張海林++鄒欣++孫津原

摘要：構(gòu)建基于OpenGL ES的漸開(kāi)線圓柱齒輪模型，解決在移動(dòng)設(shè)備上參數(shù)化生成漸開(kāi)線圓柱齒輪模型困難和漸開(kāi)線圓柱齒輪模型在移動(dòng)端可視化流程等問(wèn)題。分析漸開(kāi)線圓柱齒輪形成原理，根據(jù)移動(dòng)設(shè)備圖形渲染庫(kù)OpenGL ES渲染方式確定漸開(kāi)線圓柱齒輪建模數(shù)據(jù)的方法進(jìn)行研究。總結(jié)出漸開(kāi)線圓柱齒輪的參數(shù)化建模關(guān)鍵技術(shù)和移動(dòng)端可視化流程，以Unity3D為開(kāi)發(fā)環(huán)境，制作出在移動(dòng)設(shè)備上展示漸開(kāi)線圓柱齒輪的應(yīng)用程序（APP）。驗(yàn)證了基于OpenGL ES的漸開(kāi)線圓柱齒輪參數(shù)化建模在移動(dòng)設(shè)備上的優(yōu)越性，為構(gòu)建其它機(jī)械構(gòu)件模型提供了方法，同時(shí)探索了機(jī)械類(lèi)知識(shí)在移動(dòng)設(shè)備上的傳播。

關(guān)鍵詞：OpenGL ES；漸開(kāi)線圓柱齒輪；參數(shù)化建模；移動(dòng)端可視化

中圖分類(lèi)號(hào)：TH132.41 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1007-9416（2017）03-0077-05

機(jī)械類(lèi)基礎(chǔ)課中有很多抽象的原理知識(shí)不易被學(xué)生接收，又不能隨意刪減，然而在真實(shí)的情景中講述就能輕松釋義[1]。虛擬模型庫(kù)因其三維模型造型逼真、控制靈活而在教學(xué)中起到了一定的作用[2]。但是，已開(kāi)發(fā)的虛擬模型庫(kù)都是基于PC 平臺(tái)開(kāi)發(fā)的，而由于PC 平臺(tái)的在便攜性方面的限制，使得虛擬模型庫(kù)的應(yīng)用也受到了極大的限制。手持移動(dòng)設(shè)備的出現(xiàn)，為解除這種束縛提供了條件，該類(lèi)設(shè)備最重要的屬性即是其便攜性，而且隨著硬件水平的不斷提高，運(yùn)行平臺(tái)的實(shí)用性也日益增強(qiáng)，現(xiàn)在越來(lái)越多的應(yīng)用程序（APP）在移動(dòng)設(shè)備平臺(tái)上得以實(shí)施。若采用在工程軟件中建漸開(kāi)線圓柱齒輪模型，再把這些模型加載到APP中，會(huì)導(dǎo)致APP的安裝包過(guò)大，并且由于齒輪的參數(shù)不同，要把所有的漸開(kāi)線圓柱齒輪顯示在手持移動(dòng)設(shè)備上，需要建幾百個(gè)齒輪。本論文以漸開(kāi)線圓柱齒輪形成原理為基礎(chǔ)，以移動(dòng)設(shè)備的圖形渲染庫(kù)OpenGL ES為工具進(jìn)行研究，得出漸開(kāi)線圓柱齒輪建模關(guān)鍵技術(shù)，該技術(shù)可應(yīng)用到各種開(kāi)發(fā)環(huán)境中?？偨Y(jié)出移動(dòng)端可視化流程，采用參數(shù)化設(shè)計(jì)的方法制作出可以在手持移動(dòng)設(shè)備上使用的APP。參數(shù)化設(shè)計(jì)方法就是將模型中的定量信息變量化，使之成為任意調(diào)整的參數(shù)。對(duì)于變量化參數(shù)賦予不同的數(shù)值，即可得到不同大小和形狀的零件模型[3]。參數(shù)化設(shè)計(jì)大大減少了重復(fù)設(shè)計(jì)量、縮短了設(shè)計(jì)周期和提高了設(shè)計(jì)效率，使機(jī)械類(lèi)構(gòu)件完美的呈現(xiàn)在移動(dòng)設(shè)備上[4]。

