海蓮1)2) 張莎1)2) 李維銀1)2) 譚磊3)

1)(北方民族大學(xué)電氣信息工程學(xué)院,銀川 750021)

2)(北方民族大學(xué)物理與光電信息功能材料重點實驗室,銀川 750021)

3)(蘭州大學(xué)理論物理研究所,蘭州 730000)

1 引 言

耦合腔陣列中光子和原子的量子操控研究不僅是量子光學(xué)的基礎(chǔ)研究領(lǐng)域,而且是量子計算以及量子信息等相關(guān)應(yīng)用領(lǐng)域的熱點研究問題之一[1].它們都有其自身的優(yōu)點:光子具有最快的傳播速度、很好的穩(wěn)定性以及極好的抗環(huán)境干擾能力,是量子信息傳輸?shù)睦硐胼d體[2];而原子(人造原子)可以通過選擇適當(dāng)?shù)膬?nèi)部電子狀態(tài)形成量子比特,調(diào)節(jié)共振光的頻率可以使光信息存儲很長一段時間;而耦合腔陣列中的每一個腔都是可控、可測的,在低群速范圍內(nèi)幾乎可無損地傳輸和耦合光束,腔與腔之間的耦合強度可以有很多種方法來控制,具有很大的自由度和靈活性,是量子信息傳輸?shù)睦硐胪ǖ?基于光子、原子和耦合腔陣列的這些特點,利用原子與耦合腔陣列耦合的方法控制光子在耦合腔陣列中的傳輸已經(jīng)引起了廣泛的關(guān)注[3?16].在耦合腔陣列的一個腔中嵌入一個頻率可調(diào)的二能級原子[3,17?20],可以控制單光子被透射或反射;當(dāng)二能級原子與耦合腔陣列中的兩個相鄰的腔或一維耦合波導(dǎo)管非局域耦合時[21,22],單光子的傳輸亦可被調(diào)控.

眾所周知,三能級原子與光場相互作用和二能級體系有顯著的不同.文獻[4,23—27]研究了耦合腔陣列和波導(dǎo)管與一個三能級原子耦合的情況.與二能級原子系統(tǒng)相比,三能級原子有附加抽運場,可以通過調(diào)節(jié)抽運場的頻率以及打開和關(guān)閉抽運場來控制一段頻寬內(nèi)的一個任意頻率的單光子被透射或反射.此外,量子系統(tǒng)會不可避免地與庫場發(fā)生相互作用,這種相互作用將會導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生耗散、退相干和糾纏等物理現(xiàn)象.但是,開放系統(tǒng)中耦合腔陣列系統(tǒng)的研究工作甚少[28,29],因為考慮耗散的耦合腔陣列體系自由度會趨于無窮大,運用傳統(tǒng)的方法來描述其與庫場的相互作用十分困難[30,31],最近,我們小組根據(jù)耦合腔陣列體系的特性,提出了準(zhǔn)玻色子方法：在原子與腔場強耦合、腔與腔弱耦合、系統(tǒng)與環(huán)境弱耦合的條件限制下,考慮Born-Markov近似,通過解析延拓的方法把環(huán)境的自由度消除掉,將其影響歸結(jié)到重整化以后的系統(tǒng)有效哈密頓量的各項中,環(huán)境作用下的耦合腔陣列可被等效地看作準(zhǔn)玻色子鏈[32].基于準(zhǔn)玻色子方法,我們開展了三能級原子與耦合腔陣列耦合系統(tǒng)[21]和二能級原子與耦合腔陣列非局域耦合系統(tǒng)[33]中單光子的傳輸特性研究.結(jié)果顯示,原子的能級結(jié)構(gòu)以及原子與耦合腔陣列的耦合方式都會對單光子的傳輸特性有顯著的影響.

在本文中,我們將文獻[33]中的工作推廣到三能級原子情形,考慮Λ-型三能級原子與耦合腔陣列非局域耦合系統(tǒng),研究在理想和非理想環(huán)境下單光子在該系統(tǒng)中的傳輸特性.光子在該系統(tǒng)中傳輸具有一些獨特的特性,可被用來設(shè)計量子光學(xué)器件解釋實驗中的一些現(xiàn)象,對實驗的設(shè)計也有一定的指導(dǎo)意義.

