定積分的幾類(lèi)應(yīng)用

■江西省井岡山中學(xué) 賀 敬

定積分的應(yīng)用是我們學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容,那么定積分究竟有哪些應(yīng)用呢?下面我們進(jìn)行歸納總結(jié)。

一、解決面積的求法

分析：可先畫(huà)出圖形,找出范圍,用積分表示,再求積分值。

圖1

點(diǎn)評(píng)：求平面圖形的面積,首先要畫(huà)出平面圖形,然后根據(jù)圖形的特點(diǎn),選擇相應(yīng)的積分變量以確定積分區(qū)間,寫(xiě)出面積的積分表達(dá)式,再進(jìn)行求解。

二、解決路程問(wèn)題

一質(zhì)點(diǎn)在直線上從時(shí)刻t=0(s)開(kāi)始以速度v=t2-4t+3(m/s)運(yùn)動(dòng),求：

(1)在t=4s的位移;

(2)在t=4s運(yùn)動(dòng)的路程。

分析：將區(qū)間[0,4]等分成n個(gè)小區(qū)間,在每個(gè)小區(qū)間[x,x+Δ x]上,當(dāng)Δ x非常小時(shí),可以近似看成勻速直線運(yùn)動(dòng),當(dāng)n無(wú)限大時(shí),在t=4s位置就是v(t)在[0,4]上的定積分,而路程就是位移的絕對(duì)值之和。

解：(1)在時(shí)刻t=4s時(shí),該點(diǎn)的位移為：

(2)v(t)=t2-4t+3=(t-1)(t-3),故在區(qū)間[0,1]及[3,4]上v(t)≥0,在區(qū)間[1, 3]上,v(t)≤0。

所以在t=4s時(shí)的路程為：

點(diǎn)評(píng)：由積分思想可知,做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過(guò)的位移,等于其速度函數(shù)v= v(t)在時(shí)間區(qū)間[a,b]上的定積分,而路程是位移的絕對(duì)值之和,故求路程要判斷速度的符號(hào)。

三、解決變力做功問(wèn)題

直徑為2 0c m,高為8 0c m的圓柱體內(nèi)充滿壓強(qiáng)為1 0N/c m2的蒸氣,設(shè)溫度保持不變,要使蒸氣的體積縮小為原來(lái)的一半,則需要做的功是_____。

圖2

分析：對(duì)變力F進(jìn)行定積分,即可得變力所做的功。

解：設(shè)上端為活塞,且如圖2所示取定x軸。另設(shè)底面面積為S,活塞壓縮至x位置時(shí)氣體的體積為V(x),壓強(qiáng)為P(x),由于P V=k(其中k為常數(shù)),則：

故所做的功為：

點(diǎn)評(píng)：求變力做功問(wèn)題,一般利用定積分加以解決,要注意尋找積分變量與積分區(qū)間。

(責(zé)任編輯 徐利杰)