1 齒輪參數(shù)化建模關(guān)鍵技術(shù)及過(guò)程

1.1 OpenGL ES繪圖原理

OpenGL ES 是一個(gè)跨平臺(tái)的圖形庫(kù)，是專(zhuān)門(mén)為嵌入式系統(tǒng)（如Android系統(tǒng)、IOS系統(tǒng)等）而設(shè)計(jì)的，提供了功能完善的 2D 和3D圖形應(yīng)用程序接口API，創(chuàng)造了軟件與圖形間加速靈活強(qiáng)大的底層交互接口[5]。OpenGL ES 2.0及更高版本的渲染管線可編程，其繪圖原理如圖1所示。

OpenGL ES中支持的繪制方式大致分3類(lèi)，包括點(diǎn)、線段、三角形，每類(lèi)中包括一種或多種具體的繪制方式[6]，本論文采用GL_TRIANGLES，此方式是三角形類(lèi)之一，其將傳入渲染管線的一系列頂點(diǎn)按照順序每3個(gè)組織成一個(gè)三角形進(jìn)行繪制。如圖2所示，所繪矩形由三角形V0V1V2、V3V4V5而得，其中頂點(diǎn)V2、V5以及頂點(diǎn)V1、V3位置相同。

根據(jù)OpenGL ES繪圖原理和本論文采用的GL_TRIANGLES方式，在齒輪參數(shù)化建模中，需要確定頂點(diǎn)數(shù)組、法向量數(shù)組和顏色數(shù)組。其中頂點(diǎn)數(shù)組控制齒輪形狀，法向量數(shù)組控制齒輪對(duì)燈光的反射，顏色數(shù)組控制齒輪顏色。設(shè)三個(gè)數(shù)組類(lèi)型均為單精度浮點(diǎn)型，頂點(diǎn)數(shù)組命名為Vertex_List，法向量數(shù)組命名為Normal_List，顏色數(shù)組命名為Color_List。

1.2 齒輪參數(shù)化建模數(shù)據(jù)的確定

根據(jù)設(shè)定目標(biāo)，確定齒輪參數(shù)化建模所需要的參數(shù)。本論文設(shè)定的目標(biāo)是構(gòu)建標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)線圓柱齒輪；能動(dòng)態(tài)生成直齒輪和斜齒輪兩種類(lèi)型，斜齒輪的螺旋角可以調(diào)節(jié)；通過(guò)調(diào)節(jié)模數(shù)、齒數(shù)、齒輪厚度改變齒輪的輪廓特征，通過(guò)調(diào)節(jié)顏色的RGB值改變齒輪顯示顏色，通過(guò)調(diào)節(jié)齒孔半徑，給齒輪開(kāi)不同大小的孔或槽，具體的參數(shù)名稱(chēng)、參數(shù)代號(hào)，參數(shù)取值如表1所示。

本論文構(gòu)建標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)線圓柱齒輪，因此對(duì)部分參數(shù)取標(biāo)準(zhǔn)值，該參數(shù)在計(jì)算中始終是常數(shù)。另有一些基本參數(shù)根據(jù)表1中輸入的參數(shù)而確定，具體參數(shù)名稱(chēng)、參數(shù)代號(hào)、計(jì)算公式如表2所示。

1.3 齒輪繪制過(guò)程

如圖3所示，為展角，為壓力角，為基圓半徑，為漸開(kāi)線在任意點(diǎn)K（1、2、3等）的向徑。漸開(kāi)線極坐標(biāo)方程如公式（1）[7]，將基圓圓心作為原點(diǎn)，圓心與漸開(kāi)線的起始點(diǎn)A的連線作為x軸，與x軸垂直的方向作為Y軸建立笛卡爾坐標(biāo)系，按照漸開(kāi)線形成原理得出漸開(kāi)線的方程如公式（2）[8]，其中。