2 系統(tǒng)的模型

本文研究單光子在一維耦合腔陣列中傳輸,其中耦合腔陣列中的兩個鄰近的腔與一個Λ-型三能級原子非局域耦合,耦合強度分別為g0,g1.耦合腔陣列中的腔以周期L排列,腔與腔之間的耦合強度為α.由于系統(tǒng)會不可避免地與環(huán)境耦合,所以考慮原子和耦合腔陣列分別與庫場耦合,如圖1(a)所示.假設(shè)原子與腔場強耦合、腔與腔弱耦合、系統(tǒng)與環(huán)境弱耦合,且每個腔都有相同的耗散率γc,應(yīng)用準(zhǔn)玻色子方法,腔的本征模式由ωc變?yōu)棣豦ff,腔與腔之間的耦合由αωc變?yōu)棣力豦ff,如圖1(b).這樣,耦合腔陣列的有效哈密頓量可以寫為[29,31]

(1)式描述了一個緊束縛模型,它的色散關(guān)系為ωk=ωc?2αωccos(knL),其中kn=,n=1,2,···,N. 玻色子算符a?j(aj), 為第j個腔的產(chǎn)生(湮滅)算符,為所有的兩個最鄰近腔之間耦合的和,腔的有效頻率為ωeff=ωc?iγc.可以發(fā)現(xiàn)(1)式中不包含庫場自由度.這樣一個有效的處理在計算上的優(yōu)勢是顯而易見的,耗散被一個常數(shù)表示而不是算符,這使得損失看起來像由一個不理想的邊界條件引起,而不是由庫場振蕩所引起.在旋波近似下,考慮耗散的三能級原子以及原子與腔場的相互作用哈密頓量可表示為

圖1 系統(tǒng)圖 (a)系統(tǒng)與庫場耦合;(b)準(zhǔn)玻色子模型下的系統(tǒng)有效圖;(c)Λ-型三能級原子結(jié)構(gòu)圖Fig.1.Schematic conf i guration for the system:(a)The coupling of system to a bath;(b)the effective treatment in a quasi-boson picture,where the system can be regarded as a chain of quasi-bosons;(c)the internal structure of the Λ-type three-level atom.

Ha為考慮耗散的Λ-型三能級原子的本征能量,原子的內(nèi)部結(jié)構(gòu)如圖1(c)所示;|1〉為三能級原子的基態(tài),|2〉為激發(fā)態(tài),|3〉為亞穩(wěn)態(tài);ω2,ω3分別為Λ-型三能級原子|2〉和|3〉態(tài)的本征頻率.我們假設(shè)能級|1〉與能級|2〉之間是左旋圓偏振的單光子躍遷,通過腔場模式來耦合,耦合強度為g0或g1,而線偏振光的經(jīng)典抽運場作用于能級|2〉和|3〉之間,耦合強度為?.γ2和γ3分別是原子第二能級和第三能級的耗散率.Hint描述的是原子與抽運激光以及腔場之間的相互作用哈密頓量.

那么整個系統(tǒng)的哈密頓量為

當(dāng)一個單光子以頻率ω從左邊射入耦合腔陣列中,波函數(shù)可以展開為

|0〉為腔場真空態(tài);c2,c3為三能級原子的|2〉態(tài)和|3〉態(tài)分別被激發(fā)的概率;ej為第j個腔被激發(fā)的概率.

解薛定諤方程,可得離散散射方程：

根據(jù)從左邊入射的單光子的散射方程[17,18]：

tj,rj分別表示第j個腔對單光子的透射率和反射率,s=1,2,···N. 利用其連續(xù)性條件ej?=ej+和限制性條件|rj|2+|tj|2≤1解方程組(6).當(dāng)j=0或1時,我們可以得到第0個腔或第1個腔(即與原子耦合的腔)對單光子的透射率為

當(dāng)j/=0,1,我們可以得到第j個腔對單光子的透射率為

其中κ=2αγc.那么,整個系統(tǒng)的透射率就可以寫為

從方程(10)可以看出,當(dāng)耦合腔陣列中腔的個數(shù)N增大時,腔的耗散將限制單光子的傳輸.

3 結(jié)果分析

本節(jié)分別討論理想和非理想情況下,Λ-型三能級原子與耦合腔陣列非局域耦合時單光子的傳輸特性,并將結(jié)果與文獻[32,33]中的結(jié)果進行對比討論.

