李玉昆 李永泉 佘亞中 張立杰

1.燕山大學(xué)河北省并聯(lián)機(jī)器人與機(jī)電系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室，秦皇島，0660042.燕山大學(xué)先進(jìn)鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，秦皇島，0660043.燕山大學(xué)河北省重型機(jī)械流體動(dòng)力傳輸與控制實(shí)驗(yàn)室，秦皇島，066004

3-UPS/S并聯(lián)穩(wěn)定平臺(tái)滿載工況誤差分析與運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定

李玉昆1,2李永泉1,2佘亞中2,3張立杰2,3

1.燕山大學(xué)河北省并聯(lián)機(jī)器人與機(jī)電系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室，秦皇島，0660042.燕山大學(xué)先進(jìn)鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，秦皇島，0660043.燕山大學(xué)河北省重型機(jī)械流體動(dòng)力傳輸與控制實(shí)驗(yàn)室，秦皇島，066004

當(dāng)負(fù)載達(dá)到一定數(shù)值時(shí)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的變形誤差相對(duì)于幾何誤差對(duì)動(dòng)平臺(tái)輸出精度的影響是不可忽略的。以電液驅(qū)動(dòng)型3-UPS/S并聯(lián)穩(wěn)定平臺(tái)為研究對(duì)象，分別建立了穩(wěn)定平臺(tái)幾何誤差與變形誤差的傳遞模型，并通過(guò)線性疊加得到了總的誤差傳遞模型?；趲缀握`差傳遞模型，建立了穩(wěn)定平臺(tái)滿載工況下的運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定模型。在滿載工況下進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定實(shí)驗(yàn)，測(cè)量了動(dòng)平臺(tái)參考點(diǎn)的位置，計(jì)算得到動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)誤差δH0，通過(guò)分離變形誤差δH1得到了幾何誤差δH，通過(guò)最小二乘法完成了穩(wěn)定平臺(tái)幾何誤差參數(shù)標(biāo)定。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)；幾何誤差；變形誤差；運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定

0 引言

按照機(jī)構(gòu)誤差源分類(lèi)，機(jī)構(gòu)誤差包含原理誤差、幾何誤差、變形誤差、測(cè)量誤差[1]。承受負(fù)載時(shí)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的主要誤差來(lái)源于幾何誤差與變形誤差，其中，幾何誤差是指由各零部件的加工誤差與裝配誤差導(dǎo)致的動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)誤差，變形誤差主要是指由重載引起的各分支的彈性變形導(dǎo)致的動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)誤差。并聯(lián)穩(wěn)定平臺(tái)[2]主要用來(lái)隔離擾動(dòng)和進(jìn)行姿態(tài)補(bǔ)償，對(duì)機(jī)構(gòu)輸出的精度要求較高，因此必須對(duì)其進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定，進(jìn)而對(duì)由幾何誤差和變形誤差導(dǎo)致的姿態(tài)偏差進(jìn)行有效補(bǔ)償。