（1）

（2）

當(dāng)時(shí)，齒根圓包含于基圓，齒廓曲線必然由徑向直線和漸開(kāi)線兩部分組成，且齒廓曲線處于基圓與齒根圓之間的為徑向直線，處于基圓與齒頂圓之間的為漸開(kāi)線；當(dāng)時(shí)，齒根圓包含基圓，齒廓曲線全為漸開(kāi)線[9]。由此可以確定公式（2）中的取值范圍，當(dāng)時(shí)，最小取值為，取最大值的條件為，即，其中和取值根據(jù)公式（3）；當(dāng)時(shí)，最小取值的條件為，即，其中和取值根據(jù)公式（4），的最大值與時(shí)的最大值一樣。

（3）

（4）

本論文以時(shí)為例，的取值范圍為[]，設(shè)其長(zhǎng)度為，將t平均分成n份，將、、到帶入公式（2），求出點(diǎn)1、2、3到n的坐標(biāo)。將坐標(biāo)點(diǎn)按三角形排列方式，102、203、304等所有坐標(biāo)點(diǎn)放入Vertex_List，當(dāng)n取合適值時(shí)，就可以得到平滑的漸開(kāi)線面，如圖4中的①。

當(dāng)計(jì)算出一個(gè)齒的右部分頂點(diǎn)后，采用對(duì)稱(chēng)的方法求出左部分的頂點(diǎn)。首先確定對(duì)稱(chēng)直線，在圖3笛卡爾坐標(biāo)系中，直線就是該直線，設(shè)斜率角為，取值根據(jù)公式（5），設(shè)該直線的斜率為，則該直線方程為。從Vertex_List中遍歷每個(gè)點(diǎn)，根據(jù)公式六求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)，增加到Vertex_List中，得到圖4中②部分的區(qū)域，b區(qū)域?yàn)槿切涡螤睿鶕?jù)邊界點(diǎn)可以得出。

（5）

（6）

設(shè)齒槽對(duì)應(yīng)圓心角為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。根據(jù)公式（7），計(jì)算相關(guān)坐標(biāo)點(diǎn)增加到Vertex_List中，得到圖4中③部分的c區(qū)域，其中的取值范圍為[]。

（7）

當(dāng)繪制好一個(gè)完整齒后，需要復(fù)制出z-1個(gè)齒，這些齒是以原點(diǎn)為中心，根據(jù)公式（8），旋轉(zhuǎn)復(fù)制而得，并將復(fù)制后的坐標(biāo)增加到Vertex_List中，繪制的結(jié)果如圖5中⑤，其中的取值范圍為[][10]。

（8）

這樣，齒輪的正面繪制完，將所得數(shù)組命名為Vertex_List_1，并將所有頂點(diǎn)的坐標(biāo)值設(shè)置為。齒輪側(cè)面的數(shù)組命名為Vertex_list_2，齒輪背面數(shù)組命名為Vertex_list_3。在斜齒輪中，設(shè)齒輪正面的齒與齒輪背面的齒投影夾角為，根據(jù)公式九和公式八，對(duì)Vertex_List_1中的頂點(diǎn)計(jì)算，并將得到的每一個(gè)三角形頂點(diǎn)按順時(shí)針重新排列，坐標(biāo)值設(shè)置為，存入到Vertex_List_3，其中時(shí)，為直齒輪。將Vertex_List_1和Vertex_List_3中對(duì)應(yīng)位置的頂點(diǎn)按照三角形方式排列，存入Vertex_List_2中，即得到齒輪側(cè)面數(shù)組。將Vertex_List清空，將Vertex_List_1、Vertex_List_2、Vertex_List_3按照順序存入Vertex_List中，至此，齒輪頂點(diǎn)數(shù)組制作完成，繪制后的效果如圖5中的⑥。

（9）

根據(jù)存入到Vertex_List中的點(diǎn)，計(jì)算齒輪面法向量，存放到Normal_List中。計(jì)算方法是從Vertex_List中提取一個(gè)三角形的三個(gè)點(diǎn)，設(shè)為點(diǎn)A、B、C，由點(diǎn)A點(diǎn)B構(gòu)造向量，由點(diǎn)A點(diǎn)C構(gòu)造向量，則點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C的向量是，存放到Normal_List中。然后遍歷Vertex_List，計(jì)算所有對(duì)應(yīng)點(diǎn)的向量，存放到Normal_List中。本論文研究的齒輪，每個(gè)頂點(diǎn)的顏色相同，并且由光的三原色R、G、B確定，Color_List中存放所有頂點(diǎn)的R、G、B值，其中R、G、B的值由參數(shù)傳入而確定。

