李阿娜,孫華東,景永強(qiáng)

(中北大學(xué) 理學(xué)院, 太原 030051)

?

基于交易費(fèi)用的信息控制投資組合模型

李阿娜,孫華東,景永強(qiáng)

(中北大學(xué) 理學(xué)院, 太原 030051)

通過將信息風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)引入投資組合模型，構(gòu)建更加符合實(shí)際的帶交易費(fèi)用的信息控制模型，與傳統(tǒng)的帶交易費(fèi)用的投資組合模型進(jìn)行了比較，并且通過數(shù)學(xué)規(guī)劃中的罰函數(shù)算法對模型進(jìn)行求解，完成了模型的實(shí)證分析，驗(yàn)證了該模型和罰函數(shù)算法的有效性。

交易費(fèi)用；數(shù)學(xué)模型；罰函數(shù)；信息控制；組合投資

從1952年馬克維茨針對組合投資問題提出了均值-方差模型以來[1],最優(yōu)化在組合投資問題中的應(yīng)用已受到越來越多的研究人員及投資者的關(guān)注[2-8]。投資組合的組合優(yōu)化模型可以降低投資中的非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn),達(dá)到分散風(fēng)險(xiǎn)的目的,然而針對具體的非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)構(gòu)建的投資組合模型還較少[8-10]。因此,本文將非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)中的信息風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)引入投資組合優(yōu)化模型中,構(gòu)建了帶交易費(fèi)用的信息控制投資組合優(yōu)化模型,提出了改進(jìn)的罰函數(shù)算法，并對模型進(jìn)行求解,與傳統(tǒng)的帶交易費(fèi)用的投資組合模型進(jìn)行比較,驗(yàn)證了模型和算法的有效性。

1 帶交易費(fèi)用的投資組合模型

假設(shè)投資組合模型中的收益函數(shù)用線性函數(shù)來表示，加入交易費(fèi)用函數(shù)后投資組合的收益比原來的投資組合的收益有所降低，由于資產(chǎn)交易過程中需要使用一部分收益用于支付交易傭金，則投資組合的收益函數(shù)表示為

g(x,r)=xTr-c(x)

其中：x表示資產(chǎn)的投資權(quán)重的向量；r表示資產(chǎn)收益率向量。

由于交易費(fèi)用是從投資者的資本總額中扣除的，因此總的資本額的約束條件也發(fā)生了相應(yīng)的變化，新的投資總額的約束條件可表示為

基于交易費(fèi)用函數(shù)的投資組合問題可通過如下模型表示：

其中：向量x表示引入交易費(fèi)用函數(shù)模型的資產(chǎn)配置權(quán)重；向量r表示每種資產(chǎn)的收益率；E(R)表示引入交易費(fèi)用函數(shù)模型投資組合的期望收益，wi為第i種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的單位交易費(fèi)用； c(x)表示投資組合的交易費(fèi)用函數(shù)； ck(xk)表示資產(chǎn)k所需交納的費(fèi)用。帶交易費(fèi)用的投資組合模型是含有絕對值函數(shù)的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，由于絕對值函數(shù)是非光滑的，因此該模型為非光滑的二次數(shù)學(xué)規(guī)劃模型。

2 帶交易費(fèi)用的信息控制投資組合模型

由于信息控制函數(shù)的變化量可導(dǎo)致投資者對投資組合進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整，進(jìn)而影響整個(gè)組合投資的收益率，因此信息控制函數(shù)對資產(chǎn)收益率的影響可表示為

則總的資本額的約束條件也發(fā)生了相應(yīng)的變化,引入信息函數(shù)后的投資總額的約束條件可表示為

帶交易費(fèi)用的信息控制投資組合模型可表示為：

3 模型的求解

由于交易費(fèi)用函數(shù)中含有非交易的絕對值函數(shù)，則帶交易費(fèi)用的信息控制投資組合模型為非光滑的二次數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，為模型的求解帶來困難。針對非光滑的交易費(fèi)用函數(shù)，可通過變換進(jìn)行求解。

針對絕對值函數(shù)作以下變換，令

那么uk滿足：

因此，帶有交易費(fèi)用函數(shù)的信息控制投資組合模型可轉(zhuǎn)換為

該模型為二次規(guī)劃模型，本文通過罰函數(shù)算法進(jìn)行求解。首先通過罰函數(shù)將帶約束的模型轉(zhuǎn)化為無約束的非線性規(guī)劃模型，然后通過無約束規(guī)劃問題的相應(yīng)求解方法進(jìn)行該模型的求解。

定義1 稱

為帶交易費(fèi)用的信息控制投資組合模型的罰函數(shù)模型，

為上述的帶紅利的信息控制投資組合優(yōu)化模型的罰函數(shù)，σ>0為罰因子，其中

罰函數(shù)算法步驟如下：

步驟1 選定變量的初始點(diǎn)為x0；選取罰函數(shù)的初始罰因子σ1>0(可取σ1=1)，罰因子的放大系數(shù)c>1(可取c=10)；置k=1。

