中國(guó)原子能科學(xué)研究院 梁 浩

運(yùn)動(dòng)學(xué)擬合程序KFFitter設(shè)計(jì)

中國(guó)原子能科學(xué)研究院 梁 浩

根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)擬合的原理,用面向?qū)ο缶幊陶Z(yǔ)言C++，開發(fā)了運(yùn)動(dòng)學(xué)擬合程序KFFitter． KFFitter具有簡(jiǎn)潔容易使用的應(yīng)用接口和容易拓展的程序設(shè)計(jì)．該程序只依賴于數(shù)據(jù)分析框架ROOT，基本上是自完備(self-contained)的，很容易嵌入ROOT腳本中．

末態(tài)重建；運(yùn)動(dòng)學(xué)擬合；拉格朗日乘子法

1. 簡(jiǎn)介

在高能物理分析中，運(yùn)動(dòng)學(xué)擬合是常用的提高測(cè)量精度的手段。在高能物理分析中，將探測(cè)器重建的輸出粒子經(jīng)過(guò)噴注重建(jet clustering)，孤立輕子識(shí)別和初態(tài)光子識(shí)別后，被分析對(duì)象可以表示為噴注，孤立輕子或孤立光子。探測(cè)器重建能量動(dòng)量時(shí)，重建算法沒有考慮母粒子的動(dòng)量-能量關(guān)系，即，也沒有考慮反應(yīng)過(guò)程的能量動(dòng)量守恒條件。當(dāng)考慮到測(cè)量的物理量的這些約束條件，可以對(duì)探測(cè)器重建的結(jié)果進(jìn)行修正，以更接近真實(shí)值，從而提高測(cè)量精度。

我們開發(fā)了運(yùn)動(dòng)學(xué)擬合軟件KFFitter。KFFitter是一個(gè)基于ROOT和面向?qū)ο缶幊陶Z(yǔ)言C++的運(yùn)動(dòng)學(xué)擬合程序。KFFitter由于采用ROOT內(nèi)置的矩陣操作，因而依賴于ROOT。 KFFitter程序?qū)崿F(xiàn)簡(jiǎn)潔緊湊，可以直接包含進(jìn)ROOT的C++腳本中。類似的軟件包如MarlinKinf i t[1]采用C++開發(fā)，但是依賴于Marlin框架，不方便與ROOT協(xié)作；以及軟件包Telesis[2]采用了面向過(guò)程的編程語(yǔ)言Fortran。

下面將介紹KFFitter的原理和方法，程序結(jié)構(gòu)和運(yùn)行結(jié)果。

2. 原理

運(yùn)動(dòng)學(xué)擬合采用一些模型無(wú)關(guān)的基本物理關(guān)系，來(lái)提供額外信息，即約束。在KFFitter中內(nèi)置了三種運(yùn)動(dòng)學(xué)約束：

2.1 如果某些粒子衰變自某一個(gè)已知質(zhì)量的粒子，那么這些粒子的總四動(dòng)量的不變質(zhì)量必須為，即。

2.2 如果存在兩個(gè)同種類型粒子，但是該粒子的質(zhì)量的還沒有精確測(cè)量。那么兩個(gè)粒子子的衰變產(chǎn)物的四動(dòng)量和的不變質(zhì)量相等，即。

2.3 如果反應(yīng)初態(tài)的四動(dòng)量已經(jīng)知道，那么末態(tài)四動(dòng)量之和也應(yīng)為，即。注意，這種情況下共四個(gè)被約束的自由度。

假設(shè)分析對(duì)象共有個(gè)粒子（包括噴注，孤立輕子和孤立光子）。第個(gè)粒子的探測(cè)器重建的四動(dòng)量并不一定滿足這些約束條件。修正后的四動(dòng)量應(yīng)該，在滿足約束條件的前提下，使得探測(cè)過(guò)程的似然度最高，其中為第個(gè)粒子的探測(cè)器重建的四動(dòng)量的協(xié)方差。

我們采用參數(shù)來(lái)描述個(gè)粒子的能量和動(dòng)量，其中。可以一般性的表示為，其中為的矩陣?？偧s束可以一般性的表示為，其中r為總被約束的自由度. 選取任意方便的參數(shù), 對(duì)上式做線性展開得到，其中

根據(jù)拉格朗日乘子法[3][4], 在上面約束條件下, 使得最小的解為，其中而。在上面的處理中，由于線性展開是近似的，因此最終結(jié)果也是近似的。為了使得約束方程嚴(yán)格成立，我們采用迭代算法：將上一步產(chǎn)生的, 當(dāng)做下一步的和；迭代這一過(guò)程直到或者迭代次數(shù)達(dá)到用戶指定的上限。