為了提高并聯(lián)穩(wěn)定平臺(tái)機(jī)構(gòu)的位姿精度，人們對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的誤差分析與補(bǔ)償進(jìn)行了大量研究。文獻(xiàn)[3]利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法對(duì)Stewart平臺(tái)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了誤差建模，通過(guò)可直接微分的輸入輸出方程對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)器誤差、鉸鏈自身誤差及鉸鏈定位誤差做了分析。文獻(xiàn)[4]基于矢量微分法對(duì)六自由度運(yùn)動(dòng)模擬平臺(tái)進(jìn)行了幾何誤差的分析與標(biāo)定。文獻(xiàn)[5]建立了操作機(jī)構(gòu)幾何誤差與變形的統(tǒng)一傳遞模型，為非過(guò)約束并聯(lián)機(jī)構(gòu)的兩類(lèi)誤差的線性疊加影響的分析提供了理論依據(jù)。文獻(xiàn)[6]采用運(yùn)動(dòng)學(xué)外部標(biāo)定法對(duì)球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)樣機(jī)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定，利用三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)檢測(cè)末端位姿誤差，構(gòu)造其與模型計(jì)算值間的殘差，進(jìn)而通過(guò)相應(yīng)的逆解辨識(shí)模型識(shí)別幾何參數(shù)。文獻(xiàn)[7]通過(guò)改進(jìn)標(biāo)定建模方式將測(cè)量參考系與運(yùn)動(dòng)參考系統(tǒng)一，消除了測(cè)量的系統(tǒng)誤差，提高了并聯(lián)機(jī)器人的標(biāo)定精度。文獻(xiàn)[8]提出了一種基于遺傳算法，以矩陣條件數(shù)為優(yōu)化目標(biāo)，對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的標(biāo)定測(cè)量點(diǎn)進(jìn)行優(yōu)化篩選的方法。上述運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定都是在機(jī)構(gòu)空載時(shí)完成的，而實(shí)際應(yīng)用中的穩(wěn)定平臺(tái)都是有負(fù)載的，尤其當(dāng)穩(wěn)定平臺(tái)處于滿載工況時(shí)，由負(fù)載引起的變形誤差相對(duì)于機(jī)構(gòu)本身的幾何誤差對(duì)穩(wěn)定平臺(tái)輸出姿態(tài)的影響是不可忽略的。本文基于3-UPS/S并聯(lián)穩(wěn)定平臺(tái)機(jī)構(gòu)，研究其在滿載工況下的誤差分析及運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定問(wèn)題。因?yàn)榇祟?lèi)非過(guò)約束并聯(lián)機(jī)構(gòu)的幾何誤差與變形誤差是互相解耦的[5]，所以本文首先分離出變形誤差，再通過(guò)最小二乘法建立該機(jī)構(gòu)樣機(jī)的運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定模型，最后通過(guò)激光跟蹤儀測(cè)量動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)，借助標(biāo)定迭代方法，獲得滿足精度要求的實(shí)際幾何參數(shù)。

1 3-UPS/S并聯(lián)穩(wěn)定平臺(tái)機(jī)構(gòu)位姿描述

圖1 3-UPS/S并聯(lián)穩(wěn)定平臺(tái)實(shí)驗(yàn)樣機(jī)Fig.1 3-UPS/S parallel stabilizing platform prototype

如圖1所示，3-UPS/S 并聯(lián)穩(wěn)定平臺(tái)機(jī)構(gòu)由動(dòng)平臺(tái)、定平臺(tái)及3個(gè)UPS 驅(qū)動(dòng)分支和中央球鉸(S)的約束分支組成。機(jī)構(gòu)的中央球鉸約束動(dòng)平臺(tái)的 3個(gè)移動(dòng)自由度，使動(dòng)平臺(tái)只有3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，其布局有以下特點(diǎn)：①每個(gè) UPS 支鏈組成1個(gè)驅(qū)動(dòng)分支，分支中的移動(dòng)副為驅(qū)動(dòng)副；②3個(gè)分支通過(guò)在半徑r2圓上均布的3個(gè)球鉸與動(dòng)平臺(tái)相連；③3個(gè)分支通過(guò)在半徑r1圓上均布的3個(gè)虎克鉸與定平臺(tái)相連。

3-UPS/S并聯(lián)穩(wěn)定平臺(tái)機(jī)構(gòu)如圖2所示，為描述其位姿，建立定坐標(biāo)系Obx1y1z1，記作{w}，坐標(biāo)原點(diǎn)Ob位于定平臺(tái)中心，x1軸平行于ObA1，z1軸垂直于A1A2A3平面；建立動(dòng)坐標(biāo)系Ox2y2z2，記作{u}，坐標(biāo)原點(diǎn)O位于中間球鉸中心，x2軸平行于OB1，z2軸垂直于B1B2B3平面。

圖2 3-UPS/S并聯(lián)穩(wěn)定平臺(tái)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.2 Sketch of 3-UPS/S parallel mechanism

這里，用RPY角來(lái)描述動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)。RPY角描述動(dòng)坐標(biāo)系的方位法則如下：為使動(dòng)坐標(biāo)系Ox2y2z2的初始姿態(tài)與定坐標(biāo)系Obx1y1z1相同，首先平移定坐標(biāo)系到動(dòng)坐標(biāo)系的初始位置，然后再通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換來(lái)調(diào)整定坐標(biāo)Obx1y1z1的姿態(tài)，先繞此時(shí)的定坐標(biāo)系x1軸轉(zhuǎn)α角，再繞定坐標(biāo)系y1軸轉(zhuǎn)β角，最后繞定坐標(biāo)系z(mì)1軸轉(zhuǎn)γ角，以保證動(dòng)坐標(biāo)系與定坐標(biāo)系姿態(tài)重合，從而得到動(dòng)平臺(tái)相對(duì)于定平臺(tái)的姿態(tài)變換矩陣

