1= Ω1/fs=2π/Ns為數(shù)字頻率。為了保證通過優(yōu)化的方法構(gòu)造測量矩陣Φ，將信號 pd（n′）中m（k）置 1，此時 pd（n′）可作為系統(tǒng)優(yōu)化的穩(wěn)態(tài)輸入信號，在輸入信號穩(wěn)態(tài)的情況下對系統(tǒng)進行優(yōu)化，獲得系統(tǒng)穩(wěn)定狀態(tài)量h1×Ns。設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)量為h1×Ns=［h（n′）］，pd（Ns×1）= ［pd（n′）］T，根據(jù)式（25）可建立系統(tǒng)的輸入、輸出與CS的對應(yīng)關(guān)系：

式（25）—（27）表明，若能夠?qū)ふ业玫阶顑?yōu)系統(tǒng)狀態(tài)量 h1×Ns，使得系統(tǒng)輸出 E=E0=Nsp0cosφ，就可由式（27）優(yōu)化得出確定型 CS 測量矩陣 Φ1×Ns=［φ（n′）］=［h（Ns-n′+1）］。

根據(jù)穩(wěn)態(tài)最優(yōu)理論，本文采用傅里葉變換在頻域?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)變量 h1×Ns=［h（n′）］的線性化：

其中，ω=Ω /fs。

由式（27）—（29）建立檢測系統(tǒng)頻域輸入與輸出的關(guān)系：

并給出頻域性能指標(biāo)及約束條件：

其中，C1、C2為常數(shù)。根據(jù)穩(wěn)態(tài)優(yōu)化方法求得：

其中，C=C1IU /（4C2）為常數(shù)。對式（32）中 H（ω）的結(jié)果進行傅里葉反變換得：

根據(jù)上述 h（n）與φ（n）的關(guān)系得：

將式（34）代入 Φ1×Ns=［φ（n′）］，構(gòu)造得到 CS 檢測系統(tǒng)中CS測量矩陣。

3 實驗驗證與結(jié)果分析

針對m序列動態(tài)測試信號，為了驗證CS檢測系統(tǒng)模型的正確性，本文采用255位、511位和1023位m序列調(diào)制50 Hz的工頻穩(wěn)態(tài)信號，得到m序列動態(tài)測試電流信號及功率信號波形如圖5所示。對該測試信號進行離散采樣，采樣頻率fs=2500 Hz，獲得離散動態(tài)測試電流信號。

實驗分別采用不同的本原多項式系數(shù)產(chǎn)生255位、511位和1023位單周期m序列動態(tài)測試信號，按照上述CS測量方法，計算得到m序列動態(tài)測試信號電能量E的相對誤差δ，結(jié)果如表1所示。

圖5 m序列動態(tài)測試信號仿真波形Fig.5 Simulative m-sequence dynamic test signal waveforms

表1 單周期m序列動態(tài)測試信號的相對誤差Table 1 Relative error for different single-period m-sequence dynamic test signals

實驗采用表1中序號為1的本原多項式系數(shù)產(chǎn)生多周期m序列動態(tài)測試信號，按照相同的CS測量方法，計算該多周期m序列動態(tài)測試信號電能量E的相對誤差δ，結(jié)果如表2所示。

表2 多周期m序列動態(tài)測試信號的相對誤差Table 2 Relative error for different multi-period m-sequence dynamic test signals

由表1、表2可以看出，對于長度為255位、511位、1023位的單周期m序列動態(tài)測試信號以及多周期m序列動態(tài)測試信號，CS電能測量方法的理論相對誤差可忽略不計。因此，CS測量方法能夠準(zhǔn)確測量出m序列動態(tài)測試信號的電能量。

4 結(jié)論

首先提出了m序列動態(tài)測試信號參數(shù)模型，該動態(tài)測試信號在一個m序列周期內(nèi)具有隨機動態(tài)變化特性，在多個m序列周期內(nèi)具有周期性與循環(huán)遍歷性，能反映實際動態(tài)負荷信號的多種狀態(tài)；然后根據(jù)CM理論建立了CS檢測系統(tǒng)模型，采用穩(wěn)態(tài)優(yōu)化方法，構(gòu)建了CS測量矩陣，提出了電力偽隨機動態(tài)測試信號的CS電能測量新方法，解決了電力偽隨機動態(tài)測試信號的電能量值準(zhǔn)確測量的理論問題；針對不同長度的m序列仿真分析得出了新方法的理論相對誤差，結(jié)果表明本文CS測量新方法的理論相對誤差，在動態(tài)電能測量時可忽略，優(yōu)于已有的確定型動態(tài)測試信號電能量的測量誤差。未來將進一步研究實際采樣通道、模數(shù)轉(zhuǎn)換、頻譜泄漏對誤差的影響等關(guān)鍵技術(shù)問題，并在實際測量中應(yīng)用。

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