杜傳紅++劉立才++張謝馥++盧春華

摘 要：作為三大最經(jīng)典混沌系統(tǒng)之一的Lorenz系統(tǒng)，由于其三階Lorenz系統(tǒng)中含有兩個非線性項xz和xy，電路實現(xiàn)困難。文章采用雙極轉(zhuǎn)換常加上數(shù)絕對值函數(shù)的方法來替換非線性項，實現(xiàn)了一類模擬三階連續(xù)自治Lorenz系統(tǒng)的電路。

關(guān)鍵詞：Lorenz系統(tǒng)；吸引子；拓撲結(jié)構(gòu)；電路設(shè)計

1 概述

最近十多年來，由于混沌控制與可同步、混沌信號寬頻譜及偽隨機特性，人們發(fā)現(xiàn)混沌在很多領(lǐng)域是有用的，或者存在巨大的應(yīng)用前景，如電力系統(tǒng)崩潰保護，信息處理，低能耗流體混合，生物醫(yī)學(xué)工程，人腦和心臟中的混沌現(xiàn)象分析，混沌保密通信等。所有這些應(yīng)用前景都強烈地驅(qū)使人們?nèi)パ芯炕煦绲目刂婆c同步，混沌的反控制與反同步。在應(yīng)用混沌技術(shù)的過程中，都往往需要有目的地生成混沌，或者強化現(xiàn)存的混沌行為，最終通過電路設(shè)計來產(chǎn)生混沌信號和實現(xiàn)混沌動力學(xué)行為。[1]

本文介紹一種實現(xiàn)三階模擬Lorenz系統(tǒng)的電路設(shè)計方法，從電路仿真結(jié)果可以看出，該電路可以實現(xiàn)三階Lorenz系統(tǒng)類似蝴蝶狀吸引子的拓撲結(jié)構(gòu)。

2 三階連續(xù)自治三階Lorenz系統(tǒng)模型

三階連續(xù)自治Lorenz系統(tǒng)模型（1）是一個三階連續(xù)自治系統(tǒng)且含有兩個非線性項xz和xy。這兩個非線性項使系統(tǒng)（1）產(chǎn)生分岔、混沌等復(fù)雜的動力學(xué)行為，但同時它們又使得混沌系統(tǒng)的電路實現(xiàn)變得困難。

方程（2）中不再含有二次項，所以它很容易用電路來實現(xiàn)，但它能夠產(chǎn)生蝴蝶狀的混沌吸引子，同時具有類似于Lorenz系統(tǒng)的一些定性特征?？刂破鱩可以將系統(tǒng)的軌線限制在對稱軸的左邊或右邊，分別得到左半吸引子和右半吸引子，且左、右半吸引子在m=0時可形成整個蝴蝶型吸引子。

4 模擬Lorenz系統(tǒng)電路實現(xiàn)

在圖1所示電路中，放大器A1-A5是電流反饋運算放大器， 由于其具有極佳的動態(tài)特性經(jīng)常用在高速運算系統(tǒng)中。通過一個全波段的整流器來實現(xiàn)非線性項|x|，雙極轉(zhuǎn)換常數(shù)K通過四個MOS晶體管開關(guān)和一個相連的比較儀來實現(xiàn)。選擇C1=C2=C3=C，R1=R2=R1=R3=R，Ra=R/a，Rc=R/c，V1=mVI，Vb=bVI，其中VI是任意一個規(guī)范化的電壓，x=VX/VI，y=VY/VI，z=VZ/VI。則此電路可以實現(xiàn)方程（2）。

5 結(jié)束語

在工程應(yīng)用中，用電路來從物理上來實現(xiàn)Lorenz系統(tǒng)，意義重大。本文介紹一種非常近似地實現(xiàn)Lorenz系統(tǒng)的電路，在本電路中非線性項|x|的偶對稱的本質(zhì)決定了系統(tǒng)（2）在|m|<0.01時，通過一個鏡像映射實現(xiàn)兩個連續(xù)“翅膀”的蝴蝶型吸引子。

參考文獻

[1]辛方.新分數(shù)階混沌系統(tǒng)的電路仿真與控制[D].哈爾濱工程大學(xué)，2011.

[2] 李冠林.分段線性混沌系統(tǒng)及其電路綜合的研究[D].哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2008.