2 移動(dòng)端可視化流程

移動(dòng)端可視化流程，如圖6所示，第一步設(shè)定目標(biāo)，即制作的APP要滿(mǎn)足的功能。第二步，確定齒輪參數(shù)化建模數(shù)據(jù)，根據(jù)第一步設(shè)定的目標(biāo)，參數(shù)分為固定參數(shù)和可變參數(shù)，其中可變參數(shù)需要通過(guò)界面交互傳入，因此界面設(shè)計(jì)除滿(mǎn)足美學(xué)要求外，也要滿(mǎn)足可變參數(shù)的改變。第三步，選擇移動(dòng)端APP開(kāi)發(fā)工具，如針對(duì)Android系統(tǒng)開(kāi)發(fā)的Eclipse軟件、針對(duì)iOS系統(tǒng)開(kāi)發(fā)的XCode軟件、跨平臺(tái)開(kāi)發(fā)軟件Cocos2d-x、Unity3d、Unreal Engine 4等，不同軟件所使用的開(kāi)發(fā)語(yǔ)言不同，如Eclipse使用Java，Unreal Engine 4使用C++。第四步，根據(jù)本論文第一節(jié)齒輪參數(shù)化建模關(guān)鍵技術(shù)及過(guò)程和選擇的開(kāi)發(fā)工具及其相應(yīng)的開(kāi)發(fā)語(yǔ)言，確定頂點(diǎn)數(shù)組（Vertex_List）、法線數(shù)組（Normal_List）和顏色數(shù)組（Color_List）具體值。第五步，結(jié)合app界面設(shè)計(jì)進(jìn)行程序設(shè)計(jì)。第六步，圖形測(cè)試，檢查是否有剖面，形狀、顏色是否正確等。第七步，針對(duì)移動(dòng)端，生成相應(yīng)的APP文件。

下面展示移動(dòng)端可視化流程的一種案例：

第一步，本案例設(shè)定目標(biāo)為能展示標(biāo)準(zhǔn)直齒、斜齒漸開(kāi)線圓柱齒輪，其中斜齒輪螺旋角可以改變；能夠在齒輪中間開(kāi)圓孔和槽孔，孔徑大小可以改變；齒輪模數(shù)、齒數(shù)、齒厚、顏色可以改變；可以遠(yuǎn)近觀察齒輪。第二步，根據(jù)第一步設(shè)定的目標(biāo)，除需要表1和表2，需要增減直齒輪和斜齒輪切換參數(shù)，以及遠(yuǎn)近觀察參數(shù)，由此APP的界面設(shè)計(jì)如圖7所示，圖中間部分放齒輪模型。第三步，本案例選Unity3D為開(kāi)發(fā)工具、C#為開(kāi)發(fā)語(yǔ)言。第四步，圖8所示，為將公式三轉(zhuǎn)換成代碼形式，確定漸開(kāi)線面的頂點(diǎn)，形狀如圖4中的①。按照此方法，計(jì)算出所有部分的頂點(diǎn)后，放入Vertex_List中，得到頂點(diǎn)數(shù)組。法線數(shù)組（Normal_List）和顏色數(shù)組（Color_List）方法一致。第五步，進(jìn)行程序設(shè)計(jì)，如圖9所示。首先在Unity場(chǎng)景編輯器中建立GameObject，命名為Gear_Watch；其次，為Gear_Watch構(gòu)建腳本（Script），命名為GearMode.cs，腳本文件中的變量與第二步確定的相對(duì)應(yīng)，并與界面設(shè)計(jì)的圖標(biāo)進(jìn)行關(guān)聯(lián)；最后，為Gear_Watch添加材質(zhì)（Material），命名為Material_Gear.mat，材質(zhì)的著色器（shader）選擇專(zhuān)門(mén)為本案例編寫(xiě)的Shader_VF_Gear.shader，控制齒輪的顏色。開(kāi)發(fā)工具選擇的不同，頂點(diǎn)數(shù)組（Vertex_List）、法線數(shù)組（Normal_List）、顏色數(shù)組（Color_List）輸入到渲染管線的方式可能不同。如圖10所示，腳本GearMode.cs的部分代碼，頂點(diǎn)數(shù)組的輸入，需要將Vertex_List轉(zhuǎn)換成只存儲(chǔ)坐標(biāo)點(diǎn)的vertices數(shù)組和只存儲(chǔ)頂點(diǎn)三角形索引位置的triangles數(shù)組，然后傳入渲染管線。由于所有的頂點(diǎn)顏色一樣，根據(jù)著色器（shader）的編寫(xiě)，只需要傳入三個(gè)顏色值即可，不用傳入Color_List數(shù)組。第六步，圖形測(cè)試，如圖11所示，改變不同的參數(shù)，生成的齒輪部分圖片，經(jīng)測(cè)試，結(jié)果正確。第七步，在Unity中的File菜單下的Build Settings面板中，選擇移動(dòng)端系統(tǒng)的選項(xiàng)，點(diǎn)擊Build，即生成相對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的APP安裝文件，如圖12所示。

