梁明杰，鄭巧玲，潘榮彬，旦巴多吉，許佳淮

(三明學(xué)院 信息工程學(xué)院，福建 三明365004)

類神經(jīng)傳導(dǎo)的布朗直線模型

梁明杰，鄭巧玲，潘榮彬，旦巴多吉，許佳淮

(三明學(xué)院 信息工程學(xué)院，福建 三明365004)

基于神經(jīng)傳導(dǎo)原理構(gòu)造了一類稱為布朗直線的隨機直線模型。借助布朗運動的相關(guān)性質(zhì)該模型有效地刻畫了神經(jīng)傳導(dǎo)路徑的多重性與不確定性。進(jìn)一步地，討論了該模型的幾何特征并給出了相應(yīng)的概率估計。

神經(jīng)傳導(dǎo)；布朗直線模型；幾何特征；概率估計

布朗運動最早是由英國生物學(xué)家Brown在1827年提出的。Wiener、Einstein、Levy等人進(jìn)一步對布朗運動的軌道性質(zhì)的研究[1]。隨著布朗運動的逐步發(fā)展，又可應(yīng)用到數(shù)學(xué)分析和概率論的領(lǐng)域中，逐漸成為不可或缺的重要理論基礎(chǔ)。對布朗運動的研究至今仍在繼續(xù)，研究成果十分豐富[2-5]。

神經(jīng)末梢分布在各種器官和組織中，影響著人們的感觀和運動,這些感觀和運動都是靠神經(jīng)傳導(dǎo)的。該傳導(dǎo)過程是電化學(xué)的過程，是在神經(jīng)纖維上順序發(fā)生的電化學(xué)變化[6]。在細(xì)胞膜上任何一點產(chǎn)生的動作電位會不衰減地傳播到整個細(xì)胞膜上，這稱之為動作電位的傳導(dǎo)。如果是發(fā)生在神經(jīng)纖維上，傳導(dǎo)的動作電位又稱為神經(jīng)沖動。以神經(jīng)元為例，動作電位沿軸突的傳導(dǎo)是通過跨膜的局部電流實動作電位在神經(jīng)纖維上的傳導(dǎo)實現(xiàn)的。學(xué)者們在研究中發(fā)現(xiàn)，神經(jīng)系統(tǒng)神經(jīng)元的分布都具有明顯的分形特征。事實上，布朗運動的樣本軌道是由大量無規(guī)則可循的折線組成，是一種處處連續(xù)但處處不可微的曲線，是一種具有自相似分形特性的無規(guī)則曲線。本文根據(jù)神經(jīng)傳導(dǎo)原理構(gòu)造了一類布朗直線模型。針對于布朗直線模型，我們借助布朗運動的相關(guān)性質(zhì)有效地刻畫了神經(jīng)傳導(dǎo)路徑的多重性與不確定性，進(jìn)一步地，討論了該模型的幾何特征并給出了相應(yīng)的概率估計。

1 布朗直線的構(gòu)造

人體的神經(jīng)傳導(dǎo)系統(tǒng)是一個及其復(fù)雜的流路分支系統(tǒng)[7]，其結(jié)構(gòu)與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)有許多相似之處，著名的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法就是基于神經(jīng)傳導(dǎo)系統(tǒng)的相關(guān)原理而構(gòu)建的。神經(jīng)傳導(dǎo)的路徑載體神經(jīng)纖維具有繁雜的神經(jīng)末梢分支，對于神經(jīng)傳導(dǎo)系統(tǒng)而言，當(dāng)人體接受外界刺激時，要把刺激信息傳遞給大腦或中樞神經(jīng)系統(tǒng)就必須通過神經(jīng)纖維作為路徑載體，根據(jù)神經(jīng)纖維的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，刺激信息的傳導(dǎo)路徑可看成是并串聯(lián)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)電路系統(tǒng)[8]，由于傳導(dǎo)過程路徑的長短不一且能量會隨之發(fā)生損耗，故人體感應(yīng)外界刺激有快慢之分，也有強弱之分[9]。基于上述有關(guān)神經(jīng)傳導(dǎo)的復(fù)雜原理，因此建立了如圖1的布朗直線模型，該模型較直觀的描述了神經(jīng)傳導(dǎo)快慢強弱的特性，且有效地刻畫了神經(jīng)傳導(dǎo)路徑的多重性與不確定性。

圖 1布朗直線模型

如圖1所示，稱由A(B1(t),a)，B(B2(t),b)兩點所確定的隨機直線為布朗直線，其中B1(t)與B2(t)為相互獨立的一維標(biāo)準(zhǔn)布朗運動。事實上，可以將A、B看作神經(jīng)的前、末端，由于兩端間有很多分支，根據(jù)其傳導(dǎo)路徑的多重性和不確定性，可簡化成上述布朗直線模型。

