鄭美茹 王 圣 王 豐 劉文陽

(1. 陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院 渭南 714000 2. 國(guó)網(wǎng)上饒供電公司 上饒 334000 3. 北京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院 北京 100081)

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基于分?jǐn)?shù)階次符號(hào)函數(shù)的永磁同步電機(jī)滑?？刂萍夹g(shù)

鄭美茹1王 圣2王 豐3劉文陽3

(1. 陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院 渭南 714000 2. 國(guó)網(wǎng)上饒供電公司 上饒 334000 3. 北京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院 北京 100081)

針對(duì)永磁同步電機(jī)的傳統(tǒng)滑?？刂萍夹g(shù)中趨近速度與抖振程度之間存在矛盾的問題，利用分?jǐn)?shù)階積分型符號(hào)函數(shù)的特性，設(shè)計(jì)了一種基于分?jǐn)?shù)階的積分時(shí)變滑模變結(jié)構(gòu)控制器。在趨近律的設(shè)計(jì)中引入分?jǐn)?shù)階，達(dá)到了在抖振程度較小的前提下提高系統(tǒng)響應(yīng)速度的目的。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了所提出的滑?？刂品椒ㄏ啾扔趥鹘y(tǒng)的滑?？刂品椒芨?、更好地跟蹤給定的信號(hào)，且對(duì)系統(tǒng)外部擾動(dòng)具有較強(qiáng)的魯棒性。

分?jǐn)?shù)階微積分 滑模控制 符號(hào)函數(shù) 快速趨近律

0 引言

永磁同步電機(jī)(Permanent Magnet Synchronous Motor,PMSM)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、體積小、可靠性高等優(yōu)點(diǎn)，在眾多領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用。目前，永磁同步電機(jī)最常見的控制方式為PID控制。雖然PID控制簡(jiǎn)單、可靠且調(diào)節(jié)方便，但在外界存在很大擾動(dòng)或電機(jī)內(nèi)部參數(shù)變化較大的情況下其難以滿足精確地調(diào)速要求[1]。

基于以上原因，近年來，越來越多的現(xiàn)代控制理論(如自適應(yīng)控制、模糊控制、滑?？刂频?被用來提高永磁同步電機(jī)的控制性能[2]。其中，滑模控制由于對(duì)外界擾動(dòng)和系統(tǒng)參數(shù)變化具有很強(qiáng)的魯棒性而得到了廣泛關(guān)注，并在電機(jī)的伺服系統(tǒng)中得到了應(yīng)用。但傳統(tǒng)的滑?？刂浦邢到y(tǒng)的趨近快速性和抖振程度是相互矛盾的，系統(tǒng)的趨近速度越快引起的抖振程度越高[3]。為了解決這個(gè)問題，很多學(xué)者提出了不同的方案。文獻(xiàn)[4]采用了一種模糊趨近律來實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)趨近律參數(shù)，加快了系統(tǒng)的趨近速度并減弱了抖振。文獻(xiàn)[5] 通過將邊界層正則化來達(dá)到減弱抖振的目的。文獻(xiàn)[6]利用分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)可調(diào)的收斂方式，縮短了系統(tǒng)在滑模面的收斂過程，減小了抖振程度。盡管上述文獻(xiàn)都在一定程度上加快了系統(tǒng)的趨近速度并減弱了抖振，但仍存在設(shè)計(jì)復(fù)雜、包含穩(wěn)態(tài)誤差等問題。

本文探究了分?jǐn)?shù)階積分型符號(hào)函數(shù)的性質(zhì)，并嘗試將其應(yīng)用到永磁同步電機(jī)的控制中。不同于文獻(xiàn)[6] 中分?jǐn)?shù)階與滑?？刂葡嘟Y(jié)合的方式，本文直接將分?jǐn)?shù)階化的符號(hào)函數(shù)替代傳統(tǒng)滑?？刂浦械姆?hào)函數(shù)，實(shí)驗(yàn)和仿真結(jié)果證明了這種方法的可靠性和有效性。

1 永磁同步電機(jī)模型

永磁同步電機(jī)是一個(gè)非線性、強(qiáng)耦合、多變量的復(fù)雜系統(tǒng)。本文采用常用的dq軸數(shù)學(xué)模型對(duì)永磁同步電機(jī)進(jìn)行分析。