3.1 理想情況

當(dāng)不考慮腔的耗散時(即γc=0),|tj/=0,1|2=1,即腔對光子是完全透射的.那么整個系統(tǒng)的透射率只取決于與原子耦合的第0個和第1個腔：

在(8)式中,如果取γc=γ2=γ3= 0時,tj=0,1的 分 子 為?i(1?V g1g2),其中x=ω?ωc=?2ξcosknL. 當(dāng)光子的透射率為0時,即|tj=0,1|=0,則有4?x2=0或1?V g1g2=0.通過求解得滿足單光子透射率為0的點有x1,2=±2和x3,4=[g1g2?Δ1?Δ2±所以單光子透射譜在[?2,2]區(qū)間內(nèi)存在四個透射率為零的點,其中兩個點為定點,兩個點為動點,動點的位置與Δ1,Δ2,g1,g2以及?的取值有關(guān),當(dāng)改變其中任意一個量時,零點的位置將會發(fā)生移動.

3.1.1 腔場與原子共振

由(8)式可以發(fā)現(xiàn),拉比頻率?始終以?2出現(xiàn),所以必然存在±?使得Λ-型三能級原子的等效勢為0,我們稱之為拉比劈裂.當(dāng)?shù)刃轂?時,透射率為1,光子被完全透射;當(dāng)?shù)刃轂橐粋€奇異點時,對應(yīng)于光子透射率為0,光子被完全反射.所以三能級原子與耦合腔陣列非局域耦合導(dǎo)致光子透射譜有三個透射峰,并且透射譜峰的最大值等于1,最小值等于0,如圖2所示.當(dāng)Δ1=0時,增大?,x3,4的值一個增大,另一個減小.所以單光子透射譜發(fā)生平移,一個谷值向右平移,向最右邊的谷值靠近;一個谷值向左平移,靠近最左邊的谷值,如圖2(a)所示;如果選定拉比頻率?不變,而改變原子與其中一個腔的耦合強度時,x3,4的值同時增大或減小,所以單光子透射譜向一邊發(fā)生平移.由于不對稱的耦合強度,光子的能量和動量將會重新分布,光子的透射譜形狀發(fā)生變化,透射譜兩邊的峰值減小.值得注意的是存在一個透射率始終為1的定點,對應(yīng)光子的頻率為ω=ωc??,如圖2(b)所示.

圖2 (網(wǎng)刊彩色)理想情況下,腔場與三能級原子的一個能級共振時光子的透射譜,其中Δ1=0,Δ2=1.5(所有參數(shù)都是在ξ約化為1下取值) (a)不同驅(qū)動場強度?下光子的透射譜;(b)不同的g1耦合強度下光子的透射譜,其中g(shù)0=0.5Fig.2.(color online)The single photon transmission spectra in the system of coupled cavity array nonlocally coupled to a three-level atom in the ideal situation. Δ1=0,Δ2=1.5(all is in units of coupling constant ξ):(a)The photon transmission spectrum under different driving f i eld strength ?;(b)the photon transmission spectrum under different g1;g0=0.5.

3.1.2 腔場與原子失諧

當(dāng)Δ1/=0時,如圖3所示.失諧Δ1的增大,將會導(dǎo)致x3,4的值同時減小,所以單光子透射譜向左發(fā)生平移,左邊的峰峰值逐漸減小,頻寬變窄,右邊的峰峰值不變,頻譜變寬.如果繼續(xù)增大失諧,左邊的峰最終將會消失.我們知道,原子頻率與腔場共振頻率失諧的增大,會導(dǎo)致原子與腔場退耦合,當(dāng)失諧增大到一定程度時,原子對光子的傳輸將無任何影響,這時光子會被完全透射.可見,通過調(diào)節(jié)腔場與原子頻率失諧的大小,可以控制光子被透射或反射.

圖3 (網(wǎng)刊彩色)理想情況下,腔場與原子的頻率失諧時光子的透射譜,其中Δ2=1.5,g0=g1=0.5(所有參數(shù)都是在ξ約化為1下取值)Fig.3.(color online)The single photon transmission spectra at the situation of cavity f i eld frequency detuning from the atom in the ideal environment.Δ2=1.5,g0=g1=0.5(all is in units of coupling constant ξ).

