魏炎炎,周海攀

Liu混沌系統(tǒng)的參數(shù)識(shí)別自適應(yīng)同步

魏炎炎,周海攀

（云南經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院,云南昆明650304）

以Liu系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象為例,畫(huà)出一個(gè)混沌吸引子相圖,討論Liu混沌系統(tǒng)自同步的問(wèn)題.研究Liu混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)同步和響應(yīng)系統(tǒng)參數(shù)識(shí)別,利用參數(shù)識(shí)別自適應(yīng)控制技術(shù),設(shè)計(jì)非線性控制器,找出參數(shù)自適應(yīng)律、控制器系數(shù)的范圍,同時(shí)提出了控制增益.借助Lyapunov穩(wěn)定性理論及LaSalle不變集原理,給出了響應(yīng)系統(tǒng)參數(shù)識(shí)別的充分條件,并通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證了所給方法的真實(shí)有效性.

混沌系統(tǒng)；混沌同步；參數(shù)識(shí)別；非線性控制器；自適應(yīng)同步

混沌同步的研究范圍涉及保密通信、電子線路、信息科學(xué)等領(lǐng)域.20世紀(jì)末,Mainieri和Rehacek發(fā)現(xiàn)一種新的混沌系統(tǒng)同步現(xiàn)象,即投影同步[1],驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)及響應(yīng)系統(tǒng)的對(duì)應(yīng)變量按照固定的比例關(guān)系進(jìn)行演化,這是一類(lèi)特殊廣義的同步現(xiàn)象,這種廣義同步形式迅速成為研究混沌同步的焦點(diǎn)[2-6].目前,關(guān)于參數(shù)識(shí)別的混沌同步的研究主要聚集在驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中參數(shù)的識(shí)別,響應(yīng)系統(tǒng)中的參數(shù)識(shí)別的研究相對(duì)較少.

1 系統(tǒng)的提出

Liu混沌系統(tǒng)是一個(gè)連續(xù)的三維的自治系統(tǒng),數(shù)學(xué)模型表示如下

式（1）中：x、y、z是狀態(tài)變量,a、b、c、k、h為系統(tǒng)的參數(shù),當(dāng)a=10,b=40,c=2.5,h=4,k=1時(shí),Liu系統(tǒng)處于混沌的狀態(tài),若選取初始值（x,y,z）=（1,2,3）,系統(tǒng)出現(xiàn)一個(gè)吸引子,如圖1、圖2所示.

圖1 x-y投影Fig.1 Plane projection

圖2 x-y-z相圖Fig.2 Chaotic attractor

2 Liu混沌系統(tǒng)的參數(shù)識(shí)別自適應(yīng)同步

2.1 問(wèn)題描述

現(xiàn)考慮驅(qū)動(dòng)和響應(yīng)系統(tǒng)

2.2 Liu混沌系統(tǒng)同步

現(xiàn)考慮驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（3）和響應(yīng)系統(tǒng)（4）

式（3）、式（4）中,a、b、c、h、k為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)已知參數(shù),a1、b1、c1、h1、k1為響應(yīng)系統(tǒng)未知參數(shù),由誤差e= y?λ x（λ為非零常數(shù)）,可以得出誤差系統(tǒng)方程

若采取下列控制器

式（6）中：q＞0為控制增益,l為控制器系數(shù).

可知,參數(shù)自適應(yīng)律為

式（7）中：pa、 pb、 pc、 ph、 pk是對(duì)參數(shù)a1、 b1、 c1、 h1、 k1的估計(jì)值.

定理若,在控制器（5）及參數(shù)自適應(yīng)律（7）下,則驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（3）及響應(yīng)系統(tǒng)（4）實(shí)現(xiàn)廣義同步,即對(duì)任意初值,未知參數(shù)并且能夠被識(shí)別,即

證明：控制器（6）代入誤差方程（5）得

考慮Lyapunov函數(shù)

對(duì)（9）式求導(dǎo)得

ei→0( i=1,2,3),得到了系統(tǒng)（3）和系統(tǒng)（4）實(shí)現(xiàn)廣義同步,同時(shí)pa→ a1, pb→ b1,pc→ c1, ph→ h1, pk→ p1,從而未知參數(shù)a1, b1, c1, h1, k1被識(shí)別.證畢.

