文/吳衛(wèi)通

數(shù)學(xué)中的習(xí)題變式教學(xué)
——從一道關(guān)于三角形內(nèi)接正方形習(xí)題談起

文/吳衛(wèi)通

數(shù)學(xué)教材中例題、習(xí)題是數(shù)學(xué)問題的精華，挖掘其內(nèi)在的學(xué)習(xí)線索,對(duì)這些題目進(jìn)行推廣與變式教學(xué),能積極培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維,達(dá)成多維目標(biāo)的過程?，F(xiàn)舉數(shù)學(xué)課本中一道習(xí)題為例來談?wù)勛兪浇虒W(xué)。

如下圖，△ABC是一塊銳角三角形余料,邊BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成正方形零件,使正方形一邊在BC上,其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上,這個(gè)正方形零件的邊長是多少?

在教學(xué)中，筆者將此題做如下變式教學(xué)：

圖一

圖二

變式1 如圖一，如果原題中要加工的零件是一個(gè)矩形，且此矩形是由三個(gè)并排放置的正方形組成，此時(shí)這個(gè)零件的兩條邊長分別是多是mm?

變式2 如圖一，如果原題中要加工的零件是一個(gè)矩形，且此矩形是由n個(gè)(并排放置的正方形組成，此時(shí)這個(gè)零件的兩條邊長分別是多是mm?(直接用含n的代數(shù)式表示)

生1：上述變式1、2兩題根據(jù)相似三角形性質(zhì)即可完成。

變式3 如圖二，如果原題中要加工的零件是只一個(gè)矩形，求此時(shí)這個(gè)矩形零件面積的最大值是多少mm？

生2：設(shè)矩形寬PQ=xmm,面積為ymm2,由相似性質(zhì)求得PN= ，得y= ，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求得最大值。

圖三

圖四

變式4 如圖三，有一塊三角形余料，∠C=90°，AC=8cm,BC=6cm。要在這塊余料中剪出一個(gè)盡可能大的正方形，有甲乙兩種剪法，比較兩種剪法，哪種剪法所得的正方形面積大，請(qǐng)說明理由。

生3：甲乙兩種剪法都可根據(jù)相似三角形性質(zhì)求得。

變式5 如圖四，圖三中甲種剪法稱為第一次剪取，記所得的正方形面積為s1；按照甲種剪法，在余下的△ADF與△BED中，再剪出兩個(gè)正方形，稱為第二次剪取，并記這兩個(gè)正方形面積和為s2,則s2=。

生4：根據(jù)相似三角形性質(zhì)求得。

變式6 師：對(duì)任意一個(gè)三角形，其內(nèi)接正方形共有幾個(gè)呢？

生5：要根據(jù)三角形形狀分類討論。

生6：當(dāng)三角形為銳角三角形時(shí)，有3個(gè)內(nèi)接正方形；當(dāng)三角形為直角角三角形時(shí)，有2個(gè)內(nèi)接正方形；當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)，有1個(gè)內(nèi)接正方形。

師：再把有關(guān)”內(nèi)接正方形問題“與函數(shù)等知識(shí)相結(jié)合，達(dá)到延伸拓展目的。

變式7 在平面直角坐標(biāo)系中，將n個(gè)邊長為1的正方形并排組成矩形OABC，相鄰兩邊OA、OC分別在x軸和y軸正半軸上，設(shè)拋物線y=ax2+bx+c(a<0)過矩形頂點(diǎn)B、C。

（1）當(dāng)n=1,如果a=-1,求b的值；

（2）當(dāng)n=2,在矩形OABC上方作一個(gè)邊長為1的正方形EFMN，使EF在線段BC上，如果M、N兩點(diǎn)也在拋物線上，求出此時(shí)拋物線的解析式；

（3）將矩形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落到x軸正半軸上，如果該拋物線同時(shí)經(jīng)過原點(diǎn)O。

當(dāng)n=3時(shí)a的值；

②直接寫出a關(guān)于n的關(guān)系式。

生7：當(dāng)n=1時(shí)，可知拋物線對(duì)稱軸為直線x=，求得b=1;

生8：當(dāng)n=2時(shí)，把B(2,1),M(C(0,1)帶入函數(shù)解析式即可求得；

生9：當(dāng)n=3時(shí)，結(jié)合相似三角形來解決第（3）題。

總之，教師在教學(xué)中要善于“借題發(fā)揮”，進(jìn)行一題多變，引導(dǎo)學(xué)生去探索數(shù)學(xué)問題的規(guī)律性和方法，達(dá)到“做一題，通一類，會(huì)一片”的教學(xué)效果，讓學(xué)生走出題海戰(zhàn)術(shù)，真正做到輕負(fù)高質(zhì)。

（作者單位：浙江省金華市第十四中學(xué)）