祁輝

（三明學(xué)院 信息工程學(xué)院，福建 三明 365004）

串聯(lián)模式下的應(yīng)力-強度模型可靠度的非參數(shù)統(tǒng)計推斷

祁輝

（三明學(xué)院 信息工程學(xué)院，福建 三明 365004）

應(yīng)力－強度模型在工程學(xué)，醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。對于變量非刪失以及右刪失的情形，研究了當(dāng)隨機應(yīng)力和隨機強度相互獨立時的元串聯(lián)系統(tǒng)應(yīng)力－強度模型可靠度的非參數(shù)估計。近一步，建立了估計量的大樣本性質(zhì)．?dāng)?shù)值模擬表明所提出的方法表現(xiàn)良好。

應(yīng)力－強度模型；經(jīng)驗分布函數(shù)；Kaplan－Meier估計量；右刪失

在可靠性分析中,設(shè)系統(tǒng)中部件的隨機強度為Y,隨機應(yīng)力為X,當(dāng)部件強度Y大于應(yīng)力X時,系統(tǒng)便正常工作。否則,系統(tǒng)便失效。概率R=P(X＜Y）稱為系統(tǒng)應(yīng)力-強度模型可靠度,它表示系統(tǒng)正常工作的概率。該模型在工程學(xué),醫(yī)學(xué),心理學(xué),經(jīng)濟學(xué)等各領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。例如:在工程學(xué)領(lǐng)域,應(yīng)力-強度模型可靠度可以用來評估火箭發(fā)動機成功點火的概率[1];在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域,Bamber[2]結(jié)合ROC曲線將模型應(yīng)用于疾病的診斷;此外,Embrechts等[3]將應(yīng)力-強度模型應(yīng)用于投資組合再保險的估計。 由于應(yīng)力-強度模型應(yīng)用的廣泛性,模型可靠度的統(tǒng)計推斷受到了研究者的關(guān)注。Rezaei[4]研究了隨機變量X和Y獨立地服從不同參數(shù)Pareto分布時的估計問題。Ghitany等[5]研究了應(yīng)力和強度相互獨立并服從Power Lindley分布時的估計。Qi等[6]提出了在變量右刪失情形下應(yīng)力-強度模型可靠度的非參數(shù)估計方法。 關(guān)于應(yīng)力-強度模型可靠度的統(tǒng)計推斷和應(yīng)用的詳細介紹,可參考Kotz等[7]。

以上研究主要考慮由單個部件構(gòu)成的系統(tǒng)應(yīng)力-強度模型可靠度的估計。Bhattachary和Johnso[8]研究了多部件系統(tǒng)應(yīng)力-強度模型。Chandra和Owen[9]討論了正態(tài)和指數(shù)分布情形下,部件隨機強度分別為Y1,Y2，…，Yk的串聯(lián)系統(tǒng)在受到共同應(yīng)力X時,應(yīng)力-強度模型可靠度的極大似然估計和一致最小無偏估計,其中變量之間是相互獨立的。蘇國欽[10-11]分別討論了獨立的應(yīng)力變量和強度變量分別服從正態(tài)分布和韋布爾分布以及正態(tài)分布和正態(tài)分布兩種情形下,串聯(lián)系統(tǒng)應(yīng)力-強度模型P（X＜Y1，…，X＜Yk）的最小無偏估計。王炳興[12]提出了應(yīng)力變量和強度變量相互獨立并均服從指數(shù)分布的串聯(lián)模式下的應(yīng)力-強度模型可靠度的廣義區(qū)間估計。

