劉麗蘭 任博林 李淑超 張小靜

西安理工大學(xué)機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院，西安，710048

有色噪聲激勵(lì)下非線性吸振器的能量傳遞

劉麗蘭 任博林 李淑超 張小靜

西安理工大學(xué)機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院，西安，710048

將雙穩(wěn)態(tài)振子作為非線性吸振器，建立了含非線性吸振器的主系統(tǒng)力學(xué)模型，給出了有色噪聲激勵(lì)下系統(tǒng)的控制方程并進(jìn)行了量綱一化。借助數(shù)值仿真，研究了系統(tǒng)初值、調(diào)諧頻率比、質(zhì)量比、阻尼系數(shù)對主系統(tǒng)和非線性吸振器振動(dòng)能量的影響規(guī)律。通過系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的逐步優(yōu)化選擇，獲得了將主系統(tǒng)振動(dòng)能量最小化并使非線性吸振器振動(dòng)能量最大化的最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)配置區(qū)間。

有色噪聲；非線性吸振器；質(zhì)量比；調(diào)諧頻率比；參數(shù)優(yōu)化

0 引言

非線性吸振器可以較好地從線性主系統(tǒng)吸收能量，已應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域[1-2]。國內(nèi)外學(xué)者對非線性吸振器的研究做了很多工作。STAROSVETSKY等[3]提出了在線性系統(tǒng)中連接強(qiáng)非線性能量收集器來抑振的力學(xué)模型，并證明該非線性吸振器比線性吸振器有更好的抑振效果。AHMADABADI等[4]用非線性能量吸振器來控制懸臂梁的非線性振動(dòng)，減小了懸臂梁的振動(dòng)能量，且非線性吸振器的能量不會(huì)逆向傳遞到懸臂梁系統(tǒng)。MADHAV等[5]采用平穩(wěn)高斯白噪聲激勵(lì)，研究了吸振器在隨機(jī)激勵(lì)下捕獲能量的有效性，研究表明，隨機(jī)激勵(lì)下的非線性吸振器可減小主結(jié)構(gòu)的振動(dòng)，且具有較好的減振效果。張也弛等[6-7]研究了非保守系統(tǒng)中的靶能量的傳遞情況，研究結(jié)果表明，非保守系統(tǒng)只有在特定初始條件下，吸振器才能吸收主系統(tǒng)的振動(dòng)能量。熊懷等[8]研究了阻尼對耦合非線性能量阱系統(tǒng)的影響，獲得了非線性能量阱具有吸振能力時(shí)線性振子阻尼的有效范圍，并通過數(shù)值分析驗(yàn)證了研究結(jié)果。

目前，非線性吸振器的研究多側(cè)重于簡諧激勵(lì)和白噪聲隨機(jī)激勵(lì)。理想的白噪聲在物理上是很難實(shí)現(xiàn)的。工程結(jié)構(gòu)受自身結(jié)構(gòu)及阻尼的影響，會(huì)將隨機(jī)噪聲激勵(lì)過濾為有色噪聲，因而研究有色噪聲激勵(lì)下非線性吸振器系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)具有重要意義。

1 非線性吸振器系統(tǒng)力學(xué)模型

本文研究的非線性吸振器系統(tǒng)的力學(xué)模型如圖1所示。其中，m2為主系統(tǒng)的質(zhì)量；m1為永磁鐵的質(zhì)量；y(τ)為主系統(tǒng)的絕對位移；x(τ)為電磁鐵與主系統(tǒng)之間的相對位移；dU/dx為吸振器的雙穩(wěn)態(tài)彈簧恢復(fù)力，dU/dx=-k1x+k3x3；U為非線性彈簧的彈性勢能；k1、k3分別為吸振器的線性剛度系數(shù)和非線性剛度系數(shù)；c1、c2分別為非線性吸振器和主系統(tǒng)的阻尼；k2為主系統(tǒng)的剛度；Ys為施加給主系統(tǒng)的外部隨機(jī)激振力。永磁鐵不僅能吸收主系統(tǒng)的振動(dòng)，如果增加線圈繞組，還可以利用磁鐵與線圈間的相對運(yùn)動(dòng)進(jìn)行發(fā)電，充分地利用振動(dòng)能量。非線性吸振器系統(tǒng)的系統(tǒng)控制方程為