3 數(shù)值仿真

根據(jù)上述理論分析,通過(guò)MATLAB軟件進(jìn)行模擬,采用4階龍格—庫(kù)塔方法進(jìn)行計(jì)算,對(duì)驅(qū)動(dòng)和響應(yīng)系統(tǒng)進(jìn)行仿真,現(xiàn)選取原系統(tǒng)參數(shù)a=10, b=40, c=2.5, h=4, k =1,響應(yīng)系統(tǒng)未知參數(shù)隨意選取一組數(shù)值a1=9.5, b1=40.2, c1=2.3, h1=4.2, k1=1.2,其估計(jì)值初始分別取pa(0)=8.5, pb(0)=37, pc(0)=0.1, ph(0)=2.5,pk(0)=-1,取q=10,任選取驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)及響應(yīng)系統(tǒng)的初始值分別為x(0)=[1,2,3]T, y(0)=[8,20,10]T,取控制器的系數(shù)l=70,取λ=1,其誤差e1、 e2、 e3如圖3,未知參數(shù)a1、 b1、 c1、 h1、 k1識(shí)別如圖4.

圖3 誤差e1、e2、e3Fig.3 Error e1、e2、e3

圖4 a1、b1、c1、h1、k1估計(jì)值Fig.4 Estimated value of a1,b1,c1,h1,k1

由圖3、圖4可知,在控制器（6）及參數(shù)自適應(yīng)律（7）下,則驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（3）及響應(yīng)系統(tǒng)（4）實(shí)現(xiàn)廣義同步,且能夠被識(shí)別未知參數(shù).

4 小結(jié)

本文主要基于Liu混沌系統(tǒng),通過(guò)參數(shù)識(shí)別自適應(yīng)控制技術(shù),使原本不匹配的兩個(gè)參數(shù)在全局范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)廣義同步.本文給出的參數(shù)自適應(yīng)律和控制器簡(jiǎn)單有效,且收斂的速度較快,在實(shí)際應(yīng)用中具有很好的參考及應(yīng)用價(jià)值.

[1]MAINIERIR,REHACEK J.Projective synchronization in three-dimensional chaotic systems[J].Phys.Rev.Lett.,1999,82（15）：3042-3045.

[2]劉秉正,彭建華.非線性動(dòng)力學(xué)[M].北京：高等教育出版,2004：44-46.

[3]陳彥飛.混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)同步與參數(shù)識(shí)別[D].桂林：桂林理工大學(xué),2013：19-24.

[4]魏炎炎.超Rabinovich系統(tǒng)混沌現(xiàn)象及混沌同步的研究[D].西安：西安建筑科技大學(xué),2012：38-42.

[5]潘光,魏靜.一種分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)同步的自適應(yīng)滑?？刂破髟O(shè)計(jì)[J].物理學(xué)報(bào),2015（4）：505-510.

[6]LASALLE J P.The extent of asymptotic stability[J].Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America,1960,46：363-365.

（責(zé)任編輯：盧奇）

Parameter identification adaptive synchronization of Liu chaotic system

WEIYanyan,ZHOU Haipan
（Yunnan College of Business Management,Kunming 650304,China）

A chaotic phenomena of the Liu system is studied,and a chaotic attractor of the system is draw.Then, adaptive synchronization of Liu chaotic system is discussed.And adaptive synchronization and parameter identification of response system problems of a class of Liu chaotic system are studied.Parameter identification adaptive control technology is used.The nonlinear controller is designed,the parameter adaptive law and the scope of the controller coefficient are foud out.And the control is given by Lyapunov stability theory and principles of LaSalle invariant set.So the sufficient condition of the parameter identification of response system is given.The method given in this paper is real validity by numerical simulation.

chaotic systems；chaotic synchronization；parameters identification；nonlinear controller；adaptive synchronization

O415.5

A

1008-7516（2017）02-0054-04

10.3969/j.issn.1008-7516.2017.02.012

2016-11-12

魏炎炎（1984―）,女,湖北隨州人,碩士,講師.主要從事非線性動(dòng)力學(xué)方向研究.