王玲玲，王 宏，梁 勇

(海軍航空工程學(xué)院，山東 煙臺(tái) 264000)

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【信息科學(xué)與控制工程】

磁懸浮球控制系統(tǒng)的仿真研究

王玲玲，王 宏，梁 勇

(海軍航空工程學(xué)院，山東 煙臺(tái) 264000)

針對(duì)磁懸浮球系統(tǒng)的本質(zhì)不穩(wěn)定性，設(shè)計(jì)PID控制算法實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定控制。建立磁懸浮球系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)其中的非線性部分進(jìn)行平衡點(diǎn)處的線性化，采用根軌跡校正設(shè)計(jì)超前滯后控制器。最后采用PID控制設(shè)計(jì)，并使用根軌跡校正中零極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)性能影響的思想去調(diào)整PID參數(shù)，使系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能滿足要求。

磁懸浮球系統(tǒng)；PID；根軌跡法；校正

磁懸浮可以用于實(shí)現(xiàn)各種機(jī)械結(jié)構(gòu)的高速、無摩擦運(yùn)轉(zhuǎn)，如高速磁懸浮列車、高速磁懸浮電機(jī)、磁懸浮軸承等。盡管磁懸浮的應(yīng)用領(lǐng)域繁多，系統(tǒng)形式和結(jié)構(gòu)各不相同，但究其本質(zhì)都具有本質(zhì)非線性、不確定性、開環(huán)不確定性等特征。這些特征增加了對(duì)其控制的難度，也正是由于磁懸浮的這些特性，使其更加具有研究?jī)r(jià)值和意義。本文針對(duì)磁懸浮球系統(tǒng)，研究其穩(wěn)定控制，并使其性能指標(biāo)滿足要求。

1 磁懸浮球控制系統(tǒng)的基本原理

磁懸浮球控制系統(tǒng)主要由鐵芯、線圈、光電源、位置傳感器、放大及補(bǔ)償裝置、數(shù)字控制器和控制對(duì)象鋼球等部件組成[1]，如圖1所示。

當(dāng)電磁鐵上的線圈繞組通電時(shí)，位于磁場(chǎng)中的剛體受到電磁力的吸引作用。當(dāng)產(chǎn)生的電磁力與球體的重力相等時(shí)，球體懸浮于空中，處于不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，當(dāng)它受到外界擾動(dòng)時(shí)，易失去平衡。因此，為了使系統(tǒng)穩(wěn)定，就必須加上反饋環(huán)節(jié)，實(shí)現(xiàn)閉環(huán)控制，并設(shè)計(jì)控制算法，使穩(wěn)定后的性能滿足要求。

圖1 磁懸浮球系統(tǒng)示意圖

2 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立

2.1 理論分析

如果忽略電磁鐵的感抗對(duì)系統(tǒng)的影響，磁懸浮系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可以完全由豎直方向運(yùn)動(dòng)方程和電磁力方程給出：

(1)

式中取向下方向?yàn)檎?/p>

(2)

F(i,x)為電磁力且為矢量(N)；x為小球質(zhì)心到電磁鐵磁極表面的瞬時(shí)氣隙(m)；i為電磁鐵繞組中的瞬時(shí)電流(A)；m為小球質(zhì)量(kg)。

式(2)中，假設(shè)磁通在氣隙處均勻分布，且電磁鐵與球體組成的磁路的磁阻主要集中在氣隙處；常系數(shù)K為與空氣磁導(dǎo)濾等定參數(shù)相關(guān)的量[1-3]。

假設(shè)平衡點(diǎn)處小球的位移為x0，電磁鐵線圈電流為i0，則平衡點(diǎn)處：

(3)

2.2 系統(tǒng)模型的線性化處理

對(duì)式(2)進(jìn)行平衡點(diǎn)處的泰勒展開并線性化有

(4)

當(dāng)定義系統(tǒng)輸入量為電流，輸出量為氣隙，對(duì)上式兩端進(jìn)行拉式變換可得傳遞函數(shù)模型為

(5)

在實(shí)際系統(tǒng)中采用電壓值表示對(duì)氣隙和電流的控制，其中電壓與氣隙的關(guān)系需要通過傳感器標(biāo)定得出，其關(guān)系式為

Uo=Ksx

(6)

其中Ks為氣隙與電壓的關(guān)系系數(shù)(V/mm)。

而電壓和電流的關(guān)系采用電壓-電流型功率放大器表示，在功率放大器的線性范圍內(nèi)，可以將這種電壓電流關(guān)系表示為：

(7)

