葉有名，唐 明，張 華，陳 剛

(1.國網(wǎng)四川省電力公司，四川 成都 610041；2.國網(wǎng)四川省電力公司電力科學(xué)研究院，四川 成都 610072)

特高壓換流站內(nèi)電壓變送器中鐵磁材料勵(lì)磁曲線擬合方法研究

葉有名1，唐 明2，張 華2，陳 剛2

(1.國網(wǎng)四川省電力公司，四川 成都 610041；2.國網(wǎng)四川省電力公司電力科學(xué)研究院，四川 成都 610072)

研究了特高壓換流站中由交直流耦合引發(fā)的鐵磁諧振過電壓問題，針對套管末屏測量單元中電壓變送器的勵(lì)磁曲線特性，分析了奇次多項(xiàng)式擬合與正切函數(shù)擬合的特點(diǎn)。利用泰勒公式與伯努利函數(shù)等數(shù)學(xué)工具論證了二者的擬合特具有內(nèi)在統(tǒng)一性，為鐵磁諧振非線性方程的各種解析解和數(shù)值提供了理論支撐。

特高壓；鐵磁諧振；伯努利函數(shù)

0 引 言

隨著中國西部大開發(fā)戰(zhàn)略以及新能源戰(zhàn)略的扎實(shí)推進(jìn)和不斷深入，“十三五”末四川電網(wǎng)水電外送能力預(yù)計(jì)超過60 Gw，其中通過超特高壓直流輸電工程外送的電力接近50 Gw，占到總外送能力的80%左右。在此期間，西南+兩華異步電網(wǎng)格局也將逐步形成，以四川為中心的西南電網(wǎng)特性將發(fā)生巨大改變，直流輸電運(yùn)行特性及其擾動(dòng)的實(shí)時(shí)控制、響應(yīng)特性將對電網(wǎng)運(yùn)行產(chǎn)生越來越顯著的影響。預(yù)計(jì)至2025年，四川電網(wǎng)內(nèi)可能將再建10條以上的直流輸電工程，直流輸電系統(tǒng)運(yùn)行性能和可靠性將對四川電網(wǎng)和交直流混聯(lián)電網(wǎng)安全運(yùn)行起到至關(guān)重要的作用。

雖然中國在特高壓直流輸電技術(shù)領(lǐng)域已經(jīng)達(dá)到國際領(lǐng)先水平，但近年來的特高壓運(yùn)維經(jīng)驗(yàn)表明，在直流輸電的諸多細(xì)節(jié)方面仍有大量的研究工作有待深入開展。其中，交流系統(tǒng)和直流系統(tǒng)之間的耦合以及引發(fā)的鐵磁諧振過電壓問題尤為突出，其電磁暫態(tài)過程機(jī)理復(fù)雜，對特高壓直流輸電工程的安全穩(wěn)定運(yùn)行構(gòu)成很大威脅。

在鐵磁諧振領(lǐng)域，人們做了大量的研究；但由于鐵磁諧振問題理論上屬于高階非線性系統(tǒng)[1]，無法得到數(shù)學(xué)上的解析解，因此對問題的本質(zhì)還未完全搞清楚。大量的試驗(yàn)研究和運(yùn)行均表明，實(shí)際的諧振情況十分復(fù)雜，可能存在基頻、高頻和分頻諧振甚至混沌等不同的諧振狀態(tài)[2]，因此長期以來鐵磁諧振一直是內(nèi)部過電壓的理論難題和實(shí)際難題。

在理論分析上，主要有圖解法、相平面法、諧波平衡法、描述函數(shù)法等[3-5]。在數(shù)值計(jì)算和仿真分析方面，用給定參數(shù)進(jìn)行計(jì)算得出有關(guān)諧振的規(guī)律，或者是采用電力系統(tǒng)電磁暫態(tài)計(jì)算程序?qū)?shí)際系統(tǒng)進(jìn)行建模仿真計(jì)算。