T=R(z,γ)R(y,β)R(x,α)=

(1)

sj=sinjcj=cosjj=α，β，γ

驅(qū)動(dòng)分支的虎克鉸中心Ai(i=1，2，3)點(diǎn)在定坐標(biāo)系{w}中可表示為

wAi=(r1cosηi，r1sinηi，0)

(2)

驅(qū)動(dòng)分支球鉸中心Bi點(diǎn)在動(dòng)坐標(biāo)系{u}中可表示為

uBi=(r2cosηi，r2sinηi，0)

(3)

其中，ηi為鉸鏈點(diǎn)i在xy面的分布角，且有η1=0，η2=2π/3，η3=-2π/3。

Bi點(diǎn)在定坐標(biāo)系{w}中的坐標(biāo)可表示為

wBi=ObO+TuBi

(4)

2 誤差建模與分析

2.1 幾何誤差模型

假設(shè)各構(gòu)件為剛性構(gòu)件，對(duì)于驅(qū)動(dòng)分支AiBi，可得到閉環(huán)矢量

limi=h+TuBi-wAi

(5)

式中，h為動(dòng)平臺(tái)的位置向量，h=ObO；li為驅(qū)動(dòng)桿AiBi的長(zhǎng)度；mi為驅(qū)動(dòng)桿AiBi在定坐標(biāo)系下的單位方向向量。

對(duì)式(5)兩邊進(jìn)行微分得

δlimi+liδmi=δh+δTuBi+TδuBi-δwAi

(6)

由矩陣的微分理論可得微分旋轉(zhuǎn)矩陣

δT=S(δH)T

(7)

式中，δH為動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)誤差向量，δH=(δα，δβ，δγ)；δα、δβ、δγ為RPY角表示的3個(gè)動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)角誤差；S(δH)為δH的反對(duì)稱(chēng)矩陣。

由mi為單位向量，有

(8)

式(6)中的右邊點(diǎn)乘mi,有

mi·(δTuBi)=mi·(S(δH)TuBi)=

mi·(δH×(TuBi))=((TuBi)×mi)·δH

(9)

此時(shí)，式(6)兩邊點(diǎn)乘mi，并代入式(7)～式(9)，化簡(jiǎn)整理得

δli=((TuBi)×mi)·δH+mi·(TδuBi)-

mi·δwAi+mi·δh=mi·δh+

((TuBi)×mi)·δH+mi·TδuBi-mi·δwAi

(10)

綜合3個(gè)驅(qū)動(dòng)桿可得

δL=J1δh+J2δH+J3δP

(11)

δL=(δl1，δl2，δl3)

δh=(δx，δy，δz)

δH=(δα，δβ，δγ)

式中，δL為驅(qū)動(dòng)桿桿長(zhǎng)的誤差向量；δl1、δl2、δl3分別為3個(gè)驅(qū)動(dòng)桿桿長(zhǎng)的誤差；δh為動(dòng)平臺(tái)的位置誤差向量；δx、δy、δz分別為動(dòng)平臺(tái)在定坐標(biāo)系下的3個(gè)位置誤差；δH為動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)誤差向量；δP為鉸鏈中心點(diǎn)的位置誤差，δP∈R18×1；J1為該機(jī)構(gòu)的移動(dòng)速度雅可比矩陣；J2為該機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)速度雅可比矩陣；J3為該機(jī)構(gòu)的柔性運(yùn)動(dòng)雅可比矩陣，J3∈R3×18。

該并聯(lián)機(jī)構(gòu)有3個(gè)自由度(動(dòng)平臺(tái)繞中心球鉸的3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度)，所涉及的工作空間內(nèi)無(wú)奇異點(diǎn)時(shí)，J2是一個(gè)非奇異矩陣，可以對(duì)其進(jìn)行求逆計(jì)算。由式(11)求得幾何誤差模型：

(12)

