馬飛，姚兵

(西北師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院, 甘肅 蘭州 730070)

雙優(yōu)無標度網(wǎng)絡模型*

馬飛，姚兵

(西北師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院, 甘肅 蘭州 730070)

基于標準的無標度網(wǎng)絡模型，首先擴展了網(wǎng)絡增長的“優(yōu)先連接機制”原則，從更一般的情形出發(fā)，設立不同約束條件下的點優(yōu)先連接概率，既而建立了更一般的網(wǎng)絡動力系統(tǒng)所符合的偏微分方程，給出無標度網(wǎng)絡的一個拓撲性質(zhì)。然后，給出了一種更加符合現(xiàn)實的擇優(yōu)概率，接著，建立了一類更一般的網(wǎng)絡演化模型，并討論了它的無標度特性，得到它的冪率指數(shù)γ在1～4之間。

無標度網(wǎng)絡模型；動態(tài)演化；偏微分方程；六度分離

我們生活的世界中充滿了無數(shù)的網(wǎng)絡，如細胞中的新陳代謝網(wǎng)、大腦中的神經(jīng)網(wǎng)、生態(tài)系統(tǒng)中的食物鏈網(wǎng)、社會關系網(wǎng)絡、科研合作網(wǎng)絡、經(jīng)貿(mào)互惠網(wǎng)絡、互聯(lián)網(wǎng)、萬維網(wǎng)以及電力網(wǎng)和交通運輸網(wǎng)等等。這些網(wǎng)絡都能被抽象成網(wǎng)絡模型——圖，起初研究者們運用圖論的方法做研究，但是圖論中研究的圖形大多都是規(guī)則的、單一的，但真實網(wǎng)絡的結(jié)構(gòu)不僅很復雜的，而且構(gòu)成網(wǎng)絡的節(jié)點數(shù)目也是很龐大的，這樣一來，網(wǎng)絡研究對傳統(tǒng)經(jīng)典圖論的發(fā)展提出了新的要求。上世紀50年代，Erd?s等基于經(jīng)典圖論的研究，提出了隨機網(wǎng)絡模型(ER模型)該模型能很好的體現(xiàn)網(wǎng)絡的隨機性，但是節(jié)點的度(與節(jié)點相連接的邊的數(shù)目)之間相差不大，幾乎相等，度分布服從Poisson分布，其圖像是一條鐘型曲線。顯然，真實網(wǎng)絡中節(jié)點的度并不是相等的。為了解釋蘊含在網(wǎng)絡中的規(guī)律，Watts等[1-2]提出了小世界網(wǎng)絡模型，該模型在繼承了隨機網(wǎng)絡模型的隨機性后，出現(xiàn)了新的網(wǎng)絡拓撲性質(zhì)：屬于該網(wǎng)絡模型中初始節(jié)點的度相對要大一些，它的度分布呈現(xiàn)出指數(shù)衰減。1999年，基于萬維網(wǎng)拓撲結(jié)構(gòu)的研究，Barabási等[3]發(fā)現(xiàn)鐘型曲線消失了，出現(xiàn)了一條遞減的曲線，為了刻畫這一結(jié)果，他們首次提出了無標度網(wǎng)絡模型(BA-模型)，該模型滿足冪率分布式

P(k)≈k-γ

(1)

其中γ叫做無標度指數(shù)，它的取值范圍是2<γ<3。在他們首創(chuàng)性的研究工作之后，復雜網(wǎng)絡的研究得到了眾多科研人員的重視，經(jīng)過大量研究后發(fā)現(xiàn)：生活中大量的網(wǎng)絡都具有無標度特性(scale-freeproperty)，即服從冪率分布(1)，但部分真實網(wǎng)絡的冪律指數(shù)γ的取值范圍卻超出了2～3，落在1～4之間[4]。通過計算機仿真模擬后，確實證明了這一點[5-7]。

