張功偉，張鈞波，張 敏

(1.南京理工大學(xué)能源與動力工程學(xué)院, 江蘇南京210094;2.南京師范大學(xué)泰州學(xué)院，江蘇泰州225300)

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核燃料棒溫度場和系統(tǒng)熵增分布計算與研究

張功偉1，張鈞波2，張 敏1

(1.南京理工大學(xué)能源與動力工程學(xué)院, 江蘇南京210094;2.南京師范大學(xué)泰州學(xué)院，江蘇泰州225300)

基于熱力學(xué)第二定律以及壓水核反應(yīng)堆燃料棒穩(wěn)態(tài)傳熱偏微分方程的一般形式，通過熵增的數(shù)值計算，討論分析燃料棒內(nèi)熱量的傳遞過程和方向，以及能量品質(zhì)的得失。先對典型二維矩形域傳熱問題進行數(shù)值計算，并采用解析解對該數(shù)值方法進行了驗證。然后對含有內(nèi)熱源的單根燃料棒進行傳熱計算，討論其溫度和熵增分布情況，通過熵增云圖分析可以展現(xiàn)燃料棒內(nèi)熱量的傳遞過程和品質(zhì)變化，為核反應(yīng)堆熱工設(shè)計提供有益參考。

壓水核反應(yīng)堆；燃料棒；熵增

保證核反應(yīng)堆安全運行一直是近代核科學(xué)研究的重要課題，而研究燃料棒的熱量傳遞過程是其中一項重要內(nèi)容。對于壓水核反應(yīng)堆燃料棒傳熱系統(tǒng)的計算分析，一般都是從熱力學(xué)第一定律的角度出發(fā)[2]，通過數(shù)值傳熱學(xué)求解燃料棒內(nèi)溫度場分布，或是應(yīng)用流體力學(xué)計算軟件對燃料組件內(nèi)通道進行三維數(shù)值模擬[3,4]，從而獲得燃料組件與外圍冷卻劑對流換熱的詳細狀況。然而對于燃料棒內(nèi)熱量傳遞的方向性，以及能量品質(zhì)得失的研究也十分必要的。

本文將從熱力學(xué)第二定律出發(fā)，通過計算系統(tǒng)熵增，重點討論燃料棒內(nèi)熱量傳遞過程的方向性。首先采用一個簡單的二維矩形域傳熱問題，對比分析求解出的數(shù)值解和解析解，并通過函數(shù)極小值求解，確定熱量的極值點，從而驗證該數(shù)值方法的正確性。最后以單根燃料棒為模型，計算在核反應(yīng)堆正常工況下燃料棒的熵增分布情況，進而可以從熱量傳遞和能量品質(zhì)變化的角度進行更加合理的熱工設(shè)計，即更加快速有效的導(dǎo)出燃料棒內(nèi)反應(yīng)熱，保證反應(yīng)堆的安全運行。

1 基本計算方程

在廣義正交曲線坐標系內(nèi)一般形式的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程為：

(1)

式中：qv為單位體積的內(nèi)熱源，k為材料的熱導(dǎo)率。系數(shù)a=a1a2a3，根據(jù)所選坐標系的不同，尺度系數(shù)a1、a2、a3既可以是常數(shù)，也可以是坐標的函數(shù)。

假設(shè)系統(tǒng)內(nèi)部的過程是可逆的，則熵增函數(shù)可以表示為：

(2)

式中：δq為熱傳遞過程中微元熱量。

2 二維矩形域算例

2.1 方程的求解

在直角坐標系內(nèi)，選取一長為a，寬為b的矩形為計算域，假設(shè)該矩形常物性、無內(nèi)熱源，根據(jù)公式(1)，其穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程可簡寫為：

(3)

其邊界條件定為：

T(x,y)=x+y+xy

(4)

數(shù)值計算求得系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)時的溫度Ta為：

(5)

(6)

系統(tǒng)總熵增為：

(7)

積分式(7)有如下兩種形式：

(8)

對式(8)分別進行一次、二次求導(dǎo)，可求得系統(tǒng)總熵增隨x和y的變化率：

(9)

2.2 系統(tǒng)熵增的計算與分析

取系統(tǒng)ρcp=1，初始溫度T0=2℃，并取矩形幾何尺寸為a=2 m，b=1 m。通過公式(5)可以得到該矩形域每個點的溫度值，獲得溫度場，同時通過式(6)和式(7)，運用數(shù)值方法積分得到矩形域熵增的分布情況。

如圖1矩形域溫度分布云圖所示，隨著坐標x和y的不同，每一點的溫度值不斷變化，溫度最低點出現(xiàn)在原點，然后隨著x和y的增大，最終在頂點(2 , 1)處達到最大值。

圖1 矩形域的溫度分布圖Fig.1 Temperature distribution of rectangular region

根據(jù)式(6)，系統(tǒng)局部熵增變化情況可從沿x截面和y截面兩個方向分析，如圖2所示。從圖中可以看到系統(tǒng)局部熵增從x=0截面到x=2截面的變化過程，從開始的TaT0，系統(tǒng)處于吸熱狀態(tài)，局部熵增沿y方向升高。同理，可以分析右圖局部熵增沿y截面的變化情況。

圖3為該矩形域總熵增的變化云圖。對比圖2，這里可以更清晰看出，在x=0及y=0截面處，TaT0，系統(tǒng)吸熱，總熵增隨著坐標逐漸升高。同時可以發(fā)現(xiàn)隨著系統(tǒng)總吸熱量不斷增加，逐漸大于起初的放熱量，最終系統(tǒng)總熵增是正值。