20世紀(jì)80年代后期，學(xué)者們又將鐵磁諧振與非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)和混沌分析結(jié)合起來[6]，將分叉理論、奇異和非奇異吸引子的概念引入鐵磁諧振的研究領(lǐng)域[7]，利用功率譜密度和龐加萊映射等方法對其進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析[8]。

但無論是求近似解析解還是數(shù)值解，勵(lì)磁曲線的獲取和精確擬合是最核心的問題。在忽略磁滯和渦流的前提下，常見的勵(lì)磁曲線擬合方法有奇次多項(xiàng)式擬合與反正切函數(shù)擬合等方法。這里重點(diǎn)研究這兩種擬合方法各自的特點(diǎn)，并論證二者在數(shù)學(xué)本質(zhì)上的統(tǒng)一性。

1 換流變壓器套管末屏鐵磁諧振的非線性方程

特高壓換流站換流變壓器套管末屏分壓器是監(jiān)測閥側(cè)繞組電壓的重要節(jié)點(diǎn)，其所采用的電容分壓原理與后續(xù)電壓采集單元構(gòu)成了典型的CVT結(jié)構(gòu)。為方便研究，可以采用戴維南定理將其等效轉(zhuǎn)化成如圖1所示的RLC串聯(lián)電路。

圖1 末屏分壓器的戴維南等效電路圖

該等效電路為一典型的串聯(lián)RLC電路，其回路電壓方程為

(1)

式中：E為等效電壓源電動(dòng)勢；i為回路中的電流；R為串聯(lián)電阻；C為等效電容；φ為鐵心主磁鏈。

將i=f(φ)代入末屏分壓器回路電磁方程中可得

(2)

取E=Emsin(ωt)，對式(2)兩邊求導(dǎo)可得

(3)

式(3)是二階非線性方程，且?guī)в泻泐l恒幅激勵(lì)項(xiàng)。結(jié)合實(shí)際勵(lì)磁曲線進(jìn)行擬合之后，可以方便地得到f(φ)中各多項(xiàng)式的系數(shù)。但即便如此，該方程也無法得到解析解。在不同的參數(shù)下，結(jié)果可能存在周期響應(yīng)、擬周期響應(yīng)甚至混沌響應(yīng)，且不同初始條件對解的形式影響很大。

2 勵(lì)磁曲線擬合方法的統(tǒng)一性證明

在考慮鐵心的飽和之后，其磁鏈和勵(lì)磁電流之間不再是簡單的線性關(guān)系，某特高壓換流站中換流變壓器套管末屏電壓采集器的勵(lì)磁曲線如圖2所示。

圖2 電壓采集器的勵(lì)磁曲線

不失一般性，定義電流和磁鏈之間的關(guān)系為

i=f(φ)

(4)

在不考慮磁滯、渦流的情況下，鐵磁材料的勵(lì)磁曲線i=f(φ)是一條過原點(diǎn)的單調(diào)遞增曲線，具有奇對稱的性質(zhì)，且滿足狄利克雷條件。在(0,0)點(diǎn)對其進(jìn)行泰勒展開：

(5)

式中，Rn(φ)為φn的高階無窮小。

由i=f(φ)的奇對稱特性可知，其泰勒展開的無窮級(jí)數(shù)中只有φ的奇次冪而沒有偶次冪，且f(0)=0，因此i=f(φ)的泰勒級(jí)數(shù)展開可以化簡為

(6)

因此，對于i=a1φ+a3φ3、i=a1φ+a5φ5、i=a1φ+a7φ7、i=a1φ+a3φ3+a5φ5等擬合方法，均是勵(lì)磁曲線i=f(φ)在某種程度上的截?cái)嗪徒?，其精度僅在某些范圍內(nèi)滿足工程要求。

正、余弦函數(shù)的麥克勞林級(jí)數(shù)為

(7)

(8)

