丁 明 ，錢宇騁 ，張晶晶 ，何 劍 ，易 俊

（1.合肥工業(yè)大學 電氣與自動化工程學院，安徽 合肥 230009；2.中國電力科學研究院，北京 100192）

0 引言

近年來，國內(nèi)外電力系統(tǒng)發(fā)生多起連鎖故障導致的大停電事故，造成了巨大的經(jīng)濟損失和災難性后果［1-2］。大停電事故的調(diào)查報告指出，安全分析技術的缺乏和實時狀態(tài)覺知能力的不足是導致調(diào)度部門不能阻止單一元件故障引起連鎖反應的2個主要原因［3］。

迄今為止，研究人員在連鎖故障防御控制領域做了很多工作。文獻［4］從預防線路連鎖跳閘角度提出了一種大電網(wǎng)在線分布式計算的多智能體控制方法，通過優(yōu)化切機切負荷控制策略來預防連鎖故障的發(fā)生。文獻［5］提出一種基于線路相關集的后備保護控制策略，可以實現(xiàn)后備保護與安全自動裝置的協(xié)調(diào)配合，防止大停電事故的發(fā)生。文獻［6］借鑒多智能體系統(tǒng)理論，提出了基于離線斷面功率傳輸極限分析的廣域協(xié)同預控制系統(tǒng)，防止區(qū)域內(nèi)故障因調(diào)度控制失誤引發(fā)連鎖故障。

博弈論是以參與人之間有針對性的行為產(chǎn)生的互動過程為研究對象的理論。連鎖故障的發(fā)展過程中擾動與控制交替進行，相互影響，共同作用于電網(wǎng)，具有互動性和對抗性，這使得博弈論適用于連鎖故障防御的研究。文獻［7］基于完全信息靜態(tài)博弈防御模型，研究預防針對性攻擊的最優(yōu)防御方案。文獻［8］基于不完全信息靜態(tài)博弈防御模型，研究預防針對性攻擊的最優(yōu)防御方案。

上述博弈防御模型都是建立在假設故障方具有完全理性的基礎上，即認為故障方總是能夠有效識別并采取對電網(wǎng)影響最大的擾動，而實際上連鎖故障的發(fā)展過程包含了大量的不確定性因素，忽略這些因素會導致故障方生成的策略集合遺漏后果相對較小但風險較大的故障，不能涵蓋當前運行工況下防御方最需要關注的潛在危險擾動；此外，博弈過程的收益函數(shù)只考慮了系統(tǒng)的停電損失，未考慮控制措施產(chǎn)生的代價，因此不能準確評估控制措施的有效性。

在上述背景下，本文提出故障方的有限理性假設和故障方行動的關聯(lián)性假設，建立一種考慮參與人有限理性的連鎖故障多階段動態(tài)博弈防御模型。通過風險分析方法，生成故障方的策略集合，并從風險理論的角度出發(fā)，將運行風險作為收益函數(shù)。最后，通過算例分析計算驗證了模型對連鎖故障防御的有效性。

1 多階段動態(tài)博弈與連鎖故障博弈描述

多階段動態(tài)博弈是指博弈過程分為多個階段，且參與人的行動有先后順序的博弈，其博弈過程常用博弈樹的形式來表示。具體而言，博弈樹由節(jié)點和枝組成，其中節(jié)點可分為決策節(jié)點和末端節(jié)點。決策節(jié)點i表示參與人i的行動起點，末端節(jié)點是博弈結(jié)束的地方，末端節(jié)點k唯一對應著一個策略組合sk和一個收益組合uk。決策節(jié)點i下的枝j表示參與人i的可選策略sij，所有的枝即構成參與人i的策略集合Si；每一條枝都是從一個決策節(jié)點出發(fā)，并唯一地指向另一個決策節(jié)點或末端節(jié)點。由初始決策節(jié)點到任一末端節(jié)點中一連串的節(jié)點和枝構成了一條路徑，表示博弈實際進行的一種方式；所有路徑即表示博弈實際進行的所有可能情況。具有二階段的連鎖故障博弈防御過程的博弈樹見圖1。