永磁同步電機(jī)的磁鏈方程為

ψd=Ldid+ψr

ψq=Lqiq

(1)

電壓方程為

ud=Rid+pψd-ωψq

uq=Riq+pψq+ωψd

(2)

得到電磁轉(zhuǎn)矩方程為

Te=pn(ψdiq-ψqid)

(3)

將磁鏈方程代入轉(zhuǎn)矩方程中有

Te=pn[ψriq+(Ld-Lq)idiq]

(4)

對(duì)于面裝式電機(jī)，有Ld=Lq=L，式(4)可簡(jiǎn)化為

Te=pnψriq

(5)

電機(jī)機(jī)械方程為

(6)

式中，ud、uq分別為定子電壓d、q軸分量；R為定子繞組電阻；ψd、ψq分別為定子磁鏈d、q軸分量；ψr為永磁體產(chǎn)生的磁鏈；p為微分算子，p=d/dt；ω為電機(jī)角速度；pn為電機(jī)極對(duì)數(shù)；Te為電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩；Tl為電機(jī)負(fù)載轉(zhuǎn)矩；J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；B為軸承的粘滯系數(shù)。

結(jié)合式(2)、式(4)、式(6)，采用Id=0的控制策略，可得電機(jī)狀態(tài)方程為

(7)

2 分?jǐn)?shù)階滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

分?jǐn)?shù)階積分的Riemann-Liouville定義為

式中，λ為分?jǐn)?shù)階積分階次，為任意實(shí)數(shù)；[a,t]為分?jǐn)?shù)階積分區(qū)間；Γ( )為gamma函數(shù)。分?jǐn)?shù)階微積分通常具有記憶性、線性、可疊加等性質(zhì)[7]。

證明：由文獻(xiàn)[8]可以得出分?jǐn)?shù)階微分型符號(hào)函數(shù)的性質(zhì)，即

那么根據(jù)分?jǐn)?shù)階微積分的性質(zhì)有

Jλsign(f(t))=JnDn-λsign(f(t))+

在滿足f(0+)=0時(shí)，上式可改寫為

Jλsign(f(t))=JnDn-λsign(f(t))

證畢。

本文根據(jù)文獻(xiàn)[9，10]的思想，設(shè)計(jì)了一種基于分?jǐn)?shù)階次符號(hào)函數(shù)的積分型滑模變結(jié)構(gòu)控制器。為了避免加速度信號(hào)給系統(tǒng)帶來高頻噪聲，本文在滑模面的設(shè)計(jì)中引入誤差信號(hào)的積分項(xiàng)，舍去了傳統(tǒng)滑模速度控制中所必須的加速度信號(hào)。同時(shí)，積分項(xiàng)的加入可以有效消除穩(wěn)態(tài)誤差。為了滿足分?jǐn)?shù)階積分型符號(hào)函數(shù)的使用條件，將滑模面設(shè)計(jì)為全局滑模的形式，使系統(tǒng)從初始時(shí)刻就在滑模面上運(yùn)動(dòng)。全局滑模可以消除到達(dá)階段，使系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的全過程都具有魯棒性[11]。

將本文設(shè)計(jì)的滑模控制器應(yīng)用于永磁同步電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)的過程如下。定義狀態(tài)變量為x=ωref-ω，其中ωref為轉(zhuǎn)速給定。根據(jù)電機(jī)的狀態(tài)方程得

(8)

(9)

設(shè)計(jì)的滑模面的基本形式為

(10)

式中，c、m、n為常數(shù)，n>0；me-t/n為時(shí)變項(xiàng)。其中各個(gè)常數(shù)值的選取原則為：參數(shù)c的選取應(yīng)確保切換函數(shù)滿足霍爾維茲多項(xiàng)式；參數(shù)n的選取應(yīng)既滿足滑模面收斂速度的要求又兼顧程序運(yùn)算精度的要求；此外要求系統(tǒng)初始時(shí)刻便處在滑模面上，故必須滿足s(x,0)=0，可得

m=-x(0)

即

將方程(8)代入，可得到等效控制律為

(11)