(1)

(2)

圖1 非線性吸振器系統(tǒng)的力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model of nonlinear vibration absorber system

對式(1)、式(2)進(jìn)行量綱一化，得到

(3)

(4)

圖2 非線性勢能函數(shù)示意圖Fig.2 Schematic of nonlinear potential energy function

2 有色噪聲數(shù)學(xué)模型

高斯白噪聲是被廣泛應(yīng)用的一種隨機(jī)激勵(lì)，但其經(jīng)過大型結(jié)構(gòu)濾波后帶寬變窄;所以本文研究有色噪聲激勵(lì)下主系統(tǒng)和非線性吸振器系統(tǒng)間的振動(dòng)能量傳遞情況。

模擬的高斯白噪聲由獨(dú)立的單位正態(tài)隨機(jī)序列ξ來表示：

(5)

其中，D為噪聲強(qiáng)度，Δt為時(shí)間間隔，R(1，N)為N個(gè)符合正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)。有色噪聲Y可以看成是由白噪聲序列ξ驅(qū)動(dòng)的線性環(huán)節(jié)的輸出[9]：

Y(i+1)=h1ξ(i)-(h1r-1)Y(i)

(6)

有色噪聲激勵(lì)Y有一個(gè)相關(guān)函數(shù)〈Y(t)Y(t*)〉=rDexp(-r|t-t*|)，其中，r為有色噪聲的帶寬，t*為初始時(shí)間，常數(shù)。

利用1階Langevin方程可以產(chǎn)生有色噪聲[10-11]：

(7)

〈ξ(t)〉=0

(8)

〈ξ(t)ξ(t*)〉=δ(t-t*)

(9)

利用Euler差分格式求解式(7)～式(9)，即可得到有色噪聲信號，如圖3所示。

圖3 有色噪聲Fig.3 Colored noise

3 利用Euler差分格式求解微分方程

(10)

將(10)式改寫為Euler差分格式：

(11)

tn+1=tn+Δt

4 主系統(tǒng)和吸振器的振動(dòng)能量

吸振器的主要目的是吸收外部激勵(lì)的能量從而減小主系統(tǒng)的振動(dòng)，吸振器性能的好壞直接取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)配置，因此本文主要研究系統(tǒng)初值和結(jié)構(gòu)參數(shù)對系統(tǒng)振動(dòng)能量的影響。

非線性吸振器能量為

(12)

主系統(tǒng)能量為

(13)

(14)

(15)

兩振子的平均振動(dòng)能量分別為

(16)

(17)

由式(14)、式(15)可以看出，非線性吸振器和主系統(tǒng)的能量直接取決于兩者的位移和速度響應(yīng)。下面分別從兩個(gè)方面進(jìn)行研究：①系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)保持不變，有色噪聲強(qiáng)度取定值，分析系統(tǒng)初值對主系統(tǒng)和非線性吸振器振動(dòng)能量的影響；②在前面研究的基礎(chǔ)上，選取非線性吸振器工作性能較好的系統(tǒng)初值，分析系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)配置對主系統(tǒng)和非線性吸振器振動(dòng)能量的影響。

5 系統(tǒng)初值對振動(dòng)能量的影響

從圖4中可以看出，隨著主系統(tǒng)初值的增大，主系統(tǒng)和非線性吸振器系統(tǒng)的能量均發(fā)生了較大變化，吸振器吸收的能量波動(dòng)較大。總的來看，當(dāng)系統(tǒng)初值x2為0和0.5時(shí)，主系統(tǒng)將大部分能量傳遞給非線性吸振器，主系統(tǒng)的振動(dòng)能量最小，相比之下，非線性吸振器系統(tǒng)的能量較大，且隨時(shí)間變化較為穩(wěn)定，吸振效果較佳，如圖4a、圖4b所示。