3. 程序結(jié)構(gòu)

KFFitter具有簡(jiǎn)單易用的用戶接口。KFFitter具有關(guān)鍵的三個(gè)C++類：

3.1 KFParticle粒子類, 用于指定粒子的探測(cè)器重建的四動(dòng)量和四動(dòng)量的協(xié)方差.

3.2 KFConstrain 約束類, 是所有約束類的父類, 其子類實(shí)現(xiàn)不同類型的約束。其成員函數(shù)addParticle可以指定約束所作用的粒子。其三個(gè)子類KFMassContrain，KFMassEqualContrain和KF4MomentumContrain分別實(shí)現(xiàn)了第二節(jié)所描述的三種約束類型。

3.3 KFFitter 約束類, 調(diào)用KFParticle和KFConstrain的成員函數(shù)來(lái)統(tǒng)籌算法運(yùn)行過(guò)程。其成員函數(shù)addParticle來(lái)指定所有參與擬合的粒子。調(diào)用其成員函數(shù)f i t可以進(jìn)行擬合。

可見KFFitter只暴露高級(jí)的應(yīng)用接口給用戶，用戶不需要處理矩陣的向量。KFFitter自身，完成矩陣維度，矩陣元，參數(shù)向量與粒子動(dòng)量能量影射等人工處理容易出錯(cuò)的任務(wù)。另外容易被拓展，用戶只需要編寫KFContrain的派生類，即可添加新的物理約束。

4. 模擬以及擬合結(jié)果

我們?cè)谡?fù)電子對(duì)撞機(jī)（CEPC）預(yù)研過(guò)程中的物理分析里，使用了KFFitter。我們分別對(duì)WW融合過(guò)程（）和希格斯輻射（）過(guò)程的模擬重建數(shù)據(jù)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)擬合。參與運(yùn)動(dòng)學(xué)擬合的對(duì)象共有兩個(gè)，即兩個(gè)噴注（對(duì)應(yīng)）。約束條件為兩個(gè)噴注的不變質(zhì)量等于希格斯粒子的質(zhì)量，即，其中和，分別為兩個(gè)噴注的能量和動(dòng)量。

運(yùn)動(dòng)學(xué)擬合之前和運(yùn)動(dòng)學(xué)擬合之后，WW融合過(guò)程和希格斯輻射過(guò)程的反沖質(zhì)量譜如圖表 1和圖表 2所示，虛線表示希格斯輻射過(guò)程的反沖質(zhì)量，實(shí)線表示W(wǎng)W融合過(guò)程的的反沖質(zhì)量。反沖質(zhì)量由計(jì)算。對(duì)于希格斯輻射過(guò)程，的反沖質(zhì)量應(yīng)該為粒子的質(zhì)量。粒子的自然寬度. 當(dāng)沒有運(yùn)動(dòng)學(xué)擬合, 反沖質(zhì)量譜全高半寬約為；當(dāng)經(jīng)過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)擬合，反沖質(zhì)量譜全高半寬約為。這表明經(jīng)過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)擬合，噴注的四動(dòng)量更接近真實(shí)值。

圖 表1 沒有經(jīng)過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)擬合的反沖質(zhì)量譜

圖表 2 經(jīng)過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)擬合的反沖質(zhì)量的譜

5. 結(jié)論

我們采用了C++編程語(yǔ)言，結(jié)合高能物理的需求，通過(guò)最大化似然度方法設(shè)計(jì)開發(fā)了運(yùn)動(dòng)學(xué)擬合程序KFFitter。KFFitter提供了簡(jiǎn)潔易用的應(yīng)用界面，使得用戶免于低級(jí)的矩陣操作．KFFitter只依賴于ROOT，基本上自完備的. 最后通過(guò)實(shí)踐表明，KFFitter實(shí)現(xiàn)正確并具有實(shí)用價(jià)值。

[1]List B,List J. MarlinKinfit: An Object-Oriented Kinematic Fitting Package[J]. 2009.

[2]http://bes.ihep.ac.cn/bes2/software/BES-I/HTML/telesis.html

[3].Avery P.Applied Fitting Theory VI Formulas for Kinematic Fitting[J].CBX,1998.

[4]Yan L,Kang-Lin H E,Wei-Guo L I,et al.Lagrange multiplier method used in BESⅢ kinematic fitting[J].Chinese Physics C,2010, 34(2):204-209.