故系統(tǒng)的控制量可選為

(12)

3 系統(tǒng)性能分析

3.1 可達(dá)性分析

為了保證系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)能在有限的時(shí)間內(nèi)趨向滑模面，系統(tǒng)必須滿足條件

通?？杀磉_(dá)為李雅普諾夫函數(shù)的形式，即

=s(d-bη)

(13)

3.2 趨近速度分析

圖1 兩種符號(hào)函數(shù)值的對(duì)比Fig.1 The comparison of two sign function value

可以看出，分?jǐn)?shù)階積分型符號(hào)函數(shù)值在初始時(shí)刻是遠(yuǎn)大于1的，且函數(shù)值會(huì)隨時(shí)間增長(zhǎng)而衰減到一個(gè)小于1的數(shù)。這是分?jǐn)?shù)階積分型符號(hào)函數(shù)的又一特殊性質(zhì)，利用分?jǐn)?shù)階符號(hào)函數(shù)的這種類似于“小偏差小增益、大偏差大增益”的特性對(duì)滑模控制律進(jìn)行改造，可以在有效提高趨近速度的同時(shí)抑制抖振。

3.3 抖振程度分析

在實(shí)際控制系統(tǒng)中，滑模趨近律需要以離散形式進(jìn)行計(jì)算與說明，因此采用離散形式對(duì)本文提出的控制律的抖振程度進(jìn)行分析[13]。

分?jǐn)?shù)階積分型符號(hào)函數(shù)趨近律的離散形式為

s(n+1)-s(n)=-ηJλsign(s)T

(14)

式中，T為采樣周期。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)軌跡從s>0(s<0時(shí)同理可得)的一側(cè)通過有限時(shí)間到達(dá)滑模切換面，即s(n)=0+，則下一個(gè)采樣周期時(shí)將分?jǐn)?shù)階積分離散化形式[14]代入式(14)中有

(15)

同理可得分?jǐn)?shù)階微分型符號(hào)函數(shù)趨近律的離散形式為

(16)

在實(shí)際的控制中，采樣周期T<<1，且1>λ>0，故可以得到分?jǐn)?shù)階積分型符號(hào)函數(shù)的滑模切換帶的寬度遠(yuǎn)小于分?jǐn)?shù)階微分型符號(hào)函數(shù)的滑模切換帶的寬度。基于這個(gè)原因，本文的趨近律的設(shè)計(jì)中選擇了分?jǐn)?shù)階積分型的符號(hào)函數(shù)而并未選擇同樣具有提取符號(hào)性質(zhì)的分?jǐn)?shù)階微分型的符號(hào)函數(shù)。

4 仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果

4.1 仿真結(jié)果

本文采用電流環(huán)、速度環(huán)雙閉環(huán)控制方式。控制框圖如圖2所示。其中速度控制器采用上文提出的分?jǐn)?shù)階符號(hào)函數(shù)型的滑?？刂坡桑?jīng)過設(shè)計(jì)的滑?？刂破骱罂僧a(chǎn)生如式(12)所示的輸出量u，這個(gè)控制量輸出即作為內(nèi)環(huán)電流環(huán)q軸電流的給定量。產(chǎn)生q軸電流給定信號(hào)后與當(dāng)前q軸電流值作比較，經(jīng)過電流內(nèi)環(huán)PI控制器可得到d軸和q軸的電壓給定值ud和uq，再經(jīng)過坐標(biāo)變換和空間矢量脈寬調(diào)制[15]，產(chǎn)生三相電壓指令。d軸電流采用Id=0的控制方式[16，17]。

查詢電機(jī)相關(guān)參數(shù)可得：電機(jī)極對(duì)數(shù)pn=3，定子電阻R=2.875 Ω，電樞電感L=0.000 835 H，永磁體產(chǎn)生的磁鏈為ψr=0.175 Wb，負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=0.8×10-3kg·m2，阻尼系數(shù)F=0.000 1 N·m·s，靜摩擦力轉(zhuǎn)矩Tf=4 N·m。式(12)中參數(shù)c的值在確保使切換函數(shù)滿足霍爾維茲多項(xiàng)式的前提下經(jīng)過對(duì)控制效果的觀察選定為2.2；參數(shù)m根據(jù)全局滑模的條件設(shè)為-250；參數(shù)n需兼顧收斂速度和計(jì)算精度的要求選定為0.001。