綜上,通過調(diào)節(jié)三能級原子抽運場的強度?、原子與其中一個腔的耦合強度以及腔場與原子失諧的大小都可以調(diào)控光子的傳輸特性.當(dāng)關(guān)閉經(jīng)典抽運場時,Λ-型三能級原子將會退化為二能級原子系統(tǒng).與其他系統(tǒng)[2?5,32,33]相比,三能級原子與耦合腔陣列的非局域耦合系統(tǒng)有更多的可控參數(shù).此外,三能級原子與耦合腔陣列的非局域耦合使得單光子透射譜有三個透射峰,從理論上來說,可以同時控制多個不同頻段的光子被反射或透射.所以,三能級原子與耦合腔陣列非局域耦合系統(tǒng)會有更寬的應(yīng)用范圍,可利用此特點來設(shè)計量子光學(xué)器件.

3.2 非理想情況

當(dāng)考慮系統(tǒng)與環(huán)境相互作用時,在光子傳輸?shù)恼麄€周期中主要有兩個耗散過程限制光子的相干傳輸：一是由于原子與外界環(huán)境的耦合導(dǎo)致的原子激發(fā)態(tài)向基態(tài)的自發(fā)輻射;另一個是由于腔與外界環(huán)境的耦合導(dǎo)致光子耗散到外界環(huán)境中,并且腔的總數(shù)將會影響光子的透射率.所以,在非理想情況下,單光子的透射率為

3.2.1 原子耗散的影響

在真實環(huán)境中,原子會不可避免地和環(huán)境發(fā)生耦合,這種耦合會導(dǎo)致原子的自發(fā)輻射.由于亞穩(wěn)態(tài)相對激發(fā)態(tài)來說,耗散很小,所以我們近似取γ3=0.原子耗散將會影響光子的透射率以及光子的散射過程,導(dǎo)致單光子透射譜的頻寬發(fā)生變化.在圖4中,我們將其他參數(shù)取值相同,而原子耗散率不同.結(jié)果顯示,與無耗散情況相比,光子透射譜的谷值增大,峰值幾乎不變,并且隨著原子耗散率的增大,光子透射譜的兩個谷值都逐漸增大,而峰值始終保持不變.與文獻[32,33]中的結(jié)果相同,原子的耗散主要影響單光子透射譜的谷值,使得光子透射譜的谷值不再為0,那么透射譜谷值所對應(yīng)的反射率就不為1,即單光子將不能被完全反射.

圖4 (網(wǎng)刊彩色)非理想情況下,原子耗散對光子透射譜的影響,其中Δ1=0,Δ2=1.5,g0=g1=0.5,γc=γ3=0(所有參數(shù)都是在ξ約化為1下取值)Fig.4. (color online)The atomic dissipation effects on the single photon transmission spectra in the nonideal situation,Δ1=0,Δ2=1.5,g0=g1=0.5,γc= γ3=0(all is in units of coupling constant ξ).

3.2.2 腔場耗散的影響

耦合腔陣列的耗散率由單個腔的耗散率、耦合腔陣列中腔的總數(shù)以及腔和腔之間的耦合強度來決定,腔與腔之間的耦合導(dǎo)致的耗散相對于單個腔的耗散非常小,可以將其忽略掉[34].在這里我們討論單個腔的耗散系數(shù),以及耦合腔陣列中腔的個數(shù)對單光子透射譜的影響.當(dāng)考慮腔的耗散率大小的影響時,隨著腔場耗散率的增多,光子透射譜的峰值急劇減小,谷值不發(fā)生改變,如圖5(a)所示.當(dāng)腔場耗散率大小不變時,隨著耦合腔陣列中腔的個數(shù)的增大,光子透射譜的峰值也迅速減小,但谷值大小仍然保持不變,如圖5(b)所示.可以得到與文獻[32,33]中相同的結(jié)果,腔場的耗散主要影響光子透射譜的峰值,導(dǎo)致光子不能被完全地從耦合腔陣列中透射過去.