近年來，國內(nèi)外的研究人員對BA-模型進行了不同層次的推廣和拓展，得到的成果頗多。但在這些研究中，人們認同網(wǎng)絡中存在“先到先得，富者越富，適者更富”現(xiàn)象。針對這種現(xiàn)象，總結(jié)得出具有無標度特性的網(wǎng)絡演化(增長)必須滿足2條性質(zhì)：均勻增長和擇優(yōu)連接。特別是擇優(yōu)連接方式對一個演化的網(wǎng)絡是否具有無標度特性起到?jīng)Q定性的作用，已證實運用線性擇優(yōu)連接方式將會得到無標度網(wǎng)絡，非線性的擇優(yōu)連接方式將會影響到網(wǎng)絡的度分布，使其不再服從冪率分布[8]。

1 一般形式的動態(tài)微分方程

在Barabási等[3]提出無標度網(wǎng)絡模型(BA-模型)之后，研究人員不論是采取理論研究手段，還是采用計算機仿真模擬，他們對網(wǎng)絡動態(tài)演化的描述與刻畫都存在著相似之處[4]，都是討論隨著時間的延續(xù)，網(wǎng)絡中不斷地會有外界新的節(jié)點進入，同時，網(wǎng)絡自身內(nèi)部也發(fā)生著變化(如：網(wǎng)絡中未連邊的節(jié)點之間由于某種聯(lián)系而產(chǎn)生新的連邊)，隨著這種演化方式的進行，網(wǎng)絡的規(guī)模會變得越來越龐大，但是這種增長方式不可能無休止地進行下去，在歷經(jīng)一段時間的增長后，網(wǎng)絡的規(guī)模就會趨于穩(wěn)態(tài)或衰退，即網(wǎng)絡中出現(xiàn)節(jié)點“湮滅”和舊邊被“刪除”。對一個最初具有m0個節(jié)點的網(wǎng)絡N(0)而言,假設它的動態(tài)演化是連續(xù)的,t時刻后,對網(wǎng)絡N(t)中一個度為ki(t)的節(jié)點,依據(jù)事件的獨立性給出一個動態(tài)方程[9]：

h*(t)+z*(t)+φ(t)

(2)

方程(2)右端有5個功能函數(shù)：加點函數(shù)(優(yōu)先連接函數(shù))f*(t)=f(ap1(t)m，t，ki(t)，∏1(ki))的含義是：t時刻有a個“新”節(jié)點進入到網(wǎng)絡N(t-1)中，每個“新”節(jié)點與網(wǎng)絡N(t-1)中已存在的節(jié)點間連接產(chǎn)生p1(tm條新邊(0

設方程(2)的解為ki(t)=θ(t,ti,α1,α2,…,αr)，其中參數(shù)αi(i=1,2,…,r)與時間變量t和ti無關。進一步，得

P(ki(t)θ-1

(t,ti,β1,β2, …,βr))

(3)

方程(3)中的參數(shù)βi(i=1,2,…,r)與時間變量t和ti均無關，上述方程(3)中的記號θ-1(t,ti,β1,β2,…,βr)表示函數(shù)ki(t)的反函數(shù)。解得網(wǎng)絡N(t)中頂點度數(shù)為k的概率

(4)

本文以文獻[6,10-12]中的結(jié)論來解釋由方程(2)所建立的模型，嘗試對復雜網(wǎng)絡進行綜合性的研究。包括演化網(wǎng)絡所符合的動態(tài)微分方程、擇優(yōu)連接方式、如何進行網(wǎng)絡之間比較、如何優(yōu)化網(wǎng)絡等方面，并建立一種冪律指數(shù)γ的取值范圍在1到4之間的無標度網(wǎng)絡模型(雙優(yōu)無標度網(wǎng)絡模型)。

2 設立反擇優(yōu)連接的標準

通過對大量現(xiàn)實網(wǎng)絡的研究，人們認識到幾乎所有的網(wǎng)絡都表現(xiàn)出無標度特性，為了更好地模擬無標度網(wǎng)絡，從理論上出發(fā)，研究者們建立研究方法，并通過計算機進行仿真模擬。然而經(jīng)驗告訴我們：網(wǎng)絡的動態(tài)演化中包含增長與衰退，許多研究學者都認為網(wǎng)絡以“擇優(yōu)”方式進行增長，以“反擇優(yōu)”方式進行衰退。在Barabási等[3]首次提出線性擇優(yōu)增長模型之后，研究者們依此為基礎，對“擇優(yōu)”方式進行了不斷地改進、完善，相應地建立了不同的網(wǎng)絡模型，從不同的側(cè)重點進行刻畫、模擬現(xiàn)實生活中已存在的網(wǎng)絡，并對網(wǎng)絡的動態(tài)演化特征做出一些相關的預測，同時也為建立新的更加健全的網(wǎng)絡模型提供理論支持。