2.2 變形誤差模型

通過(guò)3-UPS/S并聯(lián)穩(wěn)定平臺(tái)機(jī)構(gòu)的靜力學(xué)全解的分析[9]，可知穩(wěn)定平臺(tái)承受載荷時(shí)，機(jī)構(gòu)的主要變形來(lái)自于各分支桿，而分支桿件的變形會(huì)直接影響穩(wěn)定平臺(tái)的輸出位姿精度。3-UPS/S并聯(lián)穩(wěn)定平臺(tái)機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)形式均為液壓驅(qū)動(dòng)，驅(qū)動(dòng)分支的液壓缸三維模型如圖3所示。由靜力學(xué)分析可知驅(qū)動(dòng)分支均可視為二力桿，為了便于分析該機(jī)構(gòu)的變形誤差，現(xiàn)對(duì)樣機(jī)剛度模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化：①假設(shè)球鉸S、動(dòng)平臺(tái)、定平臺(tái)以及虎克鉸U為理想剛體，僅將各分支桿作為彈性體考慮；②忽略各個(gè)部件的重力及液壓缸中油液質(zhì)量的影響；③將驅(qū)動(dòng)分支的上下連桿等效成具有相同直徑的均質(zhì)桿。

圖3 驅(qū)動(dòng)分支Fig.3 Active branch chain

這里主要分析驅(qū)動(dòng)分支的剛度模型，如圖3所示，驅(qū)動(dòng)分支的剛度主要包含以下三個(gè)部分:

(1)驅(qū)動(dòng)分支伸縮桿的軸向拉壓剛度

kei=ELALe/lei

(13)

式中，EL為伸縮桿彈性模量，EL=210 GPa；ALe為伸縮桿橫截面積，mm2；lei為伸縮桿的桿長(zhǎng)，mm；dLe為伸縮桿的直徑，mm。

(2)驅(qū)動(dòng)分支液壓缸液壓油的剛度。驅(qū)動(dòng)分支均由液壓缸驅(qū)動(dòng)，液壓油的可壓縮性使驅(qū)動(dòng)分支液壓缸部分必然產(chǎn)生彈性變形。液壓缸內(nèi)兩端液柱的形變位移量相同，故可以將其等效為一個(gè)并聯(lián)彈簧系統(tǒng)[10]，則液壓油的軸向剛度為

khi=khi1+khi2=EhAhi1/lhi1+EhAhi2/lhi2

(14)

式中，khi1、khi2分別為分支i液壓缸有桿腔、無(wú)桿控的剛度，kN/m；Eh為液壓油的彈性模量，Eh=2.0 GPa；Ahi1、Ahi2分別為分支i液壓缸有桿腔、無(wú)桿腔的有效橫截面積，mm2；lhi1、lhi2分別為分支i液壓缸有桿腔的長(zhǎng)度，mm；dLh為分i支液壓缸無(wú)桿腔的橫截面直徑，mm。

(3)驅(qū)動(dòng)分支底端定長(zhǎng)桿的軸向拉壓剛度

kfi=ELALf/lfi

(15)

式中，ALf為底端定長(zhǎng)桿橫截面積，mm2；dLf為底端定長(zhǎng)桿的等效直徑，mm；lfi為底端定長(zhǎng)桿的桿長(zhǎng)，mm。

中間約束分支的末端通過(guò)中央球鉸與動(dòng)平臺(tái)連接，受到的力是任意方向的，因此將其剛度分解到定坐標(biāo)系的3個(gè)方向上，對(duì)應(yīng)的剛度分別為kx、ky、kz，分支剛度記作k0，且有k0=diag(kx，ky，kz)。

圖4所示為3-UPS/S并聯(lián)機(jī)構(gòu)樣機(jī)的剛度模型，其周?chē)嫉?個(gè)UPS驅(qū)動(dòng)分支變換為具有3個(gè)串聯(lián)等效線性彈簧的彈性分支，動(dòng)平臺(tái)和定平臺(tái)通過(guò)中間分支彈性連接，從而建立起3-UPS/S并聯(lián)穩(wěn)定平臺(tái)樣機(jī)的靜剛度模型。

圖4 樣機(jī)剛度拓?fù)鋱DFig.4 Stiffness topology of prototype

當(dāng)動(dòng)平臺(tái)承受外負(fù)載時(shí)，由靜力學(xué)全解[9]可以計(jì)算出中間分支受力F0和驅(qū)動(dòng)分支i沿桿方向受力Fi。由串聯(lián)彈簧剛度計(jì)算可以得到UPS驅(qū)動(dòng)分支i的軸向剛度

(16)

由式(16)可得第i個(gè)分支沿桿方向的變形誤差

δli1=Fi/ki

(17)

中間分支的變形引起的動(dòng)平臺(tái)位置誤差為

(18)