圖2 永磁同步電機(jī)控制系統(tǒng)框圖Fig.2 The control block of the PMSM

分別采用基于分?jǐn)?shù)階積分型符號(hào)函數(shù)的滑?？刂婆c普通等速趨近律滑?？刂坪蟮霓D(zhuǎn)速響應(yīng)對(duì)比如圖3所示。給定轉(zhuǎn)速為250 r/min。從圖3可以看到，采用本文提出的分?jǐn)?shù)階滑?？刂?，在一定程度上能使系統(tǒng)更加快速地?zé)o超調(diào)地到達(dá)給定轉(zhuǎn)速，且系統(tǒng)的抖振程度和穩(wěn)態(tài)誤差較小。

圖3 兩種控制系統(tǒng)轉(zhuǎn)速響應(yīng)對(duì)比Fig.3 The speed response comparison of two controller

圖4為轉(zhuǎn)速伺服系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階滑?？刂破骱推胀ɑ？刂破鲗?duì)幅值為100 r/min、周期為0.05 s的正弦速度信號(hào)的跟蹤對(duì)比曲線。從圖中可以看到，兩種控制器都可以平穩(wěn)地跟蹤給定的正弦速度輸入信號(hào)，但普通滑?？刂破鱗18]存在一定的跟蹤誤差，且抖振現(xiàn)象較明顯，而分?jǐn)?shù)階滑?？刂破髂芫_且快速地跟蹤輸入。因此，本文提出的新型滑?？刂破骶哂懈玫膭?dòng)態(tài)性能和跟隨性能。

圖4 兩種控制系統(tǒng)正弦給定轉(zhuǎn)速跟蹤對(duì)比Fig.4 The speed tracking comparison of two controller

在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，系統(tǒng)滑模面如圖5所示?？梢钥吹?，采用全局滑模以后，系統(tǒng)狀態(tài)在初始時(shí)刻時(shí)就處在滑模面上，且滑模面在整個(gè)滑動(dòng)過程中是時(shí)變的，能夠使系統(tǒng)狀態(tài)始終處于滑模面上，從而消除了到達(dá)階段，大大改善了整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程的魯棒性。

圖5 分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)滑模面波形Fig.5 The sliding surface of the fractional order controller

圖6為在0.1 s時(shí)給系統(tǒng)加入8 N·m的負(fù)載擾動(dòng)時(shí)兩種系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速響應(yīng)對(duì)比?？梢园l(fā)現(xiàn)在本文設(shè)計(jì)的控制策略下，突加負(fù)載對(duì)轉(zhuǎn)速幾乎沒有影響，而采用普通符號(hào)函數(shù)的滑?？刂葡到y(tǒng)在突加負(fù)載的干擾下，轉(zhuǎn)速出現(xiàn)了很大程度的跌落，證明了本文設(shè)計(jì)的控制器的強(qiáng)魯棒性。

圖6 分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)負(fù)載擾動(dòng)轉(zhuǎn)速響應(yīng)Fig.6 The speed response of the fractional order controller with load disturbances

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

采用本文提出的控制策略，在低速實(shí)驗(yàn)中將參數(shù)m改為25，高速實(shí)驗(yàn)時(shí)各參數(shù)不變。在基于DSP的永磁同步電機(jī)平臺(tái)上分別進(jìn)行了階躍和正弦跟蹤實(shí)驗(yàn)?？刂菩酒捎蔑w思卡爾公司型號(hào)為MC56F8346的定點(diǎn)DSP，電機(jī)采用四通公司型號(hào)為120MB040A的永磁同步伺服電機(jī)。

圖7和圖8為分別采用分?jǐn)?shù)階符號(hào)函數(shù)的滑?？刂破骱推胀ǚ?hào)函數(shù)的滑模控制器的轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)對(duì)比曲線。為了減少抖振，所有的轉(zhuǎn)速信號(hào)都是經(jīng)過了一階卡爾曼濾波后的信號(hào)?？梢钥吹綗o論在低速時(shí)或是高速時(shí)本文提出的控制器的轉(zhuǎn)速響應(yīng)均比普通的滑?？刂破鞯捻憫?yīng)速度更快，且抖振相對(duì)較小，低速時(shí)效果尤為明顯。