3 滿足方程(2)的網(wǎng)絡模型

在本文中，t時刻的網(wǎng)絡模型記為N(t)，它的節(jié)點集合和邊集合分別是V(t)和E(t)，網(wǎng)絡模型N(t)的節(jié)點個數(shù)是nv(t)=|V(t)|,它的邊數(shù)目是ne(t)=|E(t)|，ni(t)表示N(t)中節(jié)點度數(shù)為ki的節(jié)點數(shù)目。

3.1 陳慶華等模型

陳慶華等模型的演化算法[13]：步驟1、在已存在的節(jié)點中添加l條新邊：隨機選擇一個節(jié)點作為與新邊連接的起始點，點i被選擇作為新邊另一節(jié)點的概率滿足

(5)

(6)

(7)

由(7)式可得

(8)

3.2 梁洪振等模型

(9)

(10)

由(10)式可得

m+2n-2c

(11)

和式(11)的結(jié)果是一個常數(shù)。

3.3 賈秀麗等模型

以及φ(t)=0，易得網(wǎng)絡動態(tài)演化滿足下面的方程

(12)

(解釋上式每一項的含義，第1項新節(jié)點加入到網(wǎng)絡中引起ki的變化，第2項是隨機刪除節(jié)點引起ki的變化，第3項是網(wǎng)絡擇優(yōu)加邊引起ki的變化(第一部分：節(jié)點i依擇優(yōu)概率∏(ki)被選作所加邊的起始節(jié)點時引起度發(fā)生變化；第二部分：節(jié)點i依擇優(yōu)概率∏(ki)被選作所加邊的另一節(jié)點時引起度發(fā)生變化)，第4項是網(wǎng)絡反擇優(yōu)刪除邊引起ki的變化(第一部分：節(jié)點i依反擇優(yōu)概率p-1(ki)被選作所刪邊的起始節(jié)點時引起度發(fā)生變化；第二部分：節(jié)點i依反擇優(yōu)概率p-1(ki)被選作所刪邊的另一節(jié)點時引起度發(fā)生變化))。在t時刻節(jié)點的平均度為

將nv(t)、ne(t)代入方程(12)，得到一階近似微分方程

(13)

因此

(14)

所以節(jié)點的度分布：

其中冪率指數(shù)

對(12)式求和，得到

(15)

當t→∞時，

m+2r-2n

我們得到一個結(jié)論：在網(wǎng)絡動態(tài)演化的過程中，對相應的動態(tài)方程(2)求和后將等于一個常值M，并且M就等于每一時刻網(wǎng)絡的動態(tài)變化值。

4 雙優(yōu)無標度網(wǎng)絡模型

針對現(xiàn)實生活中確實存在冪律指數(shù)γ>3的無標度網(wǎng)絡(例如：SexualContacts網(wǎng)絡的冪律指數(shù)γ=3.4[16]，本文建立一類網(wǎng)絡模型，它不僅能很好的說明該類無標度網(wǎng)絡的存在性，而且還可以包含經(jīng)典的BA模型?；跇?gòu)造BA模型的均勻增長、優(yōu)先連接算法，幾乎當前所有的網(wǎng)絡模型都認為新節(jié)點的加入、新邊的產(chǎn)生都完全地遵循優(yōu)先連接，舊節(jié)點的刪除、舊邊的刪除都絕對地遵循反擇優(yōu)刪除。但是絕對的事實并非都完全成立，例如：在科學家合作網(wǎng)絡中，剛出道的年輕研究者往往渴望與著名專家合作，進行科研(只要有機會)，但在隨機的情況下有時會與一位同樣年輕的研究者進行合作。這種現(xiàn)象在網(wǎng)絡演化模型中可以解釋為：剛進入網(wǎng)絡的新節(jié)點，在采用優(yōu)先連接概率與已存在于網(wǎng)絡中的舊節(jié)點連邊時，會隨機的與節(jié)點度數(shù)不大(甚至很小)的節(jié)點進行連邊運算，但是連邊的過程中優(yōu)先連接概率起主要的支配作用。同樣的道理，在刪除舊邊的過程中，并不是所有被刪除的邊都采用反擇優(yōu)概率，偶爾也會出現(xiàn)隨機刪邊的現(xiàn)象，但反擇優(yōu)概率在刪邊運算中起決定作用[17-20]。