(a)x2=0

(b)x2=0.5

(c)x2=1.5

(d)x2=2.0

(e)x2=3.0

(f)x2=3.5圖4 非線性吸振器和主系統(tǒng)之間的能量傳遞Fig.4 Energy transfer between nonlinear absorber

進(jìn)一步對比圖4a、圖4b可以發(fā)現(xiàn)，x2=0.5時(shí)，主系統(tǒng)振動(dòng)能量處于最小值，非線性吸振器吸收能量最大且波動(dòng)最小，吸振效果最佳。

結(jié)合圖4c～圖4f可以發(fā)現(xiàn)，隨著初值的增大，非線性吸振器吸收的能量波動(dòng)較大，雖然在x2=3.5時(shí)(圖4f)，非線性吸振器吸收的瞬時(shí)能量達(dá)到最大值0.25，但主系統(tǒng)振動(dòng)能量也偏大，非線性吸振器不能有效吸收主系統(tǒng)能量，無法有效減振。同樣，x2為1.5，2.0，3.0時(shí)，主系統(tǒng)振動(dòng)能量均偏大，故此初值不利于非線性吸振器系統(tǒng)吸收外部激振能量。

6 系統(tǒng)參數(shù)對能量傳遞的影響

非線性吸振器對結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化較為敏感，為找到使主系統(tǒng)振動(dòng)最小且吸振器工作狀態(tài)最佳(最利于發(fā)電狀態(tài))的結(jié)構(gòu)參數(shù)配置范圍，本文研究了調(diào)諧頻率比、質(zhì)量比和非線性吸振器的阻尼系數(shù)對系統(tǒng)振動(dòng)能量的影響，并找出最優(yōu)的參數(shù)配置區(qū)間。

(1)其他結(jié)構(gòu)參數(shù)保持不變，僅變化調(diào)諧頻率比，來分析最佳調(diào)諧頻率比參數(shù)配置區(qū)間；

(2)在前面研究基礎(chǔ)上，將最佳調(diào)諧頻率比區(qū)間中的某一頻率作為最佳調(diào)諧頻率，其他結(jié)構(gòu)參數(shù)保持不變，僅變化質(zhì)量比，來分析最佳質(zhì)量比參數(shù)配置區(qū)間；

(3)在前面研究基礎(chǔ)上，選擇最佳調(diào)諧頻率比和最佳質(zhì)量比區(qū)間中的某個(gè)頻率和某個(gè)質(zhì)量比，其他結(jié)構(gòu)參數(shù)仍保持不變，僅變化阻尼系數(shù)，來分析最佳阻尼系數(shù)配置區(qū)間。

6.1 最佳調(diào)諧頻率比分析

取系統(tǒng)參數(shù)β=1，μ=0.3，γ1=γ2=0.05，計(jì)算時(shí)間為200～1000 s ，利用式(16)、式(17)求出兩振子的平均能量，非線性吸振器和主系統(tǒng)的平均振動(dòng)能量隨調(diào)諧頻率比f的變化見圖5。

圖5 能量變化曲線圖Fig.5 Curve of energy change

從圖5中可以看出，隨著調(diào)諧頻率比f的增大，主系統(tǒng)振動(dòng)平均能量出現(xiàn)了先減小后增大的趨勢；非線性吸振器出現(xiàn)了上升→下降→上升的總體趨勢，f為0.2～0.4時(shí)出現(xiàn)平均能量的最大值，綜合考慮，選取區(qū)間0.2～0.4為調(diào)頻比的最佳配置區(qū)間。

為更加詳細(xì)且直觀地分析主系統(tǒng)和非線性吸振器的能量傳遞及動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，不失一般性，選取f=0.3進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。圖6為主系統(tǒng)和非線性吸振器的振動(dòng)能量響應(yīng)圖、時(shí)域圖和相圖。

(a)振動(dòng)能量響應(yīng)圖

(b)時(shí)域圖

(c)相圖圖6 系統(tǒng)能量及位移響應(yīng)圖 (f=0.3，β= 1.0，μ=0.3，γ1=γ2=0.05)Fig.6 Diagram of system energy and displacement response (f=0.3，β= 1.0，μ=0.3，γ1=γ2=0.05)

