張民悅， 連愛玲

(蘭州理工大學理學院， 蘭州730050)

開關壽命連續(xù)型且部件修復非新的溫貯備可修系統(tǒng)

張民悅， 連愛玲

(蘭州理工大學理學院， 蘭州730050)

主要討論在開關不完全可靠、部件修復非新且修理工可多重休假的情況下，通過假定部件的工作壽命、貯備壽命、轉換開關的壽命以及部件1的修理時間均服從指數(shù)分布，修理工的休假時間、開關和部件2的修理時間均服從一般連續(xù)型分布，分析討論系統(tǒng)可能出現(xiàn)的狀態(tài)，利用補充變量法將其擴充為廣義Markov過程，再建立狀態(tài)微分方程，并應用Laplace變換及其反演，得到系統(tǒng)的可用度、故障頻度、系統(tǒng)等待修理的概率與修理工休假的概率、可靠度及首次故障前平均時間等重要可靠性指標。最后給出了在開關完全可靠的情形下，即修理工多重休假且部件修復非新，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)指標。

開關壽命連續(xù)型；修復非新；修理工多重休假；補充變量法；廣義Markov過程；Laplace變換

引言

溫貯備系統(tǒng)是可靠性模型中比較重要的模型之一[1-2]，此類模型從實際出發(fā)，考慮了部件在貯備過程中也會發(fā)生失效的情況。文獻[3]研究了2個不同部件溫貯備系統(tǒng)的幾何模型。文獻[4-5]研究了具有優(yōu)先權的溫貯備系統(tǒng)。以上文獻均未考慮修理工休假的情況，在實際中，修理工休假對系統(tǒng)有重要的作用，文獻[6-8]把修理工休假的情況引入到溫貯備系統(tǒng)中，研究了修理工休假情況下系統(tǒng)的可靠性。在貯備系統(tǒng)中，貯備部件通常需要轉換開關來轉換，文獻[9]分析了開關不完全可靠的情況下系統(tǒng)的可靠性。文獻[10]考慮了開關不完全可靠和修理工多重休假兩種因素下的溫貯備系統(tǒng)可靠性。

上述文獻都是假定在部件能夠修復如新的情況下研究的，但在實際生活中，失效部件隨著修理次數(shù)的增多，其使用壽命會越來越短，故障修理時間會越來越長。文獻[11-12]是修理工在不同休假情況下部件不能修復如新的溫貯備系統(tǒng)。文獻[13-14]研究的是修復非新的并聯(lián)系統(tǒng)。

本文在以上文獻的基礎上對部件不能修復如新的溫貯備可修系統(tǒng)進行延伸，綜合考慮了修理工休假、開關不完全可靠以及部件修復非新等因素下，應用補充變量法和廣義Markov過程法得到系統(tǒng)的主要可靠性指標。

1模型假定

根據(jù)已有文獻對系統(tǒng)模型做如下假定：

(1) 系統(tǒng)由兩個不同型部件、一個不完全可靠的轉換開關和一個多重休假的修理工組成。初始時刻，系統(tǒng)良好，部件1工作，部件2溫貯備，修理工休假。

(2) 部件1比部件2有優(yōu)先使用權和修理權，修理工采用多重休假的策略。

(3) 定義系統(tǒng)的第n次循環(huán)是從部件第n-1次修理完成到第n次修理完成之間的時間間隔，n=1,2,3,…。

W(t)=1-exp{-βt},β>0

開關的壽命和修理時間分別記為L,GK，其分布分別為：

L(t)=1-exp{-pt},p>0

修理工每次休假時間H(t)分布函數(shù)為：

(5)隨機變量之間均相互獨立。

2系統(tǒng)的狀態(tài)方程及其求解

令Nn(t)表示系統(tǒng)在時刻t時所處的狀態(tài)，則系統(tǒng)可能的狀態(tài)如下：

0=(a,b,c,e),1=(a,b,d,e),2=(a,g,c,e)

3=(a,g,d,e),4=(f,h,c,e),5=(f,h,d,e)

6=(a,b,k),7=(a,g,k),8=(f,h,k),9=(i,h,c)

10=(i,h,d),11=(a,j,c),12=(a,j,d)

