楊 飛

(聊城大學數(shù)學科學學院,山東聊城252059)

廣義(2+1)維淺水波方程的精確解①

楊 飛

(聊城大學數(shù)學科學學院,山東聊城252059)

通過行波解法將廣義(2+1)維淺水波方程轉化為常微分方程,然后借助輔助方程得到大量新的精確解,其中包括橢圓函數(shù)解、雙曲函數(shù)解、三角函數(shù)解等.

行波解法,輔助方程,精確解

0 引言

淺水波方程是一類重要的非線性偏微分方程,廣泛應用于描述環(huán)境科學、流體動力學領域中的非線性現(xiàn)象,給人類造成重大災難的海嘯即是一種淺水波.因此構建此類非線性演化方程的精確解有其重要的科學意義和廣泛的應用背景.

考慮(2+1)維廣義淺水波方程

uxxxy-3uxxuy-3uxyux+auxx+buxy+cuyt=0,

(1)

文獻[1]中作者利用奇異流形方法構造了(2+1)維廣義淺水波方程的Lax對和相關的Darbuox變換,通過使用得到的Darbuox變換,得到了該方程的一次和二次迭代解以及一個包含任意函數(shù)的N孤子解.文獻[2]中作者在Riccati方程方法的基礎上提出了新的廣義投射Riccati方程展開法及其算法.利用這個方法研究了(2+1)維淺水波方程,并得到了許多新的精確解,其中包括類孤子解和類周期解.在文獻[3]中作者通過擴展的齊次平衡法研究了(2+1)維廣義淺水波方程,得出了方程的Backlund變換、色散關系以及新的孤波解.

1 Jacobi橢圓函數(shù)作輔助方程求解

下面考慮方程(1)的行波解,包括有理函數(shù)解、雙曲函數(shù)解、三角函數(shù)解等.

令u=u(ξ),ξ=x+λy+μt,代入方程(1)得

λu(4)-6λu″u′+(a+bλ+cλμ)u″=0,

(2)

將方程(2)積分一次得

λu(3)-3λu′2+(a+bλ+cλμ)u′=A,

(3)

再令

v=u′,

(4)

方程(3)化為

λv″-3λv2+(a+bλ+cλμ)v=A

(5)

假設v的表達式

考慮方程中最高階導數(shù)項v″與最高次項v2齊次平衡,由2m+2=3m,可確定平衡數(shù)m=2,因而可設方程(5)的解有

v=p2φ2+p1φ+p0,p2≠0,

(6)

(φ′)2=r+αφ2+βφ4,

(7)

將(6)式和(7)式代入方程(5),令φ的同次冪系數(shù)為零得到一個代數(shù)方程組

解以上代數(shù)方程組得

(8)

為了能夠更加清晰地表述所求方程的解,對解的表達式中的常數(shù)選取特定的值,我們可以令a=1,b=1,c=2,μ=1,λ=5,α=2.然后在不同的時間點上,我們能夠觀察到函數(shù)的變化.圖1和圖2,圖3和圖4分別是同一情況下不同時間點的函數(shù)圖像.

圖1 情況1(1)中t為0.01的函數(shù)圖像 圖2 情況1(1)中t為10的函數(shù)圖像

圖3 情況2(2)中t為0.01的函數(shù)圖像 圖4 情況2(2)中t為10的函數(shù)圖像

2 Riccati方程作輔助方程求解

u=k0+k1G,k1≠0,

(9)

G′=r+αG+βG2.

(10)

將(9)式和(10)式代入方程(3),令G的同次冪系數(shù)為零得到一個代數(shù)方程組

3 結論

本文利用行波解法得到了廣義(2+1)維淺水波方程大量的精確解,這些精確解在數(shù)學物理中有著重要的作用,值得進一步研究.

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Exact Solutions for a Class of Generalized (2+1)- Dimensional Shallow Water Equation

YANG Fei

(School of Mathematical Sciences, Liaocheng University, Liaocheng 252059, China)

By applying traveling wave method , generalized (2+1)-dimensional shallow water equations is converted into ordinary differential equations,and then with the aid of auxiliary equation to get a large number of new exact solutions,which included elliptical function solution, hyperbolic function solutions, triangle function solutions and so on.

traveling wave method,auxiliary equation ,exact solution

2016-10-20

國家自然科學基金與中國工程物理研究院基金項目(11076015)資助

楊飛，E-mail:2462407828@qq.com.

O175

A

1672-6634(2017)01-0022-05