閆景富, 鄒慶言, 劉得軍

(中國(guó)石油大學(xué)(北京), 北京 102249)

0 引 言

連接井下測(cè)井儀器和地面設(shè)備的不同類(lèi)型、不同長(zhǎng)度、不同廠商生產(chǎn)的測(cè)井電纜對(duì)信號(hào)的衰減特性不盡相同,甚至差別很大。對(duì)于電纜兩端的硬件設(shè)備設(shè)計(jì)必須考慮所使用的測(cè)井電纜對(duì)系統(tǒng)數(shù)據(jù)傳輸性能的影響。常用的5 000、7 000 m測(cè)井電纜體積龐大,價(jià)格昂貴,一般研發(fā)單位在測(cè)井儀器設(shè)計(jì)完成后沒(méi)有條件直接在實(shí)際電纜上對(duì)儀器性能進(jìn)行測(cè)試,通常的做法是事先設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)據(jù)傳輸性能與實(shí)際電纜特性比較接近的電纜模擬器,借助該模擬器進(jìn)行室內(nèi)實(shí)驗(yàn),效果良好后再做進(jìn)一步現(xiàn)場(chǎng)實(shí)驗(yàn)。電纜模擬器與實(shí)際電纜傳輸特性吻合程度的好壞直接影響設(shè)備整體的調(diào)試和實(shí)驗(yàn)進(jìn)度。設(shè)計(jì)電纜模擬器首先需要掌握實(shí)際電纜的參數(shù)或傳輸特性,常見(jiàn)的方法有理論計(jì)算法和測(cè)試法[1]。多數(shù)情況下,受環(huán)境、材料和生產(chǎn)工藝等因素的限制,采用理論計(jì)算法得到的參數(shù)與實(shí)際電纜參數(shù)相差較遠(yuǎn)。本文采用掃頻測(cè)試法,以電纜在各離散頻率點(diǎn)處實(shí)測(cè)的衰減值為擬合目標(biāo),通過(guò)傳遞函數(shù)非線性擬合方法為電纜建立電路模型。

1 傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)分布對(duì)幅頻特性的影響

設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)H(s)的表達(dá)式為

(1)

將式(1)寫(xiě)為零、極點(diǎn)形式,取s=jω,在復(fù)平面中s沿虛軸移動(dòng),得到

(2)

式(2)分母中任一因子(jw-pi)相當(dāng)于由極點(diǎn)pi引向虛軸某點(diǎn)jw的矢量;分子中任一因子(jw-zj)相當(dāng)于由零點(diǎn)zj引向虛軸上某點(diǎn)jw的矢量。用矢量模和矢量角的形式表示后,H(jw)可以寫(xiě)為

|H(jw)|ejφ(w)

(3)

當(dāng)ω沿虛軸移動(dòng),各復(fù)數(shù)因子(矢量)的模和輻角均隨之改變,從而可得到傳遞函數(shù)的幅頻特性曲線及相頻特性曲線[2]。

2 測(cè)井電纜傳遞函數(shù)的求解

2.1 原始數(shù)據(jù)的預(yù)處理

以七芯測(cè)井電纜纜芯7和外鎧作為信號(hào)傳輸線(即T7模式),通過(guò)對(duì)某7 000 m電纜一端施加掃頻信號(hào)、在另一端測(cè)量信號(hào)幅度的方法發(fā)現(xiàn)其衰減特性總體上呈現(xiàn)出隨信號(hào)頻率增大而衰減加劇的規(guī)律。頻率低于30 kHz時(shí)幅度衰減特性變化比較劇烈,且出現(xiàn)上下波動(dòng)起伏的現(xiàn)象;頻率高于30 kHz以后總體呈現(xiàn)單調(diào)下降的趨勢(shì);頻率大于300 kHz時(shí)幅度衰減達(dá)60 dB以上,不太可能作為信號(hào)傳輸?shù)挠行ьl段。為了更準(zhǔn)確、精細(xì)地表示在較低頻段時(shí)電纜衰減特性的變化規(guī)律,實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)在低頻段測(cè)量點(diǎn)比較密集,較高頻段測(cè)量點(diǎn)較稀疏。

為滿足擬合迭代運(yùn)算的需要,兼顧擬合準(zhǔn)確度,需要對(duì)原始非均勻測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行等間隔采樣或做插值。以1 kHz為起點(diǎn),4 kHz為頻率間隔對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理。處理后電纜衰減特性見(jiàn)圖1中折線所示。該折線是由原始測(cè)量數(shù)據(jù)抽樣或插值后的數(shù)據(jù)點(diǎn)連接而成。圖1中預(yù)處理后的數(shù)據(jù)仍然可以準(zhǔn)確反映原始數(shù)據(jù)的變化特點(diǎn)。之后的擬合運(yùn)算均基于預(yù)處理后的數(shù)據(jù)進(jìn)行。

圖1 預(yù)處理后數(shù)據(jù)與原始測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)比

2.2 擬合方法介紹及其擬合效果

(4)