從圖6a中可看出，主系統(tǒng)振動(dòng)能量比非線性吸振器的振動(dòng)能量小得多，非線性吸振器吸收了大部分能量，實(shí)現(xiàn)減振。從圖6b、圖6c中可看出，主系統(tǒng)在零平衡點(diǎn)附近做小幅運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，非線性吸振器在2個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)之間多次越過勢壘，做大幅混沌運(yùn)動(dòng)，處于最佳減振狀態(tài)。

6.2 最佳質(zhì)量比分析

在6.1節(jié)調(diào)諧頻率比研究的基礎(chǔ)上，選取β=1，f=0.3，γ1=γ2=0.05，研究質(zhì)量比μ對系統(tǒng)的能量傳遞影響，圖7所示為非線性吸振器和主系統(tǒng)的平均能量隨質(zhì)量比的變化曲線。

圖7 能量變化曲線圖Fig.7 Curve of energy change

從圖7中可看出，主系統(tǒng)平均能量一直較小，基本保持在0.05附近。非線性吸振器的振動(dòng)能量在質(zhì)量比較小時(shí)出現(xiàn)最大值，之后逐漸趨于恒定，綜合考慮，選0.02～0.15為μ的最佳質(zhì)量比配置區(qū)間。

同樣取配置區(qū)間中的μ=0.1進(jìn)行分析，主系統(tǒng)和非線性吸振器的振動(dòng)能量及動(dòng)力學(xué)響應(yīng)如圖8所示。從圖8a中可以看出，主系統(tǒng)的振動(dòng)能量在小范圍內(nèi)波動(dòng)(比非線性吸振器的振動(dòng)能量小得多)，非線性吸振器吸收了大部分能量，實(shí)現(xiàn)了減振。從圖8b、圖8c中可看出，主系統(tǒng)在零平衡點(diǎn)附近做小幅運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，非線性吸振器在2個(gè)平衡點(diǎn)之間越過勢壘，做大幅混沌運(yùn)動(dòng)。對比圖6c可知，非線性吸振器越過勢壘做大幅混沌運(yùn)動(dòng)的次數(shù)增多，更有利于發(fā)電。

6.3 最佳阻尼系數(shù)分析

(a)振動(dòng)能量響應(yīng)圖

(b)時(shí)域圖

(c)相圖圖8 系統(tǒng)能量及位移響應(yīng)圖 (μ=0.1，f=0.3，β=1.0，γ2=0.05)Fig.8 Diagram of system energy and displacement response (μ=0.1，f=0.3，β=1.0，γ2=0.05)

圖9 能量變化曲線圖Fig.9 Curve of energy change

阻尼對系統(tǒng)能量耗散起著關(guān)鍵作用，研究阻尼系數(shù)γ1對主系統(tǒng)振動(dòng)能量的耗散和非線性吸振器振動(dòng)能量的影響。通過對調(diào)諧頻率比和質(zhì)量比的仿真分析，選取f=0.3，β=1，μ=0.1，γ2=0.05，分析阻尼系數(shù)γ1對主系統(tǒng)和非線性吸振器的平均振動(dòng)能量的影響，系統(tǒng)平均能量隨參數(shù)γ1的變化如圖9所示。從圖9中可以看出，隨著阻尼系數(shù)γ1的增大，主系統(tǒng)的平均能量出現(xiàn)了逐漸下降的趨勢，但下降非常平緩。非線性吸振器出現(xiàn)了上升→最大值→下降→緩慢上升的總體趨勢，γ1<0.05時(shí)，非線性吸振器平均振動(dòng)能量出現(xiàn)了最大值，綜合得出阻尼系數(shù)γ1的最優(yōu)參數(shù)的區(qū)間為0.01～0.05。

取最佳阻尼系數(shù)區(qū)間0.01～0.05中的0.025為研究對象，來分析主系統(tǒng)和非線性吸振器振動(dòng)能量的變化情況。圖10是兩系統(tǒng)的振動(dòng)能量隨時(shí)間的變化和時(shí)域圖及相圖。