由式(17)、式(18)可知，變形的實(shí)質(zhì)是各分支桿長(zhǎng)的變化，因此可將式(17)、式(18)得到的變形誤差代入到幾何誤差傳遞模型，得到變形誤差模型：

(19)

δL1=[δl11δl21δl31]T

式中，δH1為變形誤差單獨(dú)作用下的動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)誤差。

2.3 誤差線性疊加及算例分析

3-UPS/S并聯(lián)穩(wěn)定平臺(tái)屬于非過(guò)約束機(jī)構(gòu)，變形誤差與幾何誤差可以線性疊加[5]，從而得到機(jī)構(gòu)幾何誤差與變形誤差線性疊加的傳遞模型：

(20)

式中，δH0為幾何誤差與變形誤差共同作用下的動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)誤差。

3-UPS/S并聯(lián)穩(wěn)定平臺(tái)樣機(jī)的實(shí)際幾何參數(shù)及液壓缸的主要幾何參數(shù)如表1所示。當(dāng)動(dòng)平臺(tái)處于初始姿態(tài)(水平姿態(tài))時(shí)，動(dòng)平臺(tái)主要承受垂直向下的負(fù)載F。此時(shí)，在變形誤差單獨(dú)作用下，由式(19)可以通過(guò)MATLAB編程算出動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)誤差隨負(fù)載F的變化曲線，如圖5所示。

表1 樣機(jī)的幾何尺寸參數(shù)

圖5 變形誤差隨負(fù)載變化曲線Fig.5 Curve of deformation error changing with load

從圖5中可以看出，當(dāng)負(fù)載超過(guò)5 kN時(shí)，γ的姿態(tài)誤差達(dá)到1°，所以平臺(tái)滿載時(shí)的變形誤差對(duì)動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)誤差的影響是不可忽略的。

在圖6所示的運(yùn)動(dòng)軌跡下，由式(16)可以算出驅(qū)動(dòng)分支剛度，如圖7所示。在圖6所示的運(yùn)動(dòng)軌跡下，給定外負(fù)載(10 kN)、幾何誤差(表2)時(shí)，由式(12)、式(19)、式(20)可以分別算出幾何誤差與變形誤差單獨(dú)作用以及二者線性疊加時(shí)的動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)誤差，如圖8所示。

圖6 動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.6 Trajectory of moving platform

圖7 驅(qū)動(dòng)分支剛度Fig.7 Stiffness of active branch chain

mm

(a)幾何誤差引起動(dòng)平臺(tái)誤差

(b)變形誤差引起動(dòng)平臺(tái)誤差

(c)線性疊加的動(dòng)平臺(tái)誤差圖8 動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)誤差(γ=28°)Fig.8 Attitude error of moving platform(γ=28°)

通過(guò)數(shù)值計(jì)算可以看出，幾何誤差與變形誤差共同作用時(shí)，它們不是單純地使輸出姿態(tài)誤差增大，還可能互相抵消，使輸出姿態(tài)誤差減小，而且輸出姿態(tài)誤差與動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)有關(guān)。

3 滿載工況下的運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定模型

無(wú)論是幾何誤差還是變形誤差，都需要通過(guò)調(diào)節(jié)驅(qū)動(dòng)桿長(zhǎng)度來(lái)補(bǔ)償，因此，運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定模型必須依托于幾何誤差模型。3-UPS/S并聯(lián)穩(wěn)定平臺(tái)機(jī)構(gòu)的誤差源很多，不可能全部分離辨識(shí)。又由于動(dòng)平臺(tái)的位置誤差會(huì)直接影響上平臺(tái)球鉸的位置誤差，因此可以將其整合到動(dòng)平臺(tái)上的球鉸位置誤差中。從而對(duì)幾何誤差模型(式(12))進(jìn)行簡(jiǎn)化，得簡(jiǎn)化后的標(biāo)定模型：

J2δH=δL-J3δP=[E-J3][δLδP]T

(21)

式中，E為3階單位陣。

實(shí)驗(yàn)室中的運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定是在滿載情況下進(jìn)行的，所以要辨識(shí)幾何誤差模型參數(shù)，需要先分離出變形引起的動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)誤差。由式(20)可得

δH=δH0-δH1

(22)

對(duì)式(21)進(jìn)行整理可得

δH=WδR

(23)