3 APP運(yùn)行及結(jié)果

首先點(diǎn)擊手機(jī)桌面上名稱(chēng)為Gear的APP，進(jìn)入APP的界面，如圖13所示。界面右側(cè)的參數(shù)面板分點(diǎn)擊和滑動(dòng)兩種操作，改變相應(yīng)的參數(shù)，界面中間的齒輪形態(tài)同步改變。當(dāng)連續(xù)改變某一參數(shù)，可動(dòng)態(tài)觀察齒輪的變化。手指選中中間的齒輪，可以任意角度的旋轉(zhuǎn)，進(jìn)行觀察。界面左側(cè)的滑動(dòng)條用來(lái)調(diào)整APP內(nèi)的攝像機(jī)與齒輪的遠(yuǎn)近位置。圖14為斜齒輪，螺旋角調(diào)到20，選擇槽孔，孔徑52mm，模數(shù)選擇5.5，“第二系列”文字提示用紅色顯示，因?yàn)樵跈C(jī)械行業(yè)模數(shù)要優(yōu)先選擇第一系列的數(shù)值。齒數(shù)選擇39，齒厚為模數(shù)的6倍，齒輪的顏色R、G、B值分別是0、127、131。

4 結(jié)語(yǔ)

在研究OpenGL ES圖形庫(kù)的基礎(chǔ)上，以漸開(kāi)線圓柱齒輪的形成原理為理論基礎(chǔ)，結(jié)合幾何學(xué)相關(guān)知識(shí)，總結(jié)出漸開(kāi)線圓柱齒輪參數(shù)化建模的關(guān)鍵技術(shù)，即確定頂點(diǎn)數(shù)組、法線數(shù)組和顏色數(shù)組。根據(jù)所得數(shù)組，結(jié)合開(kāi)發(fā)環(huán)境，同時(shí)參考交互設(shè)計(jì)、界面設(shè)計(jì)、計(jì)算機(jī)編程等知識(shí)，得出移動(dòng)端可視化流程。并使用Unity3D制作出可安裝到移動(dòng)端的APP，動(dòng)態(tài)展示不同參數(shù)下的齒輪形狀和顏色，驗(yàn)證了基于OpenGL ES的漸開(kāi)線圓柱齒輪參數(shù)化建模在移動(dòng)設(shè)備上展示的優(yōu)越性。此外，根據(jù)總結(jié)出的漸開(kāi)線圓柱齒輪參數(shù)化建模關(guān)鍵技術(shù)、移動(dòng)端可視化流程，為構(gòu)建其它機(jī)械構(gòu)件提供了指導(dǎo)，如構(gòu)建錐齒輪、凸輪等。對(duì)機(jī)械構(gòu)件在移動(dòng)設(shè)備上進(jìn)行虛擬演示奠定了一定基礎(chǔ)，使機(jī)械知識(shí)的傳播和普及更加方便、高效。

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