圖7 給定低速階躍信號(hào)時(shí)轉(zhuǎn)速響應(yīng)對(duì)比Fig.7 The speed response of two controllers when inputting the low step signal

圖8 給定高速階躍信號(hào)時(shí)轉(zhuǎn)速響應(yīng)對(duì)比Fig.8 The speed response of two controllers when inputting high step signal

將速度給定改為正弦波給定，觀察兩種控制系統(tǒng)的跟隨特性，如圖9和圖10所示。從圖9和圖10可以看到，兩種控制系統(tǒng)均能較快地跟蹤輸入信號(hào)，但分?jǐn)?shù)階型控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差較小。在速度反向變化的時(shí)刻，可以看到普通控制器的轉(zhuǎn)速響應(yīng)存在明顯的抖振情況，而分?jǐn)?shù)階型控制器能一直平穩(wěn)地跟蹤給定轉(zhuǎn)速。以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的基于分?jǐn)?shù)階積分型符號(hào)函數(shù)的滑?？刂破骺刂菩阅茌^高。

圖9 給定速度正弦信號(hào)整數(shù)階控制器轉(zhuǎn)速跟蹤Fig.9 The tracking response of integer controller when inputting sine signal

圖10 給定速度正弦信號(hào)分?jǐn)?shù)階控制器轉(zhuǎn)速跟蹤Fig.10 The tracking response of fractional controller when inputting sine signal

5 結(jié)論

本文提出了一種基于分?jǐn)?shù)階積分型符號(hào)函數(shù)的全局滑?？刂品椒?。該方法利用分?jǐn)?shù)階積分型符號(hào)函數(shù)的優(yōu)良性質(zhì)，將傳統(tǒng)滑模趨近律中的符號(hào)函數(shù)用分?jǐn)?shù)階次的符號(hào)函數(shù)取代，提高了系統(tǒng)趨近速度的同時(shí)抑制了系統(tǒng)的抖振。對(duì)比基于分?jǐn)?shù)階微分型符號(hào)函數(shù)的趨近律，本文采用了同樣具有提取符號(hào)性質(zhì)但抖振程度更小的分?jǐn)?shù)階積分型符號(hào)函數(shù)趨近律。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了本文提出的控制策略具有較好的速度跟蹤性能，同時(shí)對(duì)外部負(fù)載擾動(dòng)也具有較強(qiáng)的魯棒性。

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(編輯 于玲玲)

The Sliding-Mode Control Based on Fractional Order Sign Function of Permanent Magnet Synchronous Motor

ZhengMeiru1WangSheng2WangFeng3LiuWenyang3

(1. Shaanxi Railway Institute Weinan 714000 China 2. State Grid Shangrao Power Supply Company Shangrao 334000 China 3. School of Automation Beijing Institute of Technology Beijing 100081 China)

A scheme of fractional order sliding mode speed controller based on fractional order integral sign function is proposed for dealing with the contradiction of the reaching speed and the chattering phenomenon in traditional sliding mode control for permanent magnet synchronous motor (PMSM). Adding the fractional order calculus to the reaching law design can largely increase the response speed on the premise of smaller chattering. The simulation and experiment results demonstrate that the proposed fractional order sliding mode controller not only achieves a faster response speed, but also has a better tracking performance than traditional sliding mode controller. And it also has a good performance of resisting the external disturbance.

Fractional order calculus, sliding mode control, sign function, fast reaching law

陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院常規(guī)項(xiàng)目(KY2016-45)和北京市自然科學(xué)基金項(xiàng)目(4152046)資助。

2016-03-27 改稿日期 2016-06-10

TM351

鄭美茹 女，1983年生，碩士，講師，研究方向?yàn)闄C(jī)電系統(tǒng)性能分析測(cè)試與控制。

E-mail：xushengjun078@163.com

王 圣 男，1992年生，碩士，研究方向?yàn)榉謹(jǐn)?shù)階控制。

E-mail：nanwangsheng@126.com(通信作者)