式中，W為位姿的參數(shù)識(shí)別雅可比矩陣；δR為機(jī)構(gòu)的誤差參數(shù)識(shí)別矩陣。

待標(biāo)定的誤差模型參數(shù)包括3類(lèi)共21項(xiàng)誤差：①驅(qū)動(dòng)桿誤差δli；②定平臺(tái)上的虎克鉸的位置誤差，即鉸鏈點(diǎn)i的誤差δxAi、δyAi、δzAi；③動(dòng)平臺(tái)上的球鉸位置誤差，即鉸鏈點(diǎn)i的誤差δxBi、δyBi、δzBi。

對(duì)于測(cè)量的每個(gè)姿態(tài)點(diǎn)可列出3個(gè)方程，這樣就至少需要測(cè)量7個(gè)姿態(tài)來(lái)求解這21個(gè)未知數(shù)。設(shè)測(cè)量了n組位姿，為了使誤差計(jì)算的更加準(zhǔn)確，這里取n>7，此時(shí)式(23)成為一個(gè)超定方程組，由最小二乘法可求得該超定方程組的解：

δR=(WTW)-1WTδH

(24)

式(24)即為該機(jī)構(gòu)的幾何誤差標(biāo)定模型，在試驗(yàn)中，選取的測(cè)量位姿點(diǎn)要保證矩W不奇異，同時(shí)保證WTW的奇異值不能過(guò)小[4]。

4 運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定實(shí)驗(yàn)

運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)辨識(shí)是并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定中的一個(gè)核心環(huán)節(jié)。對(duì)于承受重載的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，測(cè)量的姿態(tài)誤差是由幾何誤差與變形誤差耦合作用引起的，要進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定，辨識(shí)幾何誤差參數(shù)，需要先分離出變形誤差引起的動(dòng)平臺(tái)誤差。再通過(guò)最小二乘法辨識(shí)出并聯(lián)穩(wěn)定平臺(tái)的幾何誤差模型參數(shù)，用辨識(shí)得到的幾何誤差參數(shù)修正幾何參數(shù)，并將修正后的幾何參數(shù)代入反解控制模型，從而實(shí)現(xiàn)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)幾何誤差補(bǔ)償。整個(gè)幾何誤差參數(shù)辨識(shí)的計(jì)算過(guò)程是通過(guò)MATLAB軟件編程來(lái)實(shí)現(xiàn)的。根據(jù)文獻(xiàn)[6]提出的辨識(shí)流程如圖9所示，圖9中，R為機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別矩陣，R0為理想結(jié)構(gòu)參數(shù)矩陣。

圖9 誤差參數(shù)辨識(shí)流程圖Fig.9 Flow chart of error parameter identification

4.1 姿態(tài)測(cè)量原理

為保證動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)測(cè)量的精度，避免測(cè)量精度不夠?qū)\(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定實(shí)驗(yàn)的影響，本文實(shí)驗(yàn)采用的測(cè)量裝置是CREAFOR公司的C-TRACK780激光跟蹤儀(測(cè)量精度為0.025 mm)。穩(wěn)定平臺(tái)滿載時(shí)，激光跟蹤儀測(cè)量的布局如圖10所示，在動(dòng)平臺(tái)上固定添加一個(gè)1 t的鐵塊。本次實(shí)驗(yàn)共測(cè)量了8個(gè)位姿點(diǎn)。由空間幾何知識(shí)可知三點(diǎn)確定一個(gè)平面，因此要確定動(dòng)平臺(tái)的空間姿態(tài)，至少要在動(dòng)平臺(tái)上測(cè)量3個(gè)參考點(diǎn)的坐標(biāo)。如圖11所示，根據(jù)動(dòng)平臺(tái)上已有的參考點(diǎn)B1、B2與B3在動(dòng)平臺(tái)上表面選擇3個(gè)測(cè)量點(diǎn)D1、D2、D3來(lái)確定動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)。其中，D1D2平行于動(dòng)坐標(biāo)系的x軸，D3與D1D2不能共線。在不同的測(cè)量姿態(tài)點(diǎn)處，測(cè)量點(diǎn)D1、D2與D3的位置選擇可以是不同的，要根據(jù)實(shí)際測(cè)量的需要確定，每個(gè)姿態(tài)點(diǎn)處的測(cè)量點(diǎn)的實(shí)際坐標(biāo)由激光跟蹤儀測(cè)量得到。