上述文獻主要研究了相互獨立的應(yīng)力變量和強度變量在分布已知的情形下,串聯(lián)模式下應(yīng)力-強度模型可靠度的估計。 但是在一般的情形下變量的分布通常是未知。因此,針對串聯(lián)系統(tǒng)應(yīng)力—強度模型,本文提出了模型可靠度的非參數(shù)估計方法。首先考慮了當(dāng)應(yīng)力變量和強度變量相互獨立時，基于經(jīng)驗分布的兩個部件串聯(lián)系統(tǒng)應(yīng)力-強度模型可靠度的非參數(shù)估計。 并將該方法推廣到k個部件串聯(lián)系統(tǒng)應(yīng)力-強度模型可靠度的估計。Qi等[6]所述,當(dāng)試驗中途停止等原因?qū)е碌臉颖緮?shù)據(jù)右刪失的情形,在樣本數(shù)據(jù)右刪失的情形下,提出了基于Kaplan-Meier估計的兩個部件串聯(lián)系統(tǒng)應(yīng)力—強度模型可靠度的非參數(shù)估計方法。類似地,該方法可以推廣到個部件串聯(lián)系統(tǒng)在樣本數(shù)據(jù)右刪失情形下模型可靠度的估計。

1 完備觀測下的模型可靠度的估計

假定Y和Z分別表示串聯(lián)系統(tǒng)兩個部件的隨機強度,X表示系統(tǒng)隨機應(yīng)力。假定變量X,Y,Z相互獨立,則系統(tǒng)應(yīng)力-強度模型可靠度可表示為:

其中GX（t）=P（X＞t）為生存函數(shù),GY（t），GZ（t）也類似的定義。

在樣本（Xi，Yi，Zi）下,可分別用:I（Zi＞t）,來分別估計 GX（t）,GY（t）,GZ（t）。 從而,可得R2的估計:

該方法可以推廣到當(dāng)應(yīng)力變量和強度變量相互獨立時，k個部件構(gòu)成的串聯(lián)系統(tǒng)在隨機應(yīng)力X下的應(yīng)力-強度模型可靠度的估計:

其中變量之間是相互獨立的,G'Yj（·）為串聯(lián)系統(tǒng)第j個部件的隨機強度Yj生存函數(shù)的估計量。

2 刪失數(shù)據(jù)下的模型可靠度的估計

考慮到由兩個部件構(gòu)成的串聯(lián)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)應(yīng)力-強度模型。 在應(yīng)力變量X以及強度變量Y和Z相互獨立并分別被隨機變量C,L,M右刪失的情形下,生存函數(shù)GX（t）,GY（t）,GZ（t）的Kaplan-Meier估計量如下：

其中變量：T=min（X,C），Δ=I（X≤C；K=min（X,L），Q=I（Y≤L)；D=min（Z,M），S=I（Z≤M)。

將上述Kaplan-Meier估計量代入(1)式,則右刪失情形下模型可靠度的估計:

同上所述,該方法也可以推廣到右刪失樣本下,應(yīng)力變量和強度變量相互獨立時k個部件構(gòu)成的串聯(lián)系統(tǒng)在隨機應(yīng)力下模型可靠度的估計:

3 大樣本性質(zhì)的證明

為了研究上述估計量的大樣本性質(zhì)，通過參考作者Qi等[6]中的條件C1～C9,有定理1。

定理1 在條件C1～C9下,當(dāng)樣本容量n→+∞時,估計量n1/2{R''2-R2}弱收斂到正態(tài)分布N（0，σ12）。

證明的過程可參考作者Qi等[6]，故略。

由于完備觀測下的樣本數(shù)據(jù)是在樣本右刪失情形下刪失率為零的特殊情形。因此,由定理1,可得如下的定理2。

定理2在條件C1,C3,C4,C6,C7,C9下,當(dāng)樣本容量n→+∞時,估計量n1/2{R'2-R2}弱收斂到正態(tài)分布 N（0，σ22）。

類似地,對于k元串聯(lián)系統(tǒng)應(yīng)力-強度模型,定理1和定理2的漸近性質(zhì)可推廣到可靠度的估計量R'k和R''k。

4 數(shù)值模擬

在本節(jié)中,主要通過數(shù)值模擬來考察所提出的估計量在有限樣本下的表現(xiàn)。對于二元串聯(lián)系統(tǒng)應(yīng)力-強度模型,假定相互獨立的應(yīng)力變量X以及強度變量Y和Z分別服從 (λ1=λ2=λ3=1),(λ1=0.5，λ2=1，λ3=2),(λ1=2，λ2=1，λ3=0.5),(λ1=1，λ2=2，λ3=0.5)的指數(shù)分布,通過從指數(shù)總體中抽取容量n為50到400大小不等的樣本,計算估計量R2和R2在不同樣本下的如下統(tǒng)計指標(biāo)：估計量的估計(Est)、估計量的標(biāo)準(zhǔn)差(SD)和標(biāo)準(zhǔn)差的估計值(SE)以及 95%置信區(qū)間覆蓋率(CP)。 其中右刪失變量C,L,M均由參數(shù)λ=1指數(shù)分布生成?；?00次模擬的結(jié)果見表1～4。