圖5 (網(wǎng)刊彩色)非理想情況下,腔場耗散對光子透射譜的影響,其中Δ1=0,Δ2=1.5,g0=g1=0.5,γ2= γ3=0(除N的取值外,其他參數(shù)都是在ξ約化為1下取值) (a)不同腔場耗散率下光子的透射譜,其中N=10;(b)耦合腔陣列中不同的腔個數(shù)下光子的透射譜,其中γc=0.01Fig.5.(color online)The caviy dissipation effects on the single photon transmission spectra in the nonideal situation,Δ1=0,Δ2=1.5,g0=g1=0.5,γ2= γ3=0(all is in units of coupling constant ξ except the parameters of N):(a)The photon transmission spectra under different cavity dissipation rates.N=10;(b)the photon transmission spectra under different numbers of the cavity in coupled cavity array,γc=0.01.

3.2.3 同時考慮原子和腔場耗散的影響

當(dāng)同時考慮原子和腔場耗散時,由(8)式可以發(fā)現(xiàn),腔場耗散和原子耗散率有耦合項,這將導(dǎo)致系統(tǒng)耗散作用之間的相互影響,但整個系統(tǒng)單光子的透射率如(10)式所示,腔場耗散的作用包括了耦合腔陣列中所有腔的耗散作用,所以相對于原子耗散作用來說,腔場的耗散作用遠大于原子的耗散作用.圖6中藍色線和黑色線(或紅色線和綠色線)所取的原子耗散率大小相同,腔場耗散率不同,結(jié)果顯示腔場耗散率越大,單光子透射譜的谷值越小.此結(jié)果與只考慮原子耗散時(圖4)結(jié)果不同,在這里單光子透射譜谷值的大小不但受到了原子耗散的影響,也受腔場耗散的影響.當(dāng)我們?nèi)∏粓龊纳⒙氏嗤⒃雍纳⒙什煌瑫r,如圖6中紅色線和藍色線(或綠色線和黑色線),結(jié)果顯示單光子透射譜的峰值幾乎不變.這說明在同時考慮腔場和原子耗散時,單光子透射譜的峰值還是只受腔場耗散的影響.我們的結(jié)果將對以后的實驗設(shè)計提供參考,也可解釋一些實驗現(xiàn)象.

圖6 (網(wǎng)刊彩色)非理想環(huán)境下,同時考慮原子和腔場耗散的情況,其中Δ1=0,Δ2=1.5,g0=g1=0.5,γ3=0,N=20(除N的取值外,其他參數(shù)都是在ξ約化為1下取值)Fig.6.(color online)The dissipation of the system effects on the single photon transmission spectra in the nonideal situation,Δ1=0,Δ2=1.5,g0=g1=0.5,γ3=0,N=20(all is in units of coupling constant ξ except the parameters of N).

4 結(jié) 論

本文討論了耦合腔陣列與Λ-型三能級原子非局域耦合系統(tǒng)中單光子的傳輸特性.運用準(zhǔn)玻色子方法,我們精確地解出了開放系統(tǒng)中單光子的透射率.三能級原子與耦合腔陣列的非局域耦合系統(tǒng)中光子的透射譜有三個透射峰,透射譜峰的最大值等于1,利用此特點可以同時控制多個光子被透射或反射,用來設(shè)計量子光學(xué)器件.此外,此系統(tǒng)突出的優(yōu)點是具有更多的調(diào)控參數(shù),如:原子與腔的耦合強度、三能級原子內(nèi)抽運場強度.當(dāng)改變?nèi)芗壴映檫\場的強度?時,光子的透射譜有平移;如果改變原子與其中一個腔的耦合強度時,光子的透射譜形狀發(fā)生變化,透射譜兩邊的峰值減小,同時圖形發(fā)生平移,但有一個透射率始終為1的定點.在非理想情況下,耗散使得光子的透射譜發(fā)生了改變.具體而言,當(dāng)只考慮原子耗散時,光子透射譜的峰值幾乎不變,但谷值不再是0,即光子不能被完全反射,隨著原子耗散率的增大,谷值逐漸增大;當(dāng)只考慮腔場的耗散時,光子透射譜的谷值幾乎不變,但峰值減小,不再是1,即光子不能被完全透射,隨著腔場耗散率和腔的個數(shù)的增多,光子透射譜的峰值逐漸減小;當(dāng)同時考慮原子和腔場耗散時,單光子透射譜的谷值大小不但受原子耗散率大小的影響,也會受到腔場耗散率大小的影響,在原子耗散率一樣的情況下,腔場耗散率越大,谷值越小.而光子透射譜的峰值幾乎只受腔場耗散的影響,在腔場耗散率相同,原子耗散率不同的情況下,結(jié)果顯示單光子透射譜的峰值保持不變.

