楊 飛

(聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東聊城252059)

廣義(2+1)維淺水波方程的精確解①

楊 飛

(聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東聊城252059)

通過行波解法將廣義(2+1)維淺水波方程轉(zhuǎn)化為常微分方程,然后借助輔助方程得到大量新的精確解,其中包括橢圓函數(shù)解、雙曲函數(shù)解、三角函數(shù)解等.

行波解法,輔助方程,精確解

0 引言

淺水波方程是一類重要的非線性偏微分方程,廣泛應(yīng)用于描述環(huán)境科學(xué)、流體動力學(xué)領(lǐng)域中的非線性現(xiàn)象,給人類造成重大災(zāi)難的海嘯即是一種淺水波.因此構(gòu)建此類非線性演化方程的精確解有其重要的科學(xué)意義和廣泛的應(yīng)用背景.

考慮(2+1)維廣義淺水波方程

uxxxy-3uxxuy-3uxyux+auxx+buxy+cuyt=0,

(1)

文獻(xiàn)[1]中作者利用奇異流形方法構(gòu)造了(2+1)維廣義淺水波方程的Lax對和相關(guān)的Darbuox變換,通過使用得到的Darbuox變換,得到了該方程的一次和二次迭代解以及一個包含任意函數(shù)的N孤子解.文獻(xiàn)[2]中作者在Riccati方程方法的基礎(chǔ)上提出了新的廣義投射Riccati方程展開法及其算法.利用這個方法研究了(2+1)維淺水波方程,并得到了許多新的精確解,其中包括類孤子解和類周期解.在文獻(xiàn)[3]中作者通過擴(kuò)展的齊次平衡法研究了(2+1)維廣義淺水波方程,得出了方程的Backlund變換、色散關(guān)系以及新的孤波解.

1 Jacobi橢圓函數(shù)作輔助方程求解

下面考慮方程(1)的行波解,包括有理函數(shù)解、雙曲函數(shù)解、三角函數(shù)解等.

令u=u(ξ),ξ=x+λy+μt,代入方程(1)得

λu(4)-6λu″u′+(a+bλ+cλμ)u″=0,

(2)

將方程(2)積分一次得

λu(3)-3λu′2+(a+bλ+cλμ)u′=A,

(3)

再令

v=u′,

(4)

方程(3)化為

λv″-3λv2+(a+bλ+cλμ)v=A

(5)

假設(shè)v的表達(dá)式

考慮方程中最高階導(dǎo)數(shù)項v″與最高次項v2齊次平衡,由2m+2=3m,可確定平衡數(shù)m=2,因而可設(shè)方程(5)的解有

v=p2φ2+p1φ+p0,p2≠0,

(6)

(φ′)2=r+αφ2+βφ4,

(7)

將(6)式和(7)式代入方程(5),令φ的同次冪系數(shù)為零得到一個代數(shù)方程組

解以上代數(shù)方程組得

(8)

為了能夠更加清晰地表述所求方程的解,對解的表達(dá)式中的常數(shù)選取特定的值,我們可以令a=1,b=1,c=2,μ=1,λ=5,α=2.然后在不同的時間點上,我們能夠觀察到函數(shù)的變化.圖1和圖2,圖3和圖4分別是同一情況下不同時間點的函數(shù)圖像.

圖1 情況1(1)中t為0.01的函數(shù)圖像 圖2 情況1(1)中t為10的函數(shù)圖像

圖3 情況2(2)中t為0.01的函數(shù)圖像 圖4 情況2(2)中t為10的函數(shù)圖像

2 Riccati方程作輔助方程求解

u=k0+k1G,k1≠0,

(9)

G′=r+αG+βG2.

(10)

將(9)式和(10)式代入方程(3),令G的同次冪系數(shù)為零得到一個代數(shù)方程組

3 結(jié)論

本文利用行波解法得到了廣義(2+1)維淺水波方程大量的精確解,這些精確解在數(shù)學(xué)物理中有著重要的作用,值得進(jìn)一步研究.

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Exact Solutions for a Class of Generalized (2+1)- Dimensional Shallow Water Equation

YANG Fei

(School of Mathematical Sciences, Liaocheng University, Liaocheng 252059, China)

By applying traveling wave method , generalized (2+1)-dimensional shallow water equations is converted into ordinary differential equations,and then with the aid of auxiliary equation to get a large number of new exact solutions,which included elliptical function solution, hyperbolic function solutions, triangle function solutions and so on.

traveling wave method,auxiliary equation ,exact solution

2016-10-20

國家自然科學(xué)基金與中國工程物理研究院基金項目(11076015)資助

楊飛，E-mail:2462407828@qq.com.

O175

A

1672-6634(2017)01-0022-05