圖1 具有二階段的博弈樹Fig.1 Game tree with two stages

當電網(wǎng)發(fā)生連鎖故障時，擾動與控制交替進行，如果將電網(wǎng)發(fā)生的擾動假設為一個“虛擬人”的行動，系統(tǒng)調(diào)度人員會針對其行動采取相應的控制措施，并且雙方都力圖選擇對自己最為有利或最為合理的方案，那么連鎖故障的防御過程可表示為故障方和防御方的多階段動態(tài)博弈。多階段動態(tài)博弈包括參與人、策略集合和收益函數(shù)，在連鎖故障中的多階段動態(tài)博弈防御具體如下。

a.參與人：包括故障方和防御方，將電網(wǎng)擾動定義為故障方，將調(diào)度部門定義為防御方。

b.策略集合：故障方的策略集合包括不同類型的擾動，防御方的策略集合包括調(diào)度部門采取的控制措施。

c.收益函數(shù)：故障方的收益為造成的控制代價風險和停電風險，防御方的收益為付出的控制代價風險和停電風險，其中故障方的收益非負，防御方的收益非正，兩者收益之和為零。

為了便于分析連鎖故障在多個階段中的博弈過程，本文用D表示一條路徑中故障方或防御方的決策節(jié)點的個數(shù)，即博弈過程的階段總數(shù)，用d表示故障方和防御方處于第d個階段。則連鎖故障多階段動態(tài)博弈防御的數(shù)學模型可表示為：

其中，I=｛1，2｝表示故障方和防御方集合；為參與人i在第d個階段的策略集合；Ui為參與人i的收益函數(shù)。

定義為納什均衡，如果對所有的，則有：

結(jié)合電網(wǎng)中的實際情況，本文做如下假設。

a.故障方的有限理性假設。參與人的理性體現(xiàn)在2個方面：一是參與人決策行為的目標；二是參與人追求目標的能力。完全理性的參與人不僅以個人利益最大化為目標，而且具有準確的判斷選擇能力，也不會“犯錯誤”［9］。在連鎖故障發(fā)展過程中，由于大量不確定因素的影響，電網(wǎng)擾動雖然總會給系統(tǒng)造成負面影響，但每次發(fā)生的擾動卻不一定是當前運行狀況下后果最嚴重的。即故障方雖然以自身利益最大化為目標，但它并沒有完美的選擇能力，其選擇的策略可能不能滿足其追求最大利益的目標，因此故障方只具有有限理性。

b.防御方的完全理性假設：本文假設防御方具有完全理性，即其總能針對故障方的行動制定出最好的策略。

c.博弈過程的信息不對稱假設：在連鎖故障博弈過程中，故障方不知道防御方的任何博弈信息，因此只能根據(jù)對系統(tǒng)造成的影響來選擇行動；防御方能夠獲得故障發(fā)生后描述系統(tǒng)運行狀態(tài)的電氣量，從而可根據(jù)這些信息制定相應的策略。

d.故障方行動的關聯(lián)性假設：故障方的后一次行動會受到其前一次行動的影響，2次行動之間具有關聯(lián)性，并且隨著故障方行動次數(shù)的增多，這種關聯(lián)性會不斷增加。

2 考慮參與人有限理性的連鎖故障多階段動態(tài)博弈防御模型

2.1 有限理性故障方的行動預測

2.1.1 故障方行動的概率預測

（1）故障方初始行動的概率。

當故障方在初始階段采取行動時，即d=1時，故障方初始行動的概率主要受線路自身故障因素和外界環(huán)境因素的影響，取pw表示線路自身故障因素和外界環(huán)境因素引起線路停運的概率。

線路自身故障因素主要考慮線路老化失效。根據(jù)當前運行工況下線路的運行年限，可在通過歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到的線路老化失效故障率曲線中找到對應的線路單位長度老化失效故障率λo。

外界環(huán)境因素主要考慮天氣變化引起的線路偶然失效，線路的單位長度偶然失效故障率記為λw。為簡化起見，將天氣變化處理為正常和惡劣這2種天氣情況的隨機過程，并假設同一條輸電線路在同一時刻只會處于一種天氣狀況下，則在兩狀態(tài)天氣模型下，線路的單位長度偶然失效故障率λw可表示為：

其中，ε為線路在惡劣天氣下的故障比率；N1為正常天氣持續(xù)時間；N2為惡劣天氣持續(xù)時間；為線路單位長度的故障率平均值；z表示線路所處的天氣狀況，z=0表示正常天氣，z=1表示惡劣天氣。

綜合考慮線路自身故障因素和外界環(huán)境因素，線路的單位長度故障率λ可表示為：

在相同的時間內(nèi)，線路的停運概率與線路的長度和單位長度故障率成正比［10］，將所有線路的長度與單位長度故障率乘積的歸一化數(shù)值作為線路停運概率，則故障方在初始階段采取第m個行動的概率為：

其中，λm為線路m的單位長度故障率；Lenm為線路m的長度；L為系統(tǒng)所有線路的集合。

（2）故障方后續(xù)行動的概率。

當故障方在后續(xù)階段采取行動時，即d∈［2，D］時，故障方在第d個階段行動的概率會受到故障方在第d-1個階段行動的影響，包括潮流轉(zhuǎn)移、保護/斷路器誤動和其他不明原因的因素的影響。

