杜燕飛, 肖 鵬, 曹 慧

(陜西科技大學(xué) 數(shù)學(xué)系, 陜西 西安 710021)

具有階段結(jié)構(gòu)的周期SEIR傳染病模型的動力學(xué)性態(tài)

杜燕飛, 肖 鵬, 曹 慧

(陜西科技大學(xué) 數(shù)學(xué)系, 陜西 西安 710021)

假設(shè)總?cè)丝诜譃橛啄旰统赡?個階段,且只有成年個體染病,建立一類具有階段結(jié)構(gòu)的周期SEIR傳染病模型,得到無病周期解全局穩(wěn)定性的條件;進一步討論模型的一致持續(xù)生存,并用數(shù)值模擬驗證所得到的結(jié)論.

周期傳染病模型； 階段結(jié)構(gòu)； 基本再生數(shù)； 穩(wěn)定性

近年來,通過傳染病模型研究傳染病動力學(xué)受到廣泛關(guān)注.在傳染病的研究過程中,人們發(fā)現(xiàn)很多疾病只在某個特定的年齡階段傳播,如麻疹、水痘等傳染病多發(fā)于幼年階段,而性病、傷寒、血吸蟲病、白喉等傳染病多傳播于成年階段[1-4].另一方面,人類的活動會受到季節(jié)和氣候影響,導(dǎo)致很多疾病的傳染和爆發(fā)也隨季節(jié)顯示出周期性波動[5-9].因此,在刻畫傳染病模型時,考慮具有階段結(jié)構(gòu)的并且具有周期系數(shù)的模型能更好地描述這類疾病的傳播特點,更具有現(xiàn)實意義.本文將建立一類具有階段結(jié)構(gòu)的周期SEIR傳染病模型,并研究其動力學(xué)性態(tài).

假設(shè)總?cè)丝诜譃橛啄辍⒊赡?個階段,且只有成年個體感染此病,構(gòu)建系統(tǒng)(1).

(1)

其中,用X(t)表示t時刻幼年個體的數(shù)量,并將成年個體分為4類:易感者S(t)、潛伏者E(t)、染病者I(t)和恢復(fù)者R(t).Λ(t)是人口增長率函數(shù),ω(t)為幼年個體到成年個體的轉(zhuǎn)化率,μ0(t)、μ(t)分別為幼年、成年的自然死亡率,ε(t)和α(t)分別表示潛伏者的發(fā)病率和染病者的治愈率,采用非線性發(fā)生率β(t)S2(t)I(t),并假設(shè)所有的參數(shù)函數(shù)均為正的ω周期函數(shù).

1 預(yù)備知識

首先考慮系統(tǒng)(1)的無病周期解的存在性.考察方程

將系統(tǒng)(1)中所有方程相加得

其中

引理 1 系統(tǒng)(1)具有初始條件X(0)>0,S(0)>0,E(0)>0,I(0)>0,R(0)>0的解(X(t),S(t),E(t),I(t),R(t))在[0,+∞)上存在且為有界的正解.

由于模型(1)中的前4個方程中不含R(t),且關(guān)于R(t)的方程是線性的,因此只須考慮前4個方程構(gòu)成的模型,即如下系統(tǒng)(3)的動力學(xué)性態(tài).

下面利用文獻[10]中積分算子譜半徑的方法來定義系統(tǒng)(3)的基本再生數(shù).首先驗證文獻[10]中的條件(A1)～(A7)成立.記x=(E,I,X,S)T,

(4)

容易看出系統(tǒng)(3)等價于如下系統(tǒng)

顯然ρ(ΦM(ω))<1,即無病周期解x*(t)=(0,0,X*(t),S*(t))為線性漸近穩(wěn)定的,于是,文獻[10]中的條件(A6)成立.令

記Y(t,s)是如下系統(tǒng)的一個2×2的矩陣解

其中I是2×2的單位矩陣.顯然文獻[10]中的條件(A7)也成立.

(5)

定義系統(tǒng)(3)的基本再生數(shù)為R0=ρ(L),其中ρ表示算子L的譜半徑.

2 主要結(jié)果

下面研究系統(tǒng)(3)的全局動力學(xué)性態(tài),結(jié)果表明基本再生數(shù)R0=1是區(qū)分疾病一致持續(xù)或消除的一個閥值.

定理 1 若R0<1,則無病周期解(X*(t),S*(t),0,0)是全局漸近穩(wěn)定的；若R0>1，它是不穩(wěn)定的.