其中，Ka為功率放大器的增益。

如此結(jié)合式(6)與式(7)，氣隙-電流模型式(5)變?yōu)?/p>

(8)

(9)

(10)

2.3 實(shí)際物理參數(shù)

表1給出具體參數(shù)值，當(dāng)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)不同時(shí)，參數(shù)要重新測(cè)量。另外，即便針對(duì)同一套系統(tǒng)，如果更改平衡位置時(shí)，帶有符號(hào)*的參數(shù)要根據(jù)實(shí)際進(jìn)行測(cè)量和計(jì)算[1-3]。

表1 系統(tǒng)的物理參數(shù)值

將參數(shù)代入式(9)與式(10)得到

(11)

(12)

可以看出系統(tǒng)有一個(gè)極點(diǎn)位于復(fù)平面的右半平面，根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)，磁懸浮球系統(tǒng)是本質(zhì)不穩(wěn)定的。在Matlab中進(jìn)行編程判斷系統(tǒng)的可控性和可觀性[4-7]，可以得到系統(tǒng)的可控矩陣和可觀矩陣的秩為2，即系統(tǒng)狀態(tài)可控矩陣的秩等于系統(tǒng)的狀態(tài)變量維數(shù)，系統(tǒng)的輸出可控矩陣的秩等于系統(tǒng)輸出向量的維數(shù)，所以磁懸浮實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)既是可控又是可觀，因此可以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，使系統(tǒng)穩(wěn)定。

3 根軌跡控制設(shè)計(jì)

當(dāng)系統(tǒng)的性能指標(biāo)以時(shí)域指標(biāo)提出時(shí)，可以借助根軌跡曲線獲取校正裝置的結(jié)構(gòu)和參數(shù)。若期望主導(dǎo)極點(diǎn)在原根軌跡的左側(cè)，則采用相位超前校正；若期望主導(dǎo)極點(diǎn)在原根軌跡上，則通過調(diào)整根軌跡增益，滿足靜態(tài)性能要求；若期望主導(dǎo)極點(diǎn)在原根軌跡的右側(cè)，則采用相位滯后校正[8]。

3.1 使用根軌跡法設(shè)計(jì)磁懸浮球系統(tǒng)控制器

3.1.1 超前控制器的設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)控制器使得校正后的系統(tǒng)滿足如下要求：調(diào)節(jié)時(shí)間ts≤0.2 s(2%)；超調(diào)量σ≤10%；穩(wěn)態(tài)精度階躍輸入下ess≤0.05。按照超前校正的步驟，通過Matlab編程得到系統(tǒng)的串聯(lián)超前校正控制器為

(13)

令輸入為單位階躍，得系統(tǒng)根軌跡如圖2，單位階躍響應(yīng)如圖3。

圖2 磁懸浮系統(tǒng)超前校正后的根軌跡

圖3 一次超前校正后的單位階躍響應(yīng)

通過系統(tǒng)的階躍響應(yīng)可以分析得出：

1) 系統(tǒng)無超調(diào)，調(diào)節(jié)時(shí)間大約需要1.5 s，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差較大；

2) 在10%的超調(diào)要求下可設(shè)計(jì)出校正環(huán)節(jié)階躍響應(yīng)無超調(diào)，說明超前校正對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能具有較好的調(diào)節(jié)作用。但過于平滑的過渡過程使系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間變慢，因此可以考慮適當(dāng)降低過渡過程平穩(wěn)性，使系統(tǒng)的調(diào)節(jié)過程加快；

3) 系統(tǒng)的靜態(tài)誤差較大，超前對(duì)于穩(wěn)態(tài)誤差的改善較弱，可以采用滯后裝置改善。

3.1.2 滯后控制器的設(shè)計(jì)

通過上述一次超前校正，控制系統(tǒng)開環(huán)傳函為

根據(jù)穩(wěn)態(tài)指標(biāo)的系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù)K0≈20；代入滯后校正的設(shè)計(jì)公式

(14)

可得到b=0.053 64。

選取T值，可得到滯后網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)。取T=3時(shí)，系統(tǒng)的根軌跡如圖4。

圖4 超前滯后校正后的根軌跡

圖5 多次超前滯后校正的單位階躍響應(yīng)

另外，在實(shí)際設(shè)計(jì)超前滯后網(wǎng)絡(luò)時(shí)，應(yīng)將其作為一個(gè)元部件設(shè)計(jì)，而不是把超前校正和滯后校正作為分離元件分別引入。