13=(f,g,c,e),14=(f,g,d,e),15=(f,b,d,e)

16=(f,b,k),17=(f,g,k),18=(i,g,c)

19=(i,g,d),20=(f,j,c),21=(f,j,d)

其中：a表示部件1工作，b表示部件2貯備，c表示開關正常，d表示開關失效，e表示修理工休假，f表示部件1失效，g表示部件2失效，h表示部件2工作，i表示部件1修理，j表示部件2修理，k表示開關修理。顯然，系統(tǒng)的狀態(tài)空間為：

E={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13, 14,15,16,17,18,19,20,21}

系統(tǒng)的工作狀態(tài)F={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},系統(tǒng)的故障狀態(tài)W={13,14,15,16,17,18,19,20,21},此模型過程不是Markov過程，引入補充變量：X(n)(t)表示在時刻t時系統(tǒng)在第n次循環(huán)中修理工已用去的休假時間，Y(n)(t)表示在時刻t時系統(tǒng)在第n次循環(huán)中正在被修理的部件已用去的修理時間，Z(n)(t)表示在時刻t時系統(tǒng)在第n次循環(huán)中開關已用去的修理時間，則{N(n)(t),X(n)(t),Y(n)(t),Z(n)(t)}構成一個廣義Markov過程，系統(tǒng)在時刻t的狀態(tài)概率定義為：

Pi(t,x)dx=P{N(n)(t)=i,x≤X(n)(t)

i=0,1,2,3,4,5,13,14,15

Pj(t,y)dy=P{N(n)(t)=j,y≤Y(n)(t)

j=9,10,11,12,18,19,20,21

Pk(t,z)dz=P{N(n)(t)=k,z≤Z(n)(t)

k=6,7,8,16,17

為了計算的方便，引入以下變換：

拉普拉斯變換：

拉普拉斯司梯階變換：

由偏微分方程理論可得系統(tǒng)各狀態(tài)概率微分方程組：

pP2(t,x)+βP1(t,x)

?P4(t,x)

an-1λP3(t,x)+?P5(t,x)

βP16(t,z)+?P8(t,z)

an-1λP12(t,y)

初始條件：P0(0,0)=1，其余為0，邊界條件：

Pi(t,0)=0,i=1,2,3,4,5,10,12,13,14,15,19,20,21

-D3)+(D6+k2h(s+an-1λ+β+p))(g(s)-

g(s+?))+(h(s+p)-k1(D5+h(s+?+p))]

其中記

D1=h(s)-h(s+p)

D2=h(s+an-1λ)-h(s+an-1λ+p)

D3=g(s+an-1λ)-g(s+an-1λ+β)

D4=h(s+an-1λ+β)-h(s+an-1λ+β+p)

D5=h(s+an-1λ+p)-h(s+an-1λ+β+p)

D6=h(s+?)-h(s+?+p)

D7=g2(s+an-1λ)-g2(s+an-1λ+p)

D8=h(s+?+p)-h(s+an-1λ+β+p)

N=D8+(D6+k2h(s+an-1λ+β+p))g(s+?)]

3系統(tǒng)的可靠性分析

3.1系統(tǒng)的可用度

定理1系統(tǒng)的瞬時可用度為A(t)，其Laplace變換A*(s)和穩(wěn)態(tài)可用度A分別為

(1)

(2)

其中

Λ0=Γ1+Γ2

證明由系統(tǒng)瞬時可用度定義得

3.2系統(tǒng)的故障頻度

定理2系統(tǒng)的瞬時故障頻度為W(t)，其Laplace變換為

(3)

穩(wěn)態(tài)故障頻度為

(4)

其中

證明由文獻[15]，有

3.3系統(tǒng)等待修理的概率與修理工休假的概率

定理3記t時刻，系統(tǒng)等待修理的概率與修理工休假的概率分別為P1(t),P2(t),其Laplace變換分別為

(5)

(6)

系統(tǒng)等待修理概率和修理工休假概率的穩(wěn)態(tài)結果分別為

(7)

(8)

其中

(1-h(s+?))+?k1k4N+(D4+D7M+k1D6+

(1-h(s+an-1λ+β+p)