①當線路m嚴重過載時，即線路m的潮流超過其極限值，故障方在后續(xù)階段采取第m個行動的概率為過負荷保護不拒動且斷路器不拒動的概率，即有：

其中，pinact_b為保護拒動概率；pinact_d為斷路器拒動概率。

②當無線路嚴重過載時，故障方在后續(xù)階段行動的概率主要考慮潮流轉(zhuǎn)移、隱性故障和其他不明因素的影響。

a.定義線路停運概率pzy，當線路潮流F在正常水平時，線路停運概率主要受線路自身隨機故障因素的影響，此時pzy=pw；當線路潮流超過極限值Fmax時，線路會因過負荷保護動作而開斷，此時pzy=1；當線路潮流在正常水平上限值與極限值之間時，假設pzy隨F的增大而線性增大［11］。則潮流轉(zhuǎn)移引起的故障方在后續(xù)階段采取第m個行動的概率為：

其中，F(xiàn)m為線路m當前的潮流值；為線路m的潮流正常值上限；Fmax，m為線路m的潮流極限值。

b.隱性故障作為保護裝置中存在的一種固有缺陷，只有當系統(tǒng)發(fā)生故障時這種缺陷才會表現(xiàn)出來，從而導致被保護元件的不恰當斷開［12］。在線路開斷后全網(wǎng)潮流重新分配的過程中，可能會發(fā)生因保護或斷路器誤動引起的線路停運。則隱性故障引起的故障方在后續(xù)階段采取第m個行動的概率為：

其中，pmis_b為保護誤動概率；pmis_d為斷路器誤動概率，其與斷路器物理特性有關，可視為常數(shù)。

針對保護誤動的情況，本文以距離保護為例，并假設距離保護為全阻抗保護，設Zset為整定阻抗，Zk為測量阻抗。

根據(jù)全阻抗保護的動作特性，圓軌跡將阻抗復平面分為圓內(nèi)和圓外兩部分，分別對應動作區(qū)和不動作區(qū)，而圓軌跡上處于動作的臨界狀態(tài)。假設保護在圓內(nèi)的誤動概率為0，在圓周處的誤動概率最大，在圓外的誤動概率隨著測量阻抗的增大而線性減小，且當測量阻抗增加到3Zset時誤動概率減小為0，因此保護誤動的概率可表示為：

其中，pZ為保護的最大誤動概率。

c.由其他不明原因的因素引起的故障方在后續(xù)階段采取第m個行動的概率記為，可根據(jù)經(jīng)驗設定一個適當?shù)闹怠?/p>

綜合以上因素，故障方在后續(xù)階段采取第m個行動的概率為：

2.1.2 故障方行動的后果預測

根據(jù)信息不對稱假設，防御方能夠獲得故障發(fā)生后的事故狀態(tài)信息，然而大量信息的涌入往往導致調(diào)度人員無所適從或判斷錯誤［13］，因此如何篩選出有效信息，并從這些信息中了解故障發(fā)生對電網(wǎng)造成的影響程度，是防御方采取行動的重要前提。為此本文分別定義潮流轉(zhuǎn)移嚴重度指標和系統(tǒng)失負荷嚴重度指標。

故障方在第d個階段采取第m個行動的潮流轉(zhuǎn)移嚴重度為：

其中，F(xiàn)m，0為線路m故障前承擔的有功功率；Fn為線路n在線路m故障后承擔的有功功率；Fn，0為線路n在線路m故障前承擔的有功功率；Fmax，m為線路m潮流極限值；Fmax，n為線路n的潮流極限值。

故障方在第d個階段采取第m個行動的系統(tǒng)失負荷嚴重度為：

其中，PS為系統(tǒng)總負荷量；PLj為線路m故障后母線j的失負荷量；N為系統(tǒng)所有母線的集合。

綜合以上因素，故障方在第d個階段采取第m個行動的后果可表示為：

其中，womg1、womg2為權重因子，表示各指標在后果指標中的重要程度，可采用層次分析法求取。

2.1.3 故障方的策略集合

為了充分體現(xiàn)故障方在不確定性條件下追求最大收益的意識和不完美的選擇能力，本文定義了風險系數(shù)，其表達式為：

為了減少博弈樹的規(guī)模，故障方可通過設定閾值選擇出風險系數(shù)較大的故障方行動形成故障方的策略集合。

2.2 完全理性防御方的防御策略

在緩慢相繼開斷階段，連鎖故障的發(fā)展過程主要以線路過載的形式呈現(xiàn)［14］。據(jù)此本文提出針對潮流過載的過負荷控制。

根據(jù)直流潮流方程，節(jié)點k對線路m的靈敏度ηmk可表示為：

其中，ΔPk為節(jié)點k的注入功率變化量；i和j分別為線路m的首節(jié)點和末節(jié)點；ΔFij為線路m的潮流變化量；Δθi-Δθj為線路m兩端節(jié)點的相角差變化量；xij為線路m的電抗；eik和ejk為節(jié)點電納矩陣的逆矩陣中的元素。