(a)振動(dòng)能量響應(yīng)圖

(b)時(shí)域圖

(c)相圖圖10 系統(tǒng)能量及位移響應(yīng)圖(γ1=0.025，f=0.3，β= 1.0，μ=0.3，γ2=0.05)Fig.10 Diagram of system energy and displacement response(γ1=0.025，f=0.3，β= 1.0，μ=0.3，γ2=0.05)

從圖10a中可以看出，主系統(tǒng)振動(dòng)能量比非線性吸振器的振動(dòng)能量小得多，非線性吸振器吸收了大部分能量，實(shí)現(xiàn)了減振。從圖10b、圖10c中可看出，主系統(tǒng)在零平衡點(diǎn)附近做小幅運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，非線性吸振器越過勢壘，做大幅混沌運(yùn)動(dòng)，對比圖6c、圖8c可以看出，非線性吸振器越過勢壘做大幅混沌運(yùn)動(dòng)的次數(shù)更多，更有利于發(fā)電。

綜合比較圖5、圖7、圖9可以發(fā)現(xiàn)，通過系統(tǒng)參數(shù)的逐漸優(yōu)化，主系統(tǒng)的振動(dòng)能量從0.05左右降到了0.04，非線性吸振器的最大振動(dòng)能量逐漸加大，即0.31(圖5)→0.77(圖7)→2.0(圖9)，吸振器吸收了主系統(tǒng)的大部分能量，實(shí)現(xiàn)了最大程度的減振，更利于發(fā)電。

7 結(jié)論

(1)系統(tǒng)初值對主系統(tǒng)和非線性吸振器系統(tǒng)的振動(dòng)能量均有較大影響。當(dāng)系統(tǒng)初值中的吸振器位移、速度及主系統(tǒng)速度均取為零，主系統(tǒng)位移取為0.5時(shí)，主系統(tǒng)振動(dòng)能量最小，吸振器的振動(dòng)能量最大，且波動(dòng)最小，吸振效果最佳。

(2)非線性吸振器對結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化較為敏感，結(jié)合初值仿真結(jié)果，通過逐步優(yōu)化調(diào)諧頻率比、質(zhì)量比和阻尼系數(shù)，獲得了使主系統(tǒng)振動(dòng)能量最小、非線性吸振器振動(dòng)能量最大的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的最佳配置區(qū)間，即調(diào)諧頻率比的最佳配置區(qū)間為0.2～0.4，質(zhì)量比的最佳配置區(qū)間為0.02～0.15，阻尼系數(shù)的最佳配置區(qū)間為0.01～0.05。

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(編輯 張 洋)

Energy Transfer of Nonlinear Vibration Absorber under Colored Noise Excitation

LIU Lilan REN Bolin LI Shuchao ZHANG Xiaojing

School of Mechanical and Instrumental Engineering,Xi’an University of Technology,Xi’an，710048

Bistable oscillator was adopted as nonlinear vibration absorber herein. Mechanics model of main system with a nonlinear vibration absorber system was established. Nondimensional governing equation of the main system with the nonlinear vibration absorber system was obtained under colored noise excitation. Effect laws of structural parameters on vibration energy of the nonlinear vibration absorber and the main system were obtained by means of simulations, such as initial condition, tuning frequency ratio, mass ratio and damping coefficient. Optimal parameter configuration conditions of the nonlinear vibration absorber with maximum vibration energy of vibration absorber and main system with minimum vibration energy were obtained by means of gradual selection of the optimal parameters.

colored noise; nonlinear vibration absorber; mass ratio; tuning frequency ratio; parameter optimization

肖 虎，男，1983年生。南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院博士研究生。主要研究方向?yàn)殁伜辖鸬蜏乩鋮s加工。發(fā)表論文4篇。E-mail:hulimao-715@nuaa.edu.cn。李 亮，男，1971年生。南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院教授。

2016-05-27

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11572243);陜西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2016JM5020)

O322

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.08.002