步驟3 若σkQ(x)<ε，則xk就是所要求的最優(yōu)解，停止；否則轉(zhuǎn)下一步。

步驟4 置σk+1=cσk；k=k+1，轉(zhuǎn)步驟2。

因?yàn)閼土P項(xiàng)的特點(diǎn)，當(dāng)k趨向于無窮大時(shí)，隨著σk的不斷增大，對每個(gè)不可行點(diǎn)的懲罰σkQ(x) 也將不斷的增大并且趨向于無窮。所以，在對應(yīng)于σk的約束極小化問題的最優(yōu)解xk處，σkQ(x)的值應(yīng)該是不斷地減小，從而保證xk逐步趨向于可行并最終得到上述問題的最優(yōu)解。

4 實(shí)證分析

對本文提出的帶有交易費(fèi)用函數(shù)的信息控制投資組合模型及其相應(yīng)的罰函數(shù)算法進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)和實(shí)證分析。依據(jù)行業(yè)背景和公司的成長性分析，選取大秦鐵路(601006)、申能股份(600642)、青島海爾(600690)、豐樂種業(yè)(000713)、華東醫(yī)藥(000963)、成霖股份(002047)、華神集團(tuán)(000790)、如意集團(tuán)(000626)8只股票進(jìn)行實(shí)證研究。 收集這8只股票從2010年1月—2015年12月的月平均收益率(數(shù)據(jù)來源于www.ytarsc.com)，通過每種資產(chǎn)的歷史資產(chǎn)收益的數(shù)據(jù)計(jì)算每只股票收益率的均值和方差。如表1所示，采用蒙特卡羅法進(jìn)行每種資產(chǎn)收益率的數(shù)據(jù)模擬[11-12]。本文選取的模擬數(shù)據(jù)的樣本數(shù)為30 000，模型中參數(shù)的初始化數(shù)據(jù)如表2所示。

表1 資產(chǎn)的期望與方差

表2 模型參數(shù)的初始化數(shù)據(jù)

1) 通過設(shè)定不同的投資者預(yù)期收益率，應(yīng)用Matlab軟件對帶有交易費(fèi)用的投資組合模型進(jìn)行求解，計(jì)算結(jié)果如表3、表4和圖1所示。將帶交易費(fèi)用的投資組合模型簡記為CP模型。 表3為在投資者的預(yù)期收益率為10%時(shí)，通過計(jì)算得出的帶交易費(fèi)的模型的計(jì)算結(jié)果。表3表明在預(yù)期收益率一定時(shí)，通過配置風(fēng)險(xiǎn)較小、收益率較高的資產(chǎn)可達(dá)到投資組合的風(fēng)險(xiǎn)最小化。表4為帶交易費(fèi)用的模型在不同預(yù)期收益率下得到的投資組合的目標(biāo)值，即風(fēng)險(xiǎn)值。 由表4和圖1可知：隨著預(yù)期收益率的增大，其相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值也增大，符合收益越大風(fēng)險(xiǎn)越大的投資規(guī)律。表3、表4表明了本文提出的模型和算法的有效性，為投資者提供了一定的決策性參考。

表3 帶交易費(fèi)的投資組合模型的計(jì)算結(jié)果

表4 不同預(yù)期收益率下CP模型的計(jì)算結(jié)果

圖1 不同預(yù)期收益率下CP模型的計(jì)算結(jié)果

2) 設(shè)定不同的投資者的預(yù)期收益率，通過Matlab軟件對帶交易費(fèi)用的信息控制投資組合優(yōu)化模型進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果如表5、表6和圖2所示。將帶紅利的信息控制投資組合模型簡記為CIP模型。

表5表示在投資者的預(yù)期收益率為10%時(shí)，通過Matlab計(jì)算的帶交易費(fèi)用的信息控制投資組合優(yōu)化模型的結(jié)果，驗(yàn)證了該模型及其相應(yīng)的罰函數(shù)算法的有效性。通過對比表3發(fā)現(xiàn)：帶交易費(fèi)用的信息控制模型具有較低的投資組合風(fēng)險(xiǎn)。投資者將帶有不利信息的資產(chǎn)賣出，增持帶有利信息的資產(chǎn)，從而獲得風(fēng)險(xiǎn)更低的投資組合。通過設(shè)定不同的預(yù)期收益率，利用帶交易費(fèi)用的信息控制模型得到其相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)值，如表6和圖2所示。表6表明：預(yù)期收益率越高，資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)越大，符合高風(fēng)險(xiǎn)高收益，低風(fēng)險(xiǎn)低收益的投資規(guī)律。通過對比表4和表6，發(fā)現(xiàn)帶交易費(fèi)用的信息控制模型更符合實(shí)際，能更好地為投資者提供投資決策。