從式（15）可以看出，靈敏度矩陣η（由系統(tǒng)中所有節(jié)點對所有線路的靈敏度構成的矩陣）是只與電網(wǎng)結(jié)構參數(shù)有關的常數(shù)矩陣。采用靈敏度矩陣算法不需要經(jīng)過潮流計算就能快速地給出控制策略，保證了算法消除過載的快速性；同時根據(jù)各功率注入節(jié)點靈敏度的大小來選擇最佳控制節(jié)點對［15］，可以保證功率調(diào)整量最小且最有效。

2.3 博弈過程的風險收益函數(shù)

相比電氣越限量，系統(tǒng)失負荷量與連鎖故障的損失具有必然聯(lián)系，且能直接反映出損失的程度，因此本文使用失負荷量來衡量停電損失和控制代價。其中，控制代價為防御方的過負荷控制導致的失負荷量。停電損失主要包括3種類型：線路的連續(xù)開斷導致所有向某個或某幾個負荷供電的線路全部斷開，這種情況下?lián)p失的負荷就是斷開負荷的有功功率；系統(tǒng)解列后，為保持2個電氣島有功分別平衡而加入控制措施后導致的失負荷量；系統(tǒng)失穩(wěn)后，為了使系統(tǒng)恢復穩(wěn)定而加入穩(wěn)定控制措施后導致的失負荷量，穩(wěn)定控制方法參考文獻［16］。

由于停電損失和控制代價只有在故障方行動后才會產(chǎn)生，其造成的影響受到行動概率的影響，因此本文從風險的角度出發(fā)，分別定義停電風險、控制代價的風險和運行風險，將運行風險作為博弈過程的收益函數(shù)。針對策略組合sk對應的路徑，其停電風險、控制代價的風險和運行風險可分別表示為：

其中，D為該路徑中故障方或防御方?jīng)Q策節(jié)點的個數(shù)；為故障方在第d個階段采取第m個行動的概率；為故障方在第d個階段采取第m個行動后造成的停電損失；為故障方在第d個階段采取第m個行動后防御方付出的控制代價。

進一步，可得到故障方和防御方在該路徑下的收益函數(shù)為：

2.4 博弈過程的結(jié)束條件

博弈過程中故障方和防御方交替行動，只要故障方采取行動，防御方就要做出相應的調(diào)整，因此只有故障方才能結(jié)束博弈。本文考慮2種結(jié)束條件：當故障方的行動次數(shù)到達預先設定的深度時，故障方不再選擇下一步行動，博弈過程在防御方采取行動后結(jié)束；當故障方的行動造成系統(tǒng)暫態(tài)失穩(wěn)時，故障方不再選擇下一步行動，博弈過程在防御方采取行動后結(jié)束。

2.5 考慮參與人有限理性的連鎖故障多階段動態(tài)博弈防御流程

綜上所述，考慮參與人有限理性的連鎖故障多階段動態(tài)博弈防御流程如下。

a.設定博弈過程的階段總數(shù)D，將故障方和防御方所處階段數(shù)d初始化為1。

b.預測故障方的行動，計算故障方采取各行動的概率和故障方行動的后果，并進一步計算故障方采取各行動的風險系數(shù)，生成故障方的策略集合。

c.故障方在策略集合中選擇風險系數(shù)最大的策略并采取行動，判斷系統(tǒng)是否功角失穩(wěn)，若失穩(wěn)，則進入步驟f；若穩(wěn)定，則進入步驟d。

d.判斷是否有線路過載，若有線路過載，則防御方采取行動，消除線路過載，然后進入步驟e；若沒有線路過載，則直接進入步驟e。

e.判斷故障方所處的階段是否達到階段總數(shù)D，若未達到，則d=d+1，并返回步驟b；若達到，則滿足博弈過程的結(jié)束條件，進入步驟f。

f.計算出故障方和防御方的收益函數(shù)u1k和u2k。

g.多階段動態(tài)博弈防御過程結(jié)束。

通過故障方和防御方的多階段動態(tài)博弈模型，一方面，在源發(fā)性故障階段，通過安全分析識別出潛在的危險線路，并采取相應的控制策略，避免連鎖故障的發(fā)生；另一方面，在緩慢相繼開斷階段，采取阻斷控制以防止事故進一步擴大。連鎖故障多階段動態(tài)博弈防御流程圖如圖2所示。