[1]Hartmann M J,Brand?o F G S L,Plenio M B 2008Laser Photon.Rev.2 527

[2]Sun C P,Wei L F,Liu Y X,Nori F 2006Phys.Rev.A73 022318

[3]Zhou L,Gong Z R,Liu Y X,Sun C P,Nori F 2008Phys.Rev.Lett.101 100501

[4]Gong Z R,Ian H,Zhou L,Sun C P 2008Phys.Rev.A78 053806

[5]Biella A,Mazza L,Carusotto I,Rossini D,Rosario F 2015Phys.Rev.A91 053815

[6]Cheng M T,Song Y Y,Ma X S 2016J.Mod.Opt.63 881

[7]Birnbaum K M,Boca A,Miller R,Boozer A D,Northup T E,Kimble H J 2005Nature436 87

[8]Aoki T,Dayan B,Wilcut E,Bowen W P,Parkins A S,Kippenberg T J,Vahala K J,Kimble H J 2006Nature443 671

[9]Srinivasan K,Painter O 2007Nature450 862

[10]Dayan B,Parkins A S,Aoki T,Ostby E P,Vahala K J,Kimble H J 2008Science319 1062

[11]Rosenblit M,Horak P,Helsby S,Folman R 2004Phys.Rev.A70 053808

[12]Zang X F,Jiang C 2010J.Phys.B:At.Mol.Opt.Phys.43 215501

[13]Zhou T,Zang X F,Liu Y S,Zheng L,Gao T 2015J.Mod.Opt.62 32

[14]Cheng M T,Song Y Y,Luo Y Q,Ma X S,Wang P Z 2011J.Mod.Opt.58 1233

[15]Cheng M T,Zong W W,Ye G L,Ma X S,Zhang J Y,Wang B 2016Commun.Theor.Phys.65 767

[16]Shi Y Q,Kong W L,Wu R C,Zhang W X,Tan L 2017Acta Phys.Sin.66 054204(in Chinese)[石永強,孔維龍,吳仁存,張文軒,譚磊2017物理學(xué)報66 054204]

[17]Shen J T,Fan S 2009Phys.Rev.A79 023837

[18]Shen J T,Fan S 2009Phys.Rev.A79 023838

[19]Rephaeli E,Shen J T,Fan S 2010Phys.Rev.A82 033804

[20]Zhou L,Yang S,Liu Y X,Sun C P,Nori F 2009Phys.Rev.A80 062109

[21]Hai L,Tan L,Feng J S,Bao J,Lü C H,Wang B 2013Eur.Phys.J.D67 173

[22]Cheng M T,Ma X S,Ting M T,Luo Y Q,Zhao G X 2012Phys.Rev.A85 053840

[23]Cheng M T,Luo Y Q,Song Y Y,Zhao G X 2011Commun.Theor.Phys.55 501

[24]Schmid S I,Evers J 2011Phys.Rev.A84 053822

[25]Witthaut D,S?rensen A S 2010New.J.Phys.12 043052

[26]Zhou L,Chang Y,Dong H,Kuang L M,Sun C P 2012Phys.Rev.A85 013806

[27]Lang J H 2010Chin.Phys.Lett.28 104210

[28]del Valle E,Hartmann M J 2013J.Phys.B:At.Mol.Opt.Phys.46 224023

[29]Creatore C,Fazio R,Keeling J,Türeci H E 2014Proc.R.Soc.A470 20140328

[30]Liu K,Tan L,Lü C H,Liu W M 2011Phys.Rev.A83 063840

[31]Bao J,Tan L 2014Acta Phys.Sin.63 084201(in Chinese)[鮑佳,譚磊 2014物理學(xué)報 63 084201]

[32]Tan L,Hai L 2012J.Phys.B:At.Mol.Opt.Phys.45 035504

[33]Hai L,Tan L,Feng J S,Xu W B,Wang B 2014Chin.Phys.B23 024202

[34]Notomi M,Kuramochi E,Tanabe T 2008Nat.Photon.2 741