鑒于此種現(xiàn)象的確存在，本文提出了優(yōu)選優(yōu)先連接概率與優(yōu)選反擇優(yōu)刪除概率。如下：

①優(yōu)選優(yōu)先連接概率

∏1=α∏11+(1-α)∏12

其中∏11表示優(yōu)先連接概率，∏12表示隨機連接概率，參數(shù)α(1/2≤α≤1)意指“優(yōu)選”，即在概率∏1中，∏11起支配作用。

②優(yōu)選反擇優(yōu)刪除概率

∏2=(1-β)∏21+β∏22

其中∏21表示反擇優(yōu)概率，∏22表示隨機刪除概率，參數(shù)β(0≤β≤1/2)意指“優(yōu)選”，即在概率∏2中，∏21起支配作用。

按照上面的優(yōu)選優(yōu)先連接概率與優(yōu)選反擇優(yōu)刪除概率，本文構(gòu)造了如下的雙優(yōu)無標度網(wǎng)絡模型N(t)：初始網(wǎng)絡N(0)是具有m0個節(jié)點、n0條邊的簡單連通圖。從t>1時刻起，網(wǎng)絡模型將執(zhí)行以下兩個操作進行演化。

1) 優(yōu)選優(yōu)先連接(1/2≤α≤1)：t時刻有a個節(jié)點加入網(wǎng)絡N(t-1)中，每個新節(jié)點分別采用優(yōu)選優(yōu)先連接概率∏1與已存在于網(wǎng)絡模型中的m個不同節(jié)點連邊。度數(shù)為ki的舊節(jié)點獲得與新節(jié)點連邊的概率滿足如下關系：

∏1=α∏11+(1-α)∏12=

2)優(yōu)選反擇優(yōu)刪除(0≤β≤1/2)：t時刻有b條邊從網(wǎng)絡N(t-1)中分別采用優(yōu)選反擇優(yōu)概率∏2被刪除。每條被刪除邊的一個節(jié)點隨機選取，選擇另一個節(jié)點時按優(yōu)選反擇優(yōu)概率

∏2=(1-β)∏21+β∏22=

經(jīng)歷這樣的t次演化后，網(wǎng)絡模型N(t)具有m0+at個節(jié)點和n0+(am-b)t條邊。顯然當參數(shù)a=1，b=0，α=1，β=0時，該網(wǎng)絡模型就退化成BA-模型。

假設ki是連續(xù)實變量，根據(jù)模型的演化機理，在方程(2)中，取加點函數(shù)

刪邊函數(shù)

刪邊函數(shù)z*(t)中的第1項b/{n0+amt-bt}表示節(jié)點i被隨機選中作為起始節(jié)點時引起度的變化，第2項b∏2表示節(jié)點i被采用優(yōu)選反擇優(yōu)刪除概率選中作為另一節(jié)點時引起度的變化，g*(t)=h*(t)=φ(t)=0。則有如下動態(tài)方程：

(16)

進一步可得：

M(t)ki+R(t)

在初始條件ki(ti)=m下，上述一階微分方程的通解為：

(17)

其中h=amα-bβ，l=2(am-b)。網(wǎng)絡中任選一個節(jié)點度數(shù)為ki(t)且不超過k的概率可以被寫成如下：

(18)

假設插入“新”節(jié)點到網(wǎng)絡中的時間t服從均勻分布，即P(ti)=1/(m0+t),便可得到節(jié)點的度分布函數(shù)