(1) 在MATLAB中新建一個(gè)function,把傳遞函數(shù)的模型寫(xiě)到function中,具體程序?yàn)?/p>

function f=myfun(a,x)

f=(a(1).*x.^4+a(2).*x.^3+a(3).*x.^2+a(4).*x+a(5))./(a(6).*x.^5+a(7).*x.^4+a(8).*x.^3+a(9).*x.^2+a(10).*x+a(11));

end

(2) 利用NLINFIT函數(shù)進(jìn)行擬合,程序?yàn)?/p>

a0=[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1];

for i=1:200

a=nlinfit(x,y,@myfun,a0);

a0=a;

end

圖2為擬合后傳遞函數(shù)的幅頻特性曲線與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的對(duì)比關(guān)系。圖2中兩者的吻合程度較好。為了定量表示擬合結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)之間的差異,引入SSE(和方差或者誤差的平方和)指標(biāo)對(duì)擬合效果進(jìn)行評(píng)價(jià)。SSE的定義為

(5)

圖2 擬合函數(shù)的幅頻特性與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比

通過(guò)計(jì)算,得到設(shè)計(jì)中SSE值為0.002。表明對(duì)預(yù)處理后的數(shù)據(jù)采用NLINFIT函數(shù)進(jìn)行擬合起到了很好的擬合效果。進(jìn)一步觀察發(fā)現(xiàn),即使與最初未經(jīng)等間隔采樣的測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)照,其吻合程度也較好。至此,得到所對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)表達(dá)式為

(6)

傳遞函數(shù)中分母多項(xiàng)式的系數(shù)存在負(fù)數(shù),即有極點(diǎn)位于s域右半平面,表明該系統(tǒng)是非穩(wěn)定系統(tǒng),物理無(wú)法實(shí)現(xiàn),需要將式(6)右半平面的極點(diǎn)對(duì)稱到虛軸左半平面,根據(jù)零、極點(diǎn)分布與系統(tǒng)頻率特性的關(guān)系,可知此時(shí)系統(tǒng)的幅頻特性不會(huì)受到影響。經(jīng)過(guò)計(jì)算可得最終系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

(7)

3 測(cè)井電纜電路模型設(shè)計(jì)

為了通過(guò)傳遞函數(shù)得到相應(yīng)的電路模型,將式(7)分解為部分分式展開(kāi)和的形式

(8)

式(8)最后一項(xiàng)的系數(shù)和前幾項(xiàng)相比很小,在設(shè)計(jì)模擬電路時(shí)可以忽略,只需考慮H(s)前3項(xiàng)。其中,第1項(xiàng)為二階系統(tǒng),第2項(xiàng)和第3項(xiàng)為一階系統(tǒng)。一階、二階傳遞函數(shù)分別可由一階、二階電路實(shí)現(xiàn)。圖3為常用的電路模型。

圖3 一階、二階系統(tǒng)電路模型

圖3(a)一階電路模型的傳遞函數(shù)表示為

(9)

圖3(b)二階電路模型的傳遞函數(shù)表示為

(10)

(11)

對(duì)比式(9)、(10)、(11)與式(8)中各求和項(xiàng)的表達(dá)形式,可以發(fā)現(xiàn)只要選擇合適的R、L、C參數(shù)值,便可找到式(8)中各項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的模型電路。除使用R、L、C這些無(wú)源器件外,設(shè)計(jì)中采用了運(yùn)算放大器,不僅起到了隔離作用,避免了各級(jí)電路之間的相互影響,也便于實(shí)現(xiàn)信號(hào)的加減運(yùn)算。從電路模型的建立過(guò)程可以看出,各模型中R、L、C的取值并非唯一,只要取值合理并能滿足傳遞函數(shù)表達(dá)式即可。

設(shè)計(jì)經(jīng)過(guò)求解、仿真,最終得到式(8)所對(duì)應(yīng)的電路模型(見(jiàn)圖4)。圖5為圖4電路的幅頻特性的仿真結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的對(duì)比圖,其中‘*’表示所設(shè)計(jì)電路的幅度衰減特性,折線代表由實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)預(yù)處理后形成的幅頻特性曲線。從圖5對(duì)比中發(fā)現(xiàn),低頻段電纜衰減特性時(shí)有起伏,電路模型的幅頻特性與原數(shù)據(jù)存在個(gè)別偏離的現(xiàn)象;在較高頻段,測(cè)井電纜本身衰減特性比較平滑,擬合效果非常好,整體可以滿足設(shè)計(jì)需求。

圖4 式(9)對(duì)應(yīng)的電路模型

圖5 圖(4)電路的幅頻特性與原始數(shù)據(jù)對(duì)比

4 結(jié) 論

(1) 通過(guò)對(duì)測(cè)井電纜實(shí)施掃頻測(cè)量所得的幅頻特性離散數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,利用MATLAB自帶的非線性最小二乘擬合函數(shù)找到與測(cè)井電纜衰減特性相近的系統(tǒng)傳遞函數(shù),為其建立電路模型。

(2) 這種從測(cè)試到擬合再到設(shè)計(jì)的建模方法,可以使所建立的電路模型的幅頻特性與實(shí)際電纜的特性非常接近,比通過(guò)采用測(cè)量設(shè)備直接對(duì)電纜參數(shù)進(jìn)行測(cè)量的方法要準(zhǔn)確很多。

(3) 設(shè)計(jì)中僅是在模式7特定連接方式下對(duì)測(cè)井電纜幅頻特性的建模,并未考慮其相頻特性。若要建立完整的符合七芯測(cè)井電纜頻率特性的電路模型,需要對(duì)擬合算法、傳遞函數(shù)的階數(shù)、參數(shù)初值的選取甚至電路的結(jié)構(gòu)等做更全面、復(fù)雜的考慮。

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