現(xiàn)在考慮如下輔助系統(tǒng)

(6)

(7)

定理 2 如果R0>1,則存在ε>0,使得系統(tǒng)(3)具有初值(X(0),S(0),E(0),I(0))=(X0,S0,E0,I0)∈{(X,S,E,I)∈X:E>0,I>0}的任意解(X(t),S(t),E(t),I(t))滿足

容易證明

(8)

由于R0>1當(dāng)且僅當(dāng)ρ(ΦF-V(ω))>1,可選取充分小的η>0,使ρ(ΦF-V+ηM(ω))>1.并考慮系統(tǒng)(3)的擾動系統(tǒng)

下面證明Ws(M1)∩X0=?.由解對初值的連續(xù)依賴性,存在α*>0,使得當(dāng)‖(X0,S0,E0,I0)-M1‖≤α*時,有

斷言

否則,存在某個(X0,S0,E0,I0)∈X0,使得

不失一般性,假設(shè)對任意的m≥0,有

則由解對初值的連續(xù)性知,對t∈[0,ω],有

進一步計算可得

由不等式(10)可推出0≤E(t)≤α,0≤I(t)≤α,t≥0.于是

則?t≥T1有:

因為ρ(ΦF-V-ηM(ω))>1,由文獻[11]中的引理2.1和標準比較定理可得:

這與0≤E(t)≤α,0≤I(t)≤α矛盾.于是

因為在M?的每一條軌道都收斂于M1,且M1在M?中是非循環(huán)的.由一致持續(xù)的非循環(huán)定理知,P關(guān)于(X0,?X0)是一致持續(xù)的.又由于M1在X中是孤立的;因此,由文獻[12]中的定理3.1.1知,系統(tǒng)(3)關(guān)于(X0,?X0)是一致持續(xù)的.

3 比較

下面討論在周期SEIR模型中引入階段結(jié)構(gòu)對基本再生數(shù)的影響.考慮系統(tǒng)(3)當(dāng)接觸率β(t)=β[1+bcos(2πt)]為周期函數(shù),其他參數(shù)為正常數(shù)的情形.

利用文獻[7]中的近似估計方法,系統(tǒng)(11)的基本再生數(shù)

如果忽略階段結(jié)構(gòu),不分幼年和成年2個階段,那么系統(tǒng)(3)可化為

此時系統(tǒng)的基本再生數(shù)

比較系統(tǒng)(11)和(12)的基本再生數(shù),可以得出結(jié)論:當(dāng)研究成人病的傳染病模型時,如果忽略階段結(jié)構(gòu),將會高估基本再生數(shù);從而高估傳染病的傳播風(fēng)險.

4 數(shù)值模擬

下面，利用數(shù)值模擬來驗證所得的結(jié)論．對于模型(3),令參數(shù)Λ=0.09,ω=0.01,β(t)=2.1[1+0.6cos(2πt)],σ=0.18,μ=μ0=0.07,ε=0.5,α=0.24,則基本再生數(shù)R0=0.758<1.在圖1中,模擬了系統(tǒng)(3)具有初始條件X0=0.2,S0=0.2,E0=0.2,I0=0.2的解的漸近性態(tài),表明無病周期解是全局漸近穩(wěn)定的,傳染病將最終消除.

下面取Λ=0.5,其他參數(shù)同圖1,則基本再生數(shù)R0=2.937>1,圖2的模擬結(jié)果說明了系統(tǒng)的一致持續(xù)生存.

5 討論

本文將總?cè)丝诜譃橛啄旰统赡?個階段,且假設(shè)只有成年個體染病,建立并研究了一類具有階段結(jié)構(gòu)的周期SEIR傳染病模型,得到了模型無病周期解的穩(wěn)定性和系統(tǒng)持久性的結(jié)論,并通過數(shù)值模擬驗證了結(jié)論的正確性.證明了基本再生數(shù)是傳染病最終消除和一致持久生存的閥值條件,若R0<1,無病周期解是全局漸近穩(wěn)定的,即疾病將最終消除；若R0>1,疾病一致持續(xù)生存.

本文所研究的模型與文獻[8-9]中所討論的不具有階段結(jié)構(gòu)的周期傳染病模型相比,動力學(xué)性態(tài)大致相同.可以得出結(jié)論,在周期SEIR模型中引入階段結(jié)構(gòu)在某種程度上不會改變系統(tǒng)的動力學(xué)性態(tài);但另一方面,通過比較具有周期傳染率的傳染病模型與相應(yīng)的引入階段結(jié)構(gòu)的模型發(fā)現(xiàn),研究成人病時如果忽略階段結(jié)構(gòu),將會高估基本再生數(shù),從而高估傳染病的傳播風(fēng)險.

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2010 MSC:37N25

(編輯 余 毅)

Dynamic Behavior of a Periodic SEIR Epidemic Model with Stage-structure

DU Yanfei, XIAO Peng, CAO Hui

(DepartmentofMathematics,ShaanxiUniversityofScienceandTechnology,Xi’an710021,Shaanxi)

In this paper, we divide a population into two stages: immature stage and mature stage, and assume that disease transmission occurs only in mature individuals. Then we establish a periodc SEIR epidemic model with stage structure. We establish the global dynamics for disease-free periodic solution and discuss the uniform persistence of the system. Finally, the numerical simulations indicate the theoretical result is correct.

periodic epidemic model; stage-structured; the basic reproduction number; stability

2016-03-03

國家自然科學(xué)基金(11301314)和陜西省自然科學(xué)基金(2014JQ1025)

杜燕飛(1984—),女,講師,主要從事微分方程與生物數(shù)學(xué)的研究,E-mail:duyanfei@sust.edu.cn

O175

A

1001-8395(2017)01-0073-05

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.01.012