史麗麗，許萌

（鄭州升達經(jīng)貿(mào)管理學(xué)院信息工程系，鄭州 451191）

幾種參數(shù)化時頻分析方法的比較

史麗麗，許萌

（鄭州升達經(jīng)貿(mào)管理學(xué)院信息工程系，鄭州 451191）

時頻分析在實際的非平穩(wěn)信號處理中得到廣泛的應(yīng)用并仍然具有發(fā)展?jié)摿ΑＴ跁r頻分析中有兩項重要的評價指標(biāo)，即自項的集中程度和瞬時頻率估計的準(zhǔn)確性，介紹線性調(diào)頻小波變換，多項式Chirplet變換和廣義Warblet變換三種參數(shù)化時頻分析方法，著重從此兩項指標(biāo)來闡述這三種方法的優(yōu)缺點，進而分析和比較這三種方法的原理及應(yīng)用范圍。

時頻分析；線性調(diào)頻小波變換；多項式Chirplet變換；廣義Warblet變換

0 引言

眾所周知，在實際工程中，很多信號都屬于非平穩(wěn)信號[1]，例如瞬時電流、振動信號、語音信號、雷達波等等，因此非平穩(wěn)信號的處理就顯得尤為重要，而時頻分析正是為此類信號的進行處理和分析。時頻分析方法的特性主要表現(xiàn)在時頻平面上，時頻分布是瞬時頻率及其附近聚集信號能量的能力的具體體現(xiàn)。瞬時頻率是時頻模式中的一個重要的參數(shù)，在信號處理過程中占有重要的作用。根據(jù)時頻特性，調(diào)頻信號可以分為兩大類：線性調(diào)頻信號和非線性調(diào)頻信號。

目前時頻分析方法[2]有很多種，例如常見的短時傅里葉變換、連續(xù)小波變換、Wigner-Ville分布、Cohen類分布等，這些方法由于不需要先驗知識而被稱為非參數(shù)化的時頻分析方法，但此類方法獲得的時間和頻率的分辨率并不依附于具體的信號，所以并不能對較為復(fù)雜的調(diào)頻信號作出正確的時頻特性；本文分析對比了線性調(diào)頻小波變換，多項式Chirplet變換和廣義Warblet變換[3]這三種參數(shù)化時頻分析方法，通過先驗知識來決定變換中核函數(shù)的參數(shù)，當(dāng)核函數(shù)中參數(shù)的選擇能夠很好地表征信號的瞬時頻率軌跡時，就說明這種參數(shù)化時頻變換方法能夠很好地刻畫信號的時頻模式。因此，參數(shù)化時頻分析方法通過一系列參數(shù)的不斷優(yōu)化和選擇來描述信號的時頻分布，并且從得到的時頻分布的能量集中度和瞬時頻率估計的正確性等方面來闡述各種方法的優(yōu)缺點。

1 線性調(diào)頻小波變換（CT）

線性調(diào)頻小波變換的適用對象是線性調(diào)頻信號，而且其變換的本質(zhì)就是加調(diào)頻窗的傅里葉變換。其原始定義[4]為：

其中z（t）由希爾伯特變換[5]得到的解析信號，t0，α· R分別表示時間和調(diào)頻率；ω·L2（R）定為非負對稱的標(biāo)準(zhǔn)化實窗，通常以常用的高斯窗為例。從以上內(nèi)容原始定義式中，可以將線性調(diào)頻小波變換用一種新的定義形式來表示，即定義為解析信號和窗函數(shù)相乘以后，再對其結(jié)果進行短時傅里葉變換，則新的定義表達式為：