記過A、B兩點的布朗直線為lAB(t)，則其方程過程描述如下：

當(dāng)B1(t)≠B2(t)時，

當(dāng)B1(t)=B2(t)時，

顯然對于任意t＞0，有

從而只考慮B1(t)≠B2(t)的平凡情形。設(shè)d（t）為坐標(biāo)原點（0,0）在t時刻到布朗直線的距離lAB(t)，即有

2 布朗直線的幾何特征及其概率估計

為便于討論，先給出一個重要引理。

下面的命題給出了布朗直線夾在A與B兩點間直線段的隨機長度在某一時刻的概率分布。

命題1 對任意t＞0，a＞b，有

當(dāng)L＞a-b時，有

由于B1(t)與B2(t)相互獨立且Bi(t)～N（0，t），i=1,2，故有B1(t)-B2(t)～N（0，2t），從而有

綜上（1）～（3）式，有

下面的命題給出了布朗直線夾在A與B兩點間直線段的隨機長度在某一時間段的概率估計。

命題2 對任意L＞a-b＞0，t＞0，有

證明 一方面，有

根據(jù)引理1（2），有

和

又根據(jù)引理1（1），有

綜上（4）～（8）式，有

另一方面，根據(jù)命題1有

命題3 對任意l＞0，t＞0，有

證明 根據(jù)d（t）的定義，有

利用B1(t)與B2(t)的獨立性，有bB1(t)-aB2(t)～N（0，（a2+b2）t）從而有

綜上（9），（10）式命題得證。

命題4 對任意l＞0，t＞0，有

證明 根據(jù)的定義，有

根據(jù)引理1（2），有

又根據(jù)引理1（1），有

綜上（11）～（15）式命題得證。

3 結(jié)束語

雖然本文所構(gòu)造的布朗直線模型能較合理的描述與刻畫神經(jīng)傳導(dǎo)的相關(guān)特征，但該模型的建立是在一定的優(yōu)化假設(shè)基礎(chǔ)上的，要真實地完全刻畫現(xiàn)實中復(fù)雜的神經(jīng)傳導(dǎo)問題還有待對模型作進(jìn)一步修正與改進(jìn)。

［1］錢敏平，龔光魯．隨機過程論［M］．北京：北京大學(xué)出版社，2000．

［2］王梓坤．布朗運動首中與末離的聯(lián)合分布［J］．科學(xué)通報，1994，39（13）：1168－1173．

［3］郝柏林．布朗運動理論一百年［J］．物理，2011，40（1）：1－7．

［4］孫榮恒．隨機過程及其應(yīng)用［M］．北京：清華大學(xué)出版社，2003．

［5］KARATZAS I，SHREVE S．Brownain motion and stochastic calculus［M］．Berlin：Spriger Verlag World Publishing Crop，1988．

［6］袁運開，顧明遠(yuǎn)．科學(xué)技術(shù)社會詞典：生物［M］．杭州：浙江教育出版社，1992．

［7］元小冬．輕松學(xué)習(xí)肌電圖：神經(jīng)傳導(dǎo)功能與肌電圖檢查指南［M］．北京：北京大學(xué)醫(yī)學(xué)出版社，2007．

［8］張榮華．神經(jīng)信息傳導(dǎo)的電路模型［D］．天津：天津大學(xué)，2010．

［9］趙曙光，秦明新．神經(jīng)傳導(dǎo)速度檢測儀的研制［J］．?dāng)?shù)據(jù)采集與處理，1998（a10）：91－94.

（責(zé)任編輯：朱聯(lián)九）

Brownian Line Model as the Similar Nerve Conductive

LIANG Ming-jie,ZHENG Qiao-ling,PAN Rong-bin,DAN Ba-duoji,XU Jia-huai
(School of Information Engineering,Sanming University,Sanming 365004,China)

Based on the principle of nerve conduction,a class of the random line model which is defined Brownian line is constructed in this paper.Through the relative properties of Brownian motion,the multiplicity and uncertainty of the nerve conduction pathways are effectively described by this model.Furthermore,the geometrical characteristics of Brownian line are discussed,and the estimations of some relative probabilities are given.

nerve conductive;Brownian line model;geometrical characteristics;probabilities estimations

O211.6

A

1673-4343（2017）02-0006-05

10．14098／j．cn35－1288／z．2017．02．002

2016-12-30

國家自然科學(xué)基金青年項目（11601083；福建省自然科學(xué)基金青年創(chuàng)新項目（2016J05002）；福建省中青年教師教育科研項目（JA15476）；福建省大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計劃項目（201511311025）

梁明杰，男，廣東梅縣人，講師。主要研究方向：隨機過程及其應(yīng)用。