(1-h(an-1λ+β+p)

k1k2h(an-1λ+β+p))(1-g(0))+

證明

作Laplace變換，并將相應各狀態(tài)方程的解帶入即可得式(5)和(6)，再根據(jù)Tanber定理，并應用洛必達法則，得式(7)和(8)。

4系統(tǒng)的可靠度和首次故障前的平均時間

由偏微分方程理論可得微分方程組：

βQ1(t,x)

初始條件：Q0(0,0)=1，其余為0，邊界條件：

Qi(t,0)=0,i=1,2,3,4,5,10,12

對上述各式作Laplace變換并求解可得相應的

定理4系統(tǒng)可靠度R(t)的Laplace變換為

(9)

系統(tǒng)首次故障前的平均時間為

(10)

其中

(1-h(an-1λ+β+p))

證明由可靠度定義得

5實例分析

若系統(tǒng)的部件能夠修復如新，且兩個部件同型，即系統(tǒng)轉化為開關連續(xù)型且修理工多重休假的兩同型部件溫貯備系統(tǒng)，其相關可靠性指標見文獻[10]。

若系統(tǒng)的轉換開關完全可靠，且轉換瞬間完成，即系統(tǒng)轉化為轉換開關完全可靠的修復非新的溫貯備系統(tǒng)。假定兩部件的工作時間、修理時間、貯備時間以及修理工休假時間的分布都與上述模型中的假定一樣，用補充變量法和廣義Markov過程，再用Laplace變換，得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)指標。

穩(wěn)態(tài)可用度

(11)

穩(wěn)態(tài)故障頻度

(12)

其中

Δ0=1-g2(an-1λ)[h(an-1λ)-h(an-1λ+β)]+e-bn-1μy[h(?)-h(?+an-1λ)]

g2(an-1λ)[h(an-1λ)-h(an-1λ+β)]

h(?+an-1λ)]

6結束語

本文研究了由兩個不同部件、一個修理工組成的開關不完全可靠的溫貯備可修系統(tǒng)，考慮了在開關壽命連續(xù)型、修理工多重休假和部件1不能修復如新的條件下，利用補充變量法和Laplace變換等工具得到了系統(tǒng)的主要可靠性指標。本文研究結果是在已有文獻研究結果上的進一步延伸，具有一定的理論價值，為工程實踐和實際生活提供了有力的依據(jù)。

[1] 曹晉華,程侃.可靠性數(shù)學引論[M].北京:高等教育出版社,2006.

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Switch-continuous and Non-new Workpiece-composed Repairable Warm Standby System

ZHANGMinyue,LIANAiling

(School of Science, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China)

Taking consideration of the incomplete reliability of switches and the non-new workpiece-composed repairable warm standby system, as well as the multiple vacation of repairman, the lifetime and storage time of workpieces, the durability of switches and the repair time of workpiece one are assumed to follow the exponential distribution; and that the multiple vacation of repairman and the repair time of switches and workpiece two are assumed to follow the ordinary continuous distribution. Supplementary variable method is applied to extend as Markov Modal in broad sense and to establish differential calculus equation. Laplace Transform and Inversion are applied to gain systemic reliability indexs such as system availability, system failure repeatability, probability of waiting to be repaired for system, probability of repairman is on vacation, system reliablity and mean time to first time. Finally, a concrete example is given under the warm standby repairable system under completely reliable switch which has approach of multiple vacation for repairman and repair non-new.

the service time of continuous switch; non-new and repairable; multiple vacation of repairmen; supplementary variable approach; Markov Modal in broad sense; Laplace Transform

2016-11-21

甘肅省自然科學基金(3ZS042-B25-016)；甘肅省科技計劃項目(1508RJZA101)

張民悅(1958-)，男，河南南樂人，教授，主要從事可靠性數(shù)學理論及其應用方面的研究，(E-mail)zhangminyue@lut.cn； 連愛玲(1990-)，女，甘肅白銀人，碩士生，主要從事可靠性數(shù)學理論及其應用方面的研究，(E-mail)1558201667@qq.com

1673-1549(2017)02-0090-08

10.11863/j.suse.2017.02.18

O213.2

A