根據(jù)二元函數(shù)極值準則，可以求得系統(tǒng)熵增的極值點大約位于點(1.0 , 0.5)附近，此時總熵增值為-0.27。

3 燃料棒內(nèi)的熵增計算

前面通過一個簡單的傳熱問題，驗證了該方法的合理性和準確性，這里將對單根燃料棒內(nèi)的熵增問題進行分析。由于軸對稱性，一根為常物性圓柱形燃料棒的溫度場與角度無關(guān)，則根據(jù)公式(1)，其穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程可簡寫為公式(10)：

(10)

在核反應(yīng)堆正常運行工況下，燃料棒內(nèi)的熱源項通?？杀硎緸椋?/p>

(11)

建模時的坐標原點取燃料棒中心，其上下壁面為定溫邊界條件，在側(cè)面r=R燃料棒包殼處與外圍冷卻劑進行對流換熱，即模型的邊界條件可數(shù)學(xué)描述為：

圖2 系統(tǒng)分別沿x,y截面局部熵增Fig.2 The local entropy of system along the section x,y

圖3 系統(tǒng)沿xy平面的總熵增Fig.3 Total entropy of system along plane xy

(12)

式中：Tw(z)為r=R處的溫度，即Tw(z)=T(R,z)；Tf(z)為流體溫度，其線性化形式為：

(13)

從而可以求得此時燃料棒最終的穩(wěn)態(tài)溫度為，

(14)

同樣，這里假設(shè)燃料棒的初始溫度為T0，則在其達到穩(wěn)態(tài)時，系統(tǒng)的局部熵增可分成沿rφ和rz截面兩個方向，分別表示為式(15)和式(16)，總熵增為式(17)。

πρcpr2lnT0

(15)

(16)

πρcpr2zlnT0

(17)

這里選取單根燃料棒具有代表性的一段作為數(shù)值模型，其高度為L=30 mm，半徑R=5 mm，初始溫度T0=(T1+T2)/2=568 K，其他各項熱工參數(shù)如表1所示。

表1 燃料棒熱工參數(shù)

由于對稱性，取二分之一圓柱體燃料棒作為計算模型，圖4為其在rφ和rz截面的溫度場云圖，很容易看出燃料棒在這兩個平面的溫度場均以原點為中心向外環(huán)形擴散，越靠近外圍溫度值越低，在中心附近溫度值最高。因為其溫度分布規(guī)律與角度無關(guān)，所以這里在rφ截面的熵增分析也只考慮隨半徑的變化情況。

圖4 燃料棒rφ,rz平面的溫度分布示意圖Fig.4 Temperature distribution of plane rφ,rz

圖5 底面沿半徑方向的溫度及局部熵增曲線圖Fig.5 Temperature distribution and local entropy of underside along radius direction

圖6 不同高度沿徑向的溫度及局部熵增曲線圖Fig.6 Temperature distribution and local entropy of different height along radius direction

從圖7的云圖可以更清晰看出上述的變化趨勢，由下往上，在底面有Ta

圖7 燃料棒xz平面的局部熵增示意圖Fig.7 Local entropy of plane xz

4 結(jié)論

對于壓水核反應(yīng)堆燃料棒傳熱系統(tǒng)的計算分析，溫度場的求解固然十分重要，但熱傳遞過程中熵增的計算也具有極大意義和實用價值。本文基于熱力學(xué)第二定律，從溫度分布和熵增兩個角度分析壓水堆燃料棒正常運行工況下的傳熱過程，尤其在熱量傳遞的方向性上取得可信結(jié)果，從而可以對傳熱過程的優(yōu)劣程度進行可靠性評估，也可以從能量品質(zhì)變化的角度優(yōu)化反應(yīng)堆熱工設(shè)計，對于進一步提高反應(yīng)堆運行的安全性有一定參考價值。

[1] 陳文振,于雷,郝建立.核動力裝置熱工水力[M].北京:中國原子能出版社,2013.

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[3] 羅磊,陳文振,陳志云,等.單個燃料元件熱工水力三維數(shù)值模擬[J].海軍工程大學(xué)學(xué)報, 2011, 23(1): 63-66[4] 宋磊, 郭赟, 曾和義. 板狀燃料組件入口堵流事故下流場和溫度場的瞬態(tài)數(shù)值計算[J]. 核動力工程, 2014, 35(3):6-10

[5] Zhang, M. Modeling of Radiative Heat Transfer and Diffusion Processes Using Unstructured Grid [D]. Cookeville: Tennessee Technological University, 2000.

[6] Patankar, S. V. Numerical Heat Transfer and Fluid Flow [M]. New York: Hemisphere Publishing, 1981.

Study on the Distribution of Temperature and Entropy for a Reactor Fuel Rod

ZHANG Gong-wei1, ZHANG Jun-bo2, ZHANG Min1

(1.School of Power & Energy Engineering, Nanjing University of Science & Technology, Nanjing, Jiangsu Prov. 210094；2. Taizhou College, Nanjing Normal University, Taizhou, Jiangsu Prov.225300)

According to the second law of thermodynamics and steady partial differential equations for heat transfer in a fuel rod of pressurized water reactor, entropy production of the rod is numerically calculated to discuss the process and direction of heat transfer, as well as the gain and loss of energy in the fuel rod. A typical heat transfer case for 2D rectangle region is conducted firstly and the analysis solution is used to validate the accuracy and robustness of the code. Finally, a single fuel rod with an internal heat source is numerically studied. The distribution for temperature and entropy in the rod is discussed. The contour map of entropy distribution indicates that the numerical method is able to reveal the transfer and variation of heat transfer in the rod clearly. It is somewhat useful for thermal performance design of nuclear reactor.

Pressurized water reactor; Fuel rods; Entropy production

2016-12-29

張功偉(1991—)，男，江蘇人，碩士研究生，從事計算流體力學(xué)及計算傳熱學(xué)研究方向

TL331

A

0258-0918(2017)02-0333-07