4 PID控制器的設(shè)計(jì)

利用Matlab中的Simulink設(shè)計(jì)含有PID控制器的閉環(huán)控制系統(tǒng)。其中,Kp為比例參數(shù)，Ki為積分參數(shù)，Kd為微分參數(shù)。

根據(jù)PID參數(shù)校正的方式，先將積分微分系數(shù)設(shè)為零，只調(diào)比例環(huán)節(jié)。當(dāng)輸出由發(fā)散調(diào)至等幅振蕩時(shí)，Kp=0.6，如圖6所示。從圖中可以看出，在5 s內(nèi)有約13.5個(gè)周期，故周期約為Pcr=6 s/13.5≈0.44 s。

圖6 Kp=0.6時(shí)的系統(tǒng)仿真圖

圖7 Kp=0.36、Ki=4.55、Kd=0.055時(shí)

通過分析知道，PID控制器傳函可以表示為

(15)

所增加的積分環(huán)節(jié)可以調(diào)整系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，增加兩個(gè)開環(huán)零點(diǎn)可以調(diào)整系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。其零點(diǎn)公式為

(16)

讓附加的開環(huán)零點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸，最直接的方式就是增大Kp。當(dāng)Kp增大至1.5時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)曲線如圖9所示，此時(shí)系統(tǒng)的超調(diào)過大。根據(jù)PID參數(shù)調(diào)節(jié)規(guī)則繼續(xù)調(diào)節(jié)參數(shù)，當(dāng)Kp=30，Ki=7，Kd=0.1時(shí)，系統(tǒng)仿真曲線如圖10所示，系統(tǒng)的性能指標(biāo)達(dá)到要求。

圖8 Kp=0.36、Ki=4.55、Kd=0.055根軌跡圖

圖9 Kp=1.5、Ki=4.55、Kd=0.055仿真圖

圖10 Kp=30、Ki=7、Kd=0.1仿真曲線

將上述參數(shù)代入實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)進(jìn)行仿真，得到圖11所示的仿真曲線，可以看出磁懸浮球系統(tǒng)在PID控制下可以實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定控制，終值范圍在±0.01 mm間波動(dòng)。當(dāng)系統(tǒng)受到擾動(dòng)時(shí)，可很快回復(fù)到平衡位置。

圖11 磁懸浮球系統(tǒng)的半實(shí)物仿真曲線

5 結(jié)論

本文分析了磁懸浮球系統(tǒng)模型，并使用根軌跡方法進(jìn)行了超前滯后控制器的設(shè)計(jì)。仿真表明超前滯后控制器僅可改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性，很難大幅改善動(dòng)態(tài)性能。以根軌跡中開環(huán)零極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)性能影響的思路，設(shè)計(jì)PID控制器并進(jìn)行參數(shù)調(diào)試，可以快速調(diào)整系統(tǒng)性能至最佳。

[1] 磁懸浮實(shí)驗(yàn)裝置[R].固高科技(深圳)有限公司，2006.

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(責(zé)任編輯 楊繼森)

Simulation and Research of Magnetic Levitation Ball Control System

WANG Ling-ling, WANG Hong, LIANG Yong

(Naval Aeronautical and Astronautical University, Yantai 264000, China)

In order to solve the nature unstable feature of the magnetic levitation ball system, PID control algorithm was designed to realize the stability of the system. But traditional method for parameters adjustments had some subjectivity. Firstly, the dynamic model of the magnetic levitation ball system was established, and the nonlinear part of the system was linearized at the equilibrium point. Then the root locus method was used to design the lead lag compensator, and it was shown by the simulation results that the dynamic performance was difficult to meet the demands, although it can be stable. Thus PID control was adopted. And the thinking of the influence of open loop zeros and poles on root locus was adopted to correct parameters, which made the parameters adjustments have guidance. Finally the system was compensated to meet the requirements for stability, accuracy and swiftness.

magnetic levitation ball system; PID; root locus method; compensation

2016-11-26；

2016-12-26 作者簡(jiǎn)介：王玲玲(1984—)，女，碩士，講師，主要從事控制技術(shù)研究。

10.11809/scbgxb2017.04.027

王玲玲，王宏，梁勇.磁懸浮球控制系統(tǒng)的仿真研究[J].兵器裝備工程學(xué)報(bào)，2017(4):122-126.

format:WANG Ling-ling, WANG Hong, LIANG Yong.Simulation and Research of Magnetic Levitation Ball Control System[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2017(4):122-126.

TP27

A

2096-2304(2017)04-0122-05