圖10 滿載時(shí)激光跟蹤儀測(cè)量現(xiàn)場(chǎng)Fig.10 Laser tracker measurement field in full load condition

圖11 動(dòng)平臺(tái)上測(cè)量點(diǎn)分布圖Fig.11 Measuring point distribution on the moving platform

安置激光跟蹤儀，建立測(cè)量坐標(biāo)系{m}。此時(shí)測(cè)量坐標(biāo)系與定坐標(biāo)系間的坐標(biāo)變換是由一般平移變換和旋轉(zhuǎn)變換組合而成的。由坐標(biāo)變換的相關(guān)知識(shí)有

(25)

安裝好激光跟蹤儀后，在圖12所示的中心球鉸外表面上任意測(cè)量點(diǎn)P1、P2、P3與P4的坐標(biāo)，此時(shí)有

|OP1|=|OP2|=|OP3|=|OP4|

(26)

圖12 球鉸表面測(cè)量點(diǎn)圖Fig.12 Measuring point on the surface of spherical hinge

由式(26)即可求出球鉸中心在測(cè)量坐標(biāo)系下的坐標(biāo)mO。再通過(guò)測(cè)量和計(jì)算可得到測(cè)量坐標(biāo)系與定坐標(biāo)系之間的一般旋轉(zhuǎn)變換矩陣

(27)

其中，x1、y1、z1分別為固定坐標(biāo)系的x、y、z方向的單位方向向量在測(cè)量坐標(biāo)系下的表示。同理，由定平臺(tái)上已有的參考點(diǎn)A1、A2與A3，在定平臺(tái)上選擇3個(gè)測(cè)量點(diǎn)D4、D5、D6，且D4D5平行于定坐標(biāo)系的x軸，D6與D4D5不能共線。此時(shí)有

(28)

由動(dòng)坐標(biāo)系與定坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)變換可得

(29)

(30)

由式(27)可得

(31)

(32)

式中，Atan2(x,y)為雙變量反正切函數(shù)。

4.2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與結(jié)果

實(shí)驗(yàn)共測(cè)量8個(gè)姿態(tài)點(diǎn)，理論姿態(tài)角的RPY角表示如表3所示。

表3 RPY角表示的理論姿態(tài)

已知實(shí)驗(yàn)穩(wěn)定平臺(tái)樣機(jī)滿載時(shí)的承重為10 kN，此時(shí)可由式(19)計(jì)算出8個(gè)位姿點(diǎn)處由變形引起的動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)誤差δH1的分量，見(jiàn)圖13。

圖13 標(biāo)定前滿載時(shí)變形誤差引起的姿態(tài)誤差Fig.13 Posture error caused by the deformation error before calibration in full load condition

由圖13可知，在8個(gè)測(cè)量姿態(tài)點(diǎn)處，變形引起的姿態(tài)誤差中，|δγ1|較大，因此在重載下要辨識(shí)幾何誤差，需要分離出變形引起的姿態(tài)誤差。在穩(wěn)定平臺(tái)滿載工況下，由激光跟蹤儀測(cè)量并計(jì)算出動(dòng)平臺(tái)實(shí)際位姿誤差，即誤差標(biāo)定前滿載時(shí)動(dòng)平臺(tái)總姿態(tài)誤差(圖14)。

圖14 標(biāo)定前滿載時(shí)的總姿態(tài)誤差Fig.14 Total posture error before calibration infull load condition

3-UPS/S并聯(lián)穩(wěn)定平臺(tái)屬于非過(guò)約束機(jī)構(gòu)，變形誤差與幾何誤差可以線性疊加[5]，從圖14中分離出由變形引起的姿態(tài)誤差(圖13)，可得幾何誤差單獨(dú)作用引起的平臺(tái)姿態(tài)誤差δH，并由此完成運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定試驗(yàn)。運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定是測(cè)量—計(jì)算—再測(cè)量這樣一個(gè)循環(huán)進(jìn)行的過(guò)程，按照?qǐng)D9所示的辨識(shí)流程，共進(jìn)行了5次迭代實(shí)驗(yàn)，得到的最終誤差參數(shù)辨識(shí)結(jié)果如表4所示。