由表1的隨機模擬結(jié)果可知,當(dāng)指數(shù)總體分布中的參數(shù)λ1=λ2=λ3時,估計量R'2和R''2在不同樣本下的各項統(tǒng)計指標(biāo)均有良好的表現(xiàn),即使在樣本n=50較小的情形下。 此外,所提出在非刪失及右刪失情形下的估計量R'2和R''2在樣本量n相同時,隨機模擬的各項結(jié)果較接近。

表1 當(dāng)λ1=λ2=λ3，R2=1/3時,R'2和R''2的隨機模擬結(jié)果

在指數(shù)總體分布中的參數(shù)λ1＜λ2＜λ3情形下,估計量R'2和R''2的隨機模擬結(jié)果由表2給出。從表2中也可以看出,即使在樣本較小的情形下,估計量和在不同樣本下的各項統(tǒng)計指標(biāo)均表現(xiàn)較好,類似的,所提出在非刪失及右刪失情形下的估計量R'2和R''2在樣本量n相同時,隨機模擬的各項統(tǒng)計指標(biāo)較接近。

表2 當(dāng)λ1=0.5,λ2=1,λ3=2時,R2=0.143，R'2和R''2的隨機模擬結(jié)果

類似的,由表3的隨機模擬結(jié)果可知,在指數(shù)總體分布中的參數(shù)λ1＞λ2＞λ3情形下,估計量R'2和R''2表現(xiàn)良好。

表3 當(dāng)λ1=2,λ2=1,λ3=0.5時,R2=0.571，R'2和R''2的隨機模擬結(jié)果

此外,由表4的隨機模擬結(jié)果可知,在指數(shù)總體分布中的參數(shù)λ1＜λ2，λ2＞λ3以及情形下,估計量R'2和R''2仍表現(xiàn)良好。

表4 當(dāng)λ1=1,λ2=2,λ3=0.5時,R2=0.286，R'2和R''2的隨機模擬結(jié)果

5 結(jié)論

對于k串聯(lián)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)應(yīng)力-強度模型,考慮了在樣本非刪失和右刪失兩種情形下模型可靠度的估計,并建立了估計量的大樣本性質(zhì)。 對于二元串聯(lián)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)應(yīng)力-強度模型可靠度的估計量R'2和R''2,隨機模擬結(jié)果顯示上述估計量具有良好的性質(zhì)。此外,上述方法也可以推廣到對k元并聯(lián)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)應(yīng)力-強度模型可靠度的估計。

參考文獻：

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(責(zé)任編輯：朱聯(lián)九）

Nonparametric Inference for Reliability of a Series Stress-strength Structure Model

QI Hui
(Institute of Information Engineering,Sanming University,Sanming 365004，China)

The stress-strength model has a wide range of applications in engineering,medicine and other fields.Considering the variable non-censoring and right censoring,a nonparametric estimation for the stress-strength model reliability of series system is studied when the random stress and strengths are independent of each other.Furthermore,large sample character of the proposed estimator is established in this paper.Numerical simulation shows that the proposed method performs well in finite samples.

stress-strength model;empirical distribution function;Kaplan-Meier estimator;right censoring

O213.2

A

1673-4343（2017）02-0001-05

10．14098／j．cn35－1288／z．2017．02．001

2016-11-16

國家自然科學(xué)基金項目（11401341）；福建省自然科學(xué)基金項目(2015J05014,2016J01681)；福建省教育廳項目（JK2014046，JA15476，JAT160468，JA160474）；三明學(xué)院校級科研項目（B201617）

祁輝，男，湖北隨州人，講師。主要研究方向：生存分析與可靠性。