(19)

當t充分大時,

網(wǎng)絡度分布服從冪率分布,且冪率指數(shù)

現(xiàn)對該雙優(yōu)無標度網(wǎng)絡模型的冪律指數(shù)γ=l/h+1進行分析。當α=1/2，β=1/2時，γ=l/h+1=4；當α=1，β=0時，γ=l/h+1<3；當α=2/3，β=1/3時，γ=l/h+1=3。所以冪律指數(shù)γ的范圍為

對(16)式進行求和計算得

(20)

當t充分大時，(20)式的左端趨近于常數(shù)

5 總結(jié)及問題

本文提出了一種新的擇優(yōu)連接規(guī)則，開始嘗試用純數(shù)學方法(動力系統(tǒng)+偏微分方程)來解釋網(wǎng)絡演化的動態(tài)特征，通過對幾類特殊動態(tài)網(wǎng)絡演化模型的理論分析，進一步的說明用偏微分方程去刻畫這一動力系統(tǒng)的必要性和重要性。然后依據(jù)本文中的分析建立了一類新的網(wǎng)絡模型，不僅討論了它的無標度特性，同時也驗證了新發(fā)現(xiàn)——對動態(tài)方程(2)求和后值將是一個常數(shù)。作為今后的研究，提出下面的問題：

問題1 如何優(yōu)化網(wǎng)絡？前期對擇優(yōu)率(增長)的大量研究都局限于線性結(jié)構(gòu)，是否生活中的網(wǎng)絡都是線性擇優(yōu)增長的？為此，本文分析了一類簡單的非線性擇優(yōu)增長率

(21)

問題 2 從不同的考察角度和側(cè)重點，研究者們建立的各種模型都是基于方程(2)中概率參數(shù)pi(t)=1(i=1,2,3,4)，在這種極為特殊的情形下，問題的討論將變得具體、可操作，但現(xiàn)實生活中網(wǎng)絡的演化是相當復雜的，每一時刻進入網(wǎng)絡的節(jié)點數(shù)目、從網(wǎng)絡中“湮沒”的節(jié)點數(shù)目、網(wǎng)絡中刪除“舊”邊的數(shù)目、網(wǎng)絡中重新連接邊的數(shù)目等都是變化的，所以有必要研究方程(2)中諸概率參數(shù)pi(t)=1(i=1,2,3,4)不是定值的網(wǎng)絡演化情形。

注意根據(jù)六度分離定理，忽略與節(jié)點i距離超過6的節(jié)點的影響系數(shù)，那么就可以定義關于節(jié)點i的擇優(yōu)概率為

(22)

選取，式中?i表示與節(jié)點i之間距離為1的節(jié)點構(gòu)成的集合(也稱節(jié)點i的1-鄰居集)。如果網(wǎng)絡中已存節(jié)點間要有新邊產(chǎn)生時，新邊的一個節(jié)點可以隨機選擇，完美的情形下另一個節(jié)點應該是r(1

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Double preferential scale-free network models

MAFei,YAOBing

(College of Mathematics and Statistics，Northwest Normal University，Lanzhou 730070，China)

Based on the “classic” scale-free network model, the network growth principle(preferential attachment mechanism) is extended. Starting from a more general situation, some vertex-preferential attachment probability in different constraint conditions are established, and then the partial differential equation satisfied a more general network dynamic system is set up, and also another important topological property of scale-free network is found. Then a much realistic preferential attachment probability is presented. Finally, a more general network model is generated. By discussing its scale-free property, that scale-free parameterγrangesfrom1to4iscaptured.

scale-free network model; dynamic evolution; partial differential equation; the six degrees of separation

2016-05-18 基金項目：國家自然科學基金 (61662066，61163054，61363060)

馬飛(1992年生), 男；研究方向：動態(tài)圖論與復雜網(wǎng)絡；E-mail: mafei123987@163.com

姚兵(1956年生)；男；研究方向：動態(tài)圖論與復雜網(wǎng)絡; E-mail: yybb918@163. com

10.13471/j.cnki.acta.snus.2017.01.014

O

A

0529-6579(2017)01-0085-08