3 算例

仿真計算以IEEE 39節(jié)點系統(tǒng)為例。其中各線路的潮流正常值的下限都取0，線路m的潮流正常值的上限取線路m的潮流額定值，線路m的潮流極限值Fmax取線路m潮流額定值的1.4倍，斷路器誤動概率pmis_d取0.0001，其他不明原因的因素引起的故障方在后續(xù)階段行動的概率取0.0002。

圖2 考慮參與人有限理性的連鎖故障多階段動態(tài)博弈防御流程Fig.1 Flowchart of defence model based on multistage dynamic game with bounded rationality against cascading failure

3.1 故障方在初始階段的策略集合

計算故障方在初始階段行動的風險系數(shù)，按設定的閾值進行篩選，得到故障方在初始階段的策略集合如表1所示。

表1 故障方初始策略集合Table 1 Initial fault-side strategy set

3.2 連鎖故障的多階段動態(tài)博弈防御

選取風險系數(shù)最大的線路27發(fā)生故障并退出運行作為故障方在初始階段的行動，分析連鎖故障的多階段動態(tài)博弈防御過程。

線路27開斷后連鎖故障的演化過程見表2。

表2 線路27開斷后的連鎖故障演化過程Table 2 Evolution process of cascading failure due to breakup of Line 27

從表2可以看出，當線路27開斷后，線路24、28和29成為發(fā)電機6和7向外輸送功率的唯一路徑，線路27承擔的功率轉(zhuǎn)移至該輸電通道，導致線路24、28過載，同時導致線路29嚴重過載并開斷，發(fā)電機6和7從主網(wǎng)脫離，主網(wǎng)出現(xiàn)大量功率缺額；發(fā)電機2和3通過線路18向負荷16、21、24供電，使得線路18的潮流大幅增加，同時線路18作為發(fā)電機2和3向外輸送功率的重要通道，其開斷會造成較大的潮流轉(zhuǎn)移，因此其具有較高的風險系數(shù)；線路18開斷后，線路7嚴重過載并開斷，潮流過分匯集于線路1、2、14、15組成的輸電通道，導致系統(tǒng)發(fā)生暫態(tài)功角失穩(wěn)。

針對表2的連鎖故障演化過程，本文根據(jù)圖2所示多階段動態(tài)博弈防御流程，生成每個階段針對故障方行動的防御策略，具體如表3所示。

表3 線路27開斷后的連鎖故障多階段動態(tài)博弈防御過程Table 3 Defence procedures based on multistage dynamic game against cascading failure due to breakup of Line 27

3.3 連鎖故障博弈過程的收益函數(shù)

根據(jù)表2和表3所示的連鎖故障過程，分別計算防御方未采取行動和采取行動時博弈過程的收益函數(shù)，計算結(jié)果如表4所示。

表4 博弈過程的收益函數(shù)對比Table 4 Comparison of revenue function for different game procedures

文獻［17］指出，如果控制措施可使事件的風險降低，并且其控制代價小于風險降低的數(shù)值，則該控制措施可作為應對該事件的選項，并具有經(jīng)濟上的可行性。從表4可以看出，防御方采取行動后，故障方的停電風險收益降低了15.708，防御方的控制代價風險收益只增加了6.142，故障方的運行風險收益降低了9.566，因此本文的防御策略具有可行性。

4 結(jié)論

本文提出了連鎖故障多階段動態(tài)博弈防御的要素和假設，構造了連鎖故障的多階段動態(tài)博弈防御模型。

綜合考慮元件自身停運因素、潮流轉(zhuǎn)移因素和保護及斷路器誤動因素對元件停運概率的影響，提出元件實時停運概率表征有限理性的故障方不完美的選擇能力；根據(jù)可掌握的事故狀態(tài)信息，提出潮流轉(zhuǎn)移嚴重度和系統(tǒng)失負荷嚴重度表征故障方追求自身利益的意識；基于風險分析方法，生成有限理性故障方的策略集合，幫助調(diào)度人員了解當前運行工況下最需關注的故障發(fā)展方向。

從風險理論的角度出發(fā)，將運行風險作為收益函數(shù)，不僅可以幫助調(diào)度人員了解故障帶來的影響，還可以定量評估出控制措施的有效性。

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