表5 帶交易費(fèi)用的信息控制投資組合

表6 不同的預(yù)期收益率下CIP模型的計(jì)算結(jié)果

圖2 不同的預(yù)期收益率下CIP模型的計(jì)算結(jié)果

3) 通過設(shè)定不同的交易費(fèi)用比例，應(yīng)用matlab軟件對帶交易費(fèi)用的信息控制投資組合模型進(jìn)行求解，所得結(jié)果如表7和圖3所示。結(jié)果表明：隨著交易費(fèi)用比例的增大，目標(biāo)函數(shù)值在逐漸變小，資產(chǎn)配置的分散程度逐漸變小，由于交易費(fèi)用的增大，資產(chǎn)收益降低，從而導(dǎo)致投資組合的風(fēng)險(xiǎn)值降低，且基于信息控制的投資組合模型比一般的投資組合模型具有更低的風(fēng)險(xiǎn)。

表7 不同的交易費(fèi)用比例下CIP模型的計(jì)算結(jié)果

圖3 不同的交易費(fèi)用比例下CIP模型的計(jì)算結(jié)果

5 結(jié)束語

本文通過將信息風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)引入投資組合模型，構(gòu)建更加符合實(shí)際的帶交易費(fèi)用的信息控制模型，與傳統(tǒng)的帶交易費(fèi)用的投資組合模型進(jìn)行了比較，并且通過數(shù)學(xué)規(guī)劃中的罰函數(shù)算法對模型進(jìn)行求解。進(jìn)行了模型的實(shí)證分析，驗(yàn)證了該模型和罰函數(shù)算法的有效性。實(shí)證分析結(jié)果表明：同傳統(tǒng)的帶交易費(fèi)用的模型相比，帶交易費(fèi)用的信息控制模型具有較低的投資組合風(fēng)險(xiǎn)，且隨著投資者預(yù)期收益率的不斷提高，模型的目標(biāo)值也逐漸增大，即投資組合的風(fēng)險(xiǎn)在逐步增加。

[1] HARRY M．Portfolio selection[J]．Journal of Finance,1952,7(1)：113-124.

[2] SHARPE W F.A Simplified Model for Portfolio Analysis[J].Management Science,1963,(3):13-26.

[3] EASTHAM J E,HASTING K J.Optimal impulse control of portfolios[J].Mathematical Programming,2008(4):11-24.

[4] 趙春峰.基于條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(CVaR)投資組合模型的分析及應(yīng)用[D].成都:西南財(cái)經(jīng)大學(xué),2010.

[5] 梁素紅.組合投資數(shù)學(xué)模型發(fā)展的研究[D].長春:吉林大學(xué),2011.

[6] 王貞.幾類投資組合優(yōu)化模型及其算法[D].西安:西安電子科技大學(xué),2012.

[7] 申飛飛,楊柳.基于CVaR的債券投資組合模型[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué),2014(2):56-59.

[8] 楊梅.凸規(guī)劃和模糊線性規(guī)劃模型在組合投資中的應(yīng)用[J].統(tǒng)計(jì)與決策,2013(10):59-63.

[9] 張波,陳睿君,路璐.粒子群算法在投資組合中的應(yīng)用[J].系統(tǒng)工程,2007,25(8):108-110.

[10]文鳳華,馬超群,陳牡妙,等.一致性風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值及其算法與實(shí)證研究[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐.2004,24(10)：15-21.

[11]BOUDOUKH J,WHITELAW R.The benchmark effect in the Japanese government bood market[J].Applied Mathematics and Computation,2009,(2):23-38.

[12]KONNO H,YAMAKAZI H.Mean-absolute deviation portfolio optimization model and its applications to Tokyo stock market[J].SIAM Journal on Optimization,2007(4):112-131.

(責(zé)任編輯 陳 艷)

Model of Portfolio Optimization Based on Information Control and Transaction Cost

LI A-na, SUN Hua-dong, JING Yong-qiang

(School of Science, North University of China, Taiyuan 030051, China)

This paper constructed a more realistic portfolio information control model with transaction costs and the information risk function, and the information control portfolio model with transaction costs was compared to the traditional portfolio model with transaction costs. The model was solved by the penalty function algorithm in mathematical programming. The validity of the model and penalty function algorithm was verified through the empirical analysis of the model.

transaction cost; mathematical model; penalty function; information control; portfolio

2016-01-12

電子測試技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室基金資助項(xiàng)目(9140C120401080C12)；中北大學(xué)科學(xué)基金資助項(xiàng)目(201406)

李阿娜(1989—)，女，山西運(yùn)城人，碩士研究生，主要從事最優(yōu)化模型及其數(shù)值方法研究，E-mail:454252140@qq.com; 孫華東(1965—)，男，教授，碩士生導(dǎo)師，主要從事彈塑性動力學(xué)、計(jì)算力學(xué)研究。

李阿娜,孫華東,景永強(qiáng).基于交易費(fèi)用的信息控制投資組合模型[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué))，2017(4):163-168.

format：LI A-na, SUN Hua-dong, JING Yong-qiang.Model of Portfolio Optimization Based on Information Control and Transaction Cost[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(4):163-168.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.04.027

F830.59

A

1674-8425(2017)04-0163-06