表4 幾何誤差模型參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

4.3 誤差補(bǔ)償

本文通過(guò)控制驅(qū)動(dòng)桿輸入來(lái)補(bǔ)償動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)誤差。滿載時(shí)要補(bǔ)償?shù)恼`差包含由幾何誤差與變形誤差引起的動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)誤差。依據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定實(shí)驗(yàn)得到的幾何誤差模型參數(shù)辨識(shí)結(jié)果，與由變形誤差模型計(jì)算得到的機(jī)構(gòu)幾何參數(shù)變形量，共同修正機(jī)構(gòu)的幾何參數(shù)來(lái)補(bǔ)償動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)誤差。由式(5)計(jì)算補(bǔ)償后的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解，得到補(bǔ)償后的各驅(qū)動(dòng)分支的桿長(zhǎng)：

L=h+δh+T(wBi+δuBi)-(wAi+δwAi)-δL

(33)

由式(33)即可完成兩類(lèi)誤差的補(bǔ)償。誤差補(bǔ)償后，讓實(shí)驗(yàn)穩(wěn)定平臺(tái)再次運(yùn)動(dòng)到各姿態(tài)點(diǎn)處并使用激光跟蹤儀進(jìn)行位姿測(cè)量，測(cè)得標(biāo)定后的滿載時(shí)的動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)誤差δH′的分量，見(jiàn)圖15。

圖15 標(biāo)定后滿載時(shí)的姿態(tài)誤差Fig.15 Posture error after calibration in full load condition

從圖14、圖15中可以看出，誤差補(bǔ)償后，并聯(lián)穩(wěn)定平臺(tái)的位姿精度得到了明顯的提高，誤差標(biāo)定補(bǔ)償前，動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)的平均絕對(duì)誤差為1.29°，誤差標(biāo)定補(bǔ)償后，動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)的平均絕對(duì)誤差為0.61°。

5 結(jié)論

(1) 建立了3-UPS/S并聯(lián)穩(wěn)定平臺(tái)機(jī)構(gòu)的幾何誤差模型和變形誤差模型。平臺(tái)滿載時(shí)，將兩類(lèi)誤差進(jìn)行線性疊加，得到滿載穩(wěn)定平臺(tái)總的誤差模型。

(2) 在平臺(tái)滿載工況下進(jìn)行了標(biāo)定測(cè)量，分離了變形誤差，辨識(shí)了幾何誤差模型參數(shù)?；趲缀握`差傳遞模型和變形誤差模型，利用機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)反解在滿載荷工況下完成了穩(wěn)定平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定，實(shí)現(xiàn)了兩類(lèi)誤差的補(bǔ)償。通過(guò)標(biāo)定實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了這種標(biāo)定方法收斂速度快，經(jīng)過(guò)5次迭代，精度可顯著提高，證明了標(biāo)定方法的有效性。

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(編輯 張 洋)

Error Analysis and Kinematics Calibration of 3-UPS/S Parallel Stabilizing Platform in Full Load Conditions

LI Yukun1,2LI Yongquan1,2SHE Yazhong2,3ZHANG Lijie2,3

1.Parallel Robot and Mechatronic System Laboratory of Hebei Province,Yanshan University, Qinhuangdao,Hebei,066004 2.Key Laboratory of Advanced Forging & Stamping Technology and Science,Ministry of Education, Yanshan University,Qinhuangdao,Hebei,066004 3.Hebei Provincial Key Laboratory of Heavy Machinery Fluid Power Transmission and Control, Yanshan University,Qinhuangdao,Hebei,066004

Compared to geometric errors, output accuracy of moving platform influenced by deformation errors might not be ignored when the loads of any parallel mechanism reached a certain values. Geometric and deformation error models were established based on parallel mechanism， which were studied for an electro-hydraulic 3-UPS/S stabilized paltform, and a total error transfer model was established by linear superposition of geometric and deformation errors. Based on the geometric error model, a kinematics calibration model of the stabilized platform was established. Kinematics calibration experiments were completed in full load conditions, positions of the reference points on moving platform were measured. Posture errors δH0of the moving platform were calculated, geometric errors δHwere obtained by separating the deformation errors δH1, and then the calibrations of geometric error parameters were completed based on least-square method.

parallel mechanism; geometric error; deformation error; kinematics calibration

張麗嬌，女，1989年生。福州大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院博士研究生。主要研究方向?yàn)榭臻g機(jī)器人動(dòng)力學(xué)建模與控制。發(fā)表論文3篇。E-mail:lijiaoz@126.com。陳 力，男，1961年生。福州大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。

2016-06-06

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51405421，51275438)；河北省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(E2015203101)

TH112

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.08.014