式中，R2n(φ)為φn的高階無窮小。

則正切函數(shù)泰勒展開可以由式(9)計(jì)算：

(9)

采用多項(xiàng)式相除常見的“長除法”，對式(9)進(jìn)行化簡可得

(10)

式中，Bn為n次伯努利數(shù)，可以通過遞推公式進(jìn)行計(jì)算。

(11)

于是正切函數(shù)的泰勒展開可以表達(dá)為

(12)

由上面推導(dǎo)可見，tanφ函數(shù)其本身的泰勒展開即為無窮項(xiàng)奇次冪多項(xiàng)式的加權(quán)之和，用其對勵(lì)磁曲線進(jìn)行擬合在精度上必然要高于有限項(xiàng)奇次多項(xiàng)式的擬合結(jié)果，這是由正切函數(shù)本身的性質(zhì)所決定。

上述結(jié)果表明，勵(lì)磁特性曲線i=f(φ)為一滿足狄利克雷條件的單調(diào)遞增奇函數(shù)，因此可以展開為奇次冪多項(xiàng)式無窮級(jí)數(shù)的加權(quán)之和。各類文獻(xiàn)中關(guān)于i=f(φ)函數(shù)關(guān)系式的各種擬合方法具有內(nèi)在的統(tǒng)一性，均是奇次冪多項(xiàng)式的疊加；但采用正切函數(shù)進(jìn)行擬合時(shí)，由于其本身就是奇次冪多項(xiàng)式的無窮級(jí)數(shù)之和，因此擬合效果會(huì)明顯優(yōu)于有限項(xiàng)多項(xiàng)式的擬合效果。

3 總 結(jié)

特高壓換流站中由交直流系統(tǒng)間的耦合而引發(fā)的鐵磁諧振過電壓問題尚不多見：由于鐵磁材料的飽和特性所引進(jìn)的非線性特點(diǎn)，以至于無法得到解析解，在求取其數(shù)值解的時(shí)候，對勵(lì)磁曲線的近似擬合十分關(guān)鍵。

前面探討了常見的兩種擬合方法，并通過泰勒公式和伯努利函數(shù)等數(shù)學(xué)工具論證了兩種擬合方法在本質(zhì)上是一致的?？梢哉J(rèn)為，采用有限項(xiàng)多項(xiàng)式對勵(lì)磁曲線進(jìn)行擬合是采用正切函數(shù)進(jìn)行擬合的子集。從勵(lì)磁特性曲線本身的泰勒展開表達(dá)式上講，兩類方法具有高度的統(tǒng)一性。

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國家電網(wǎng)公司面向社會(huì)各界征集新技術(shù)

國家電網(wǎng)公司貫徹落實(shí)國家創(chuàng)新驅(qū)動(dòng)發(fā)展戰(zhàn)略，致力于推動(dòng)電力新技術(shù)在電網(wǎng)建設(shè)、生產(chǎn)、運(yùn)營中的推廣應(yīng)用工作?，F(xiàn)誠邀社會(huì)各界通過新技術(shù)征集平臺(tái)(國家電網(wǎng)公司電子商務(wù)平臺(tái)http://ecp.sgcc.com.cn)開展新技術(shù)申報(bào)工作。

Ferroresonance over-voltage caused by coupling of AC and DC system in ultra-high voltage (UHV) converter station is studied. Based on the excitation curve in voltage transformer unit, both characteristics of odd order polynomial fitting and tangent function fitting are analyzed and compared. Taylor′s formula and Bernoulli function are induced to prove the unity of both fitting methods, which provides a theoretical foundation for analytic solution and numerical solution.

ultra-high voltage; ferroresonance; Bernoulli function

TM713

A

1003-6954(2017)02-0001-03

2016-11-08)

葉有名(1972)，碩士，高級(jí)工程師，研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)自動(dòng)化、高壓直流輸電。

唐 明(1986)，博士、工程師，主要從事電力系統(tǒng)穩(wěn)定分析與控制的研究。