王玲，夏莉

(1. 廣東水利電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)部，廣東 廣州 510635； 2. 廣東財經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 廣州 510320)

歐拉-泊松方程組的自相似解*

王玲1，夏莉2

(1. 廣東水利電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)部，廣東 廣州 510635； 2. 廣東財經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 廣州 510320)

三維可壓等熵歐拉泊松方程組描述可壓等熵理想氣態(tài)星體的運(yùn)動規(guī)律，它由質(zhì)量守恒方程、動量守恒方程及自引力位勢滿足的泊松方程構(gòu)成。研究歐拉泊松方程組的自相似解是天體物理及數(shù)學(xué)領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)問題之一，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義和廣闊的應(yīng)用前景。關(guān)于三維可壓等熵歐拉泊松方程組自相似解的研究較少。用分離變量法研究了一類三維可壓等熵歐拉泊松方程組的一組自相似解。

三維可壓等熵；歐拉泊松方程組；自相似解

在天體物理學(xué)中，三維可壓等熵歐拉-泊松方程組為如下形式：

(1)

和

Δφ=4πg(shù)p

(2)

其中x=(x1,x2,x3)∈R3;p=p(t,x)和,v=v(t,x)=(v1,v2,v3)∈R3,φ=φ(t,x) 分別代表流體的密度，運(yùn)動速度和自引力位勢，g是引力常數(shù)，為了計(jì)算簡便，設(shè)g=1,k>0;γ?1 是常數(shù)。

1 概 述

2 主要結(jié)論及其證明

定理1 三維可壓等熵歐拉-泊松方程組，存在下面一組自相似解：

(3)

(4)

與式(4)對應(yīng)的有

(5)

這里τ≠0,β,α≥0,a0,a1,b0,b1是任意常數(shù)

證明 文獻(xiàn)[12]已證自相似解(3)滿足質(zhì)量守恒方程pt+▽·(pv)=0。下面證明自相似解(3)滿足方程組(1)的第二個方程。

方程組(1)的第二個方程的第一個分量方程是

p{v1t+(v1v1x1+v2v1x2+v3v1x3)}+

(6)

將自相似解(3)代入式(6)，整理得

其中

(7)

且

f(0)=α≥0，G(t)=a2γ(t)bγ-1(t)

(8)

由方程(2)得

(9)

則可求得方程(8)的精確解是

(10)

方程組(1)的第二個方程的第二個分量方程是

p{v2t+(v1v2x1+v2v2x2+v3v2x3)}+

(11)

將自相似解(3)代入式(11)，整理得

其中

且

f(0)=α≥0，G(t)=a2γ(t)bγ-1(t)

(12)

則可求得方程(12)的精確解是

(13)

方程組(1)的第二個方程的第三個分量方程是：

p{v3t+(v1v3x1+v2v3x2+v3v3x3)}+

(14)

將自相似解(3)代入式(14)，整理得

其中

且

f(0)=α≥0G(t)=a2γ(t)bγ+1(t)

(15)

則可求得方程(15)的精確解是

(16)

這就證明了三維可壓等熵歐拉泊松方程組有一組自相似解，定理1證畢。

[9] 郭志榮、易金橋、段文山，等. 一類高維非線性方程(組)自相似解的簡易求法[J]. 西北師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2007, 43(2): 33-37. GUO Z R, YI J Q, DUAN W S, et al. A method for finding similarity solution of (2+1)-dimensional nonlinear partial differential equation(s) [J]. Journal of Northwest Normal University (Natural Science), 2007, 43(2): 33-37.

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[12] YUEN M W. Rotational and self-similar solutions for the compressible Euler equations in R3[J]. Communications in Nonlinear science and Numerical Simulation, 2015, 20(3): 634-640.

Self-similar solutions for the compressible Euler-Poisson equations in three dimension

WANGLing1,XIALi2

(1. Department of Mathematics, Guangdong Technical College of Water Resources and Electric Engineering, Guangzhou 510635, China; 2. College of Mathematics and Statistics, Guangdong University of Finance and Economics, Guangzhou 510320, China)

The isentropic compressible Euler-Poisson equations, addressed to describe the motion of ideal gaseous stars, consist of the Euler-Poisson equations for the conservation of mass and momentum, and Poisson equation induced by the potential function of the self-gravitational force. Using the separation method, self-similar solution are presented for the isentropic compressible Euler-Poisson equations in three dimension.

isentropic compressible; Euler-Poisson equations; self-similar solutions; three dimension

2016-06-21 基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金 (11301345)；廣東省自然科學(xué)基金 (2015A030313623)；廣東省教育廳項(xiàng)目 (YQ2015077)

王玲(1966年生)，女；研究方向：數(shù)學(xué)教育、偏微分方程；E-mail: wanglin@gdsdxy.cn

10.13471/j.cnki.acta.snus.2017.01.012

O175.2

A

0529-6579(2017)01-0073-04