其中Ψ（t，t0，α，σ）為調(diào)頻窗函數(shù)，可以表示為：

其中：

下圖1為調(diào)頻參數(shù)取10π的時頻分布結(jié)果。

圖1 CT當(dāng)α=10π時頻表示圖

從上圖中可以看出，兩個線性調(diào)頻分量的頻率變化軌跡非常清晰，而且所得到的時頻分布結(jié)果不但分辨率比較高，而且兩個頻率分量的能量聚集性也很高，即精確的表達了瞬時頻率所時間變化的規(guī)律。然而若調(diào)頻參數(shù)取其它值是，例如0和5π時，所得到的時頻分布結(jié)果并不會理想，尤其是當(dāng)調(diào)頻參數(shù)取0時，根據(jù)線性調(diào)頻小波變換的定義可知，其相當(dāng)于短時傅里葉變換，所得到的時頻分布不僅聚集性比較低，而且兩個分量完全交錯在一起；而當(dāng)取5π時，本身的分辨率會有所提高，但兩個線性頻率分量交錯在一起，并沒有完全分離開，而且每個分量的時頻分布能量集中程度也不高。因此，時頻分布的精確性和能量集中度在參數(shù)化時頻分析方法中主要取決于調(diào)頻參數(shù)的選擇，也就是說，只要調(diào)頻參數(shù)的選擇越接近于瞬時頻率隨時間的變化率，就能得到能量集中度和精確的瞬時頻率的時頻分布。

2 多項式Chirplet變換（PCT）

上述線性調(diào)頻小波變換中的核函數(shù)屬于線性，所以這種時頻分析方法適合處理線性調(diào)頻信號，而對于非線性調(diào)頻信號并不適用。那么，下面我們介紹另外一種時頻分析方法——多項式Chirplet變換，此方法是在線性調(diào)頻小波變換的基礎(chǔ)上通過改變核函數(shù)得到的。則多項式Chirplet變換（PCT）的定義式為：

在此給定一個非線性調(diào)頻信號來來驗證多項式Chirplet變換的適用范圍。其具體信號如下：s（t）=sin（2π（10t+5t2/4+t3/9-t4/160））（0≤t≤15s），此信號的瞬時頻率為f=10+2.5t+t2/3-t3/40（Hz），即非線性函數(shù)。則當(dāng)調(diào)頻參數(shù)（α1，α2，α3）=（5π，2π/3，-π/20）時的時頻分布結(jié)果如下圖2所示：

圖2 PCT時頻表示圖（α1，α2，α3）=（5π，2π/3，-π/20）

從上述結(jié)果可知，當(dāng)多項式核函數(shù)的參數(shù)為（α1，α2，α3）=（5π，2π/3，-π/20）時，即核函數(shù)參數(shù)的選取若可以很好地去配合目標(biāo)信號的調(diào)頻的參數(shù)時，將得到如圖所示能量集中度很高的時頻分布。而當(dāng)調(diào)頻參數(shù)取其他值時，如采用線性調(diào)頻小波變換的分析方法時得到的時頻分布結(jié)果整體能量集中度并都不高，尤其是在信號的非線性時間段，其聚集程度特別差；可在信號的前半段的集中度比較高，這是由于線性調(diào)頻小波變換適用于線性調(diào)頻信號所決定的，因為可近似的將前半段信號認為是線性信號，這也是由不同的時頻方法適合處理不同的調(diào)頻信號決定的。與此同時，也說明多項式Chirple變換方法對于處理非線性信號的有效性。

3 廣義Warblet變換（GWT）

廣義Warblet變換的定義同樣是將線性調(diào)頻小波變換中的線性核函數(shù)替換，其具體定義為：

其中：

根據(jù)式（8）中廣義Warblet變換核函數(shù)的定義，可知此方法適用于表征瞬時頻率為周期性時頻模式的信號。一般情況下，實際中的周期性信號都能滿足狄利克雷條件，所以它們能夠用傅里葉系列來表征，而且在廣義Warblet變換中能夠確定選用合適的核函數(shù)參數(shù)來精確的估計瞬時頻率。

在選擇以上核函數(shù)參數(shù)的基礎(chǔ)上，利用廣義Warblet變換的時頻分析方法對瞬時頻率為周期性變化的非線性信號進行分析，其得到的時頻分布結(jié)果如下圖所示：

圖3

從上圖中可以看出，時頻分布能正確清晰地表達出瞬時頻率的周期性變化軌跡和表征準(zhǔn)確的信號時頻模式，并且時頻分布的能量集中度很高，所以，不論是從時頻分布的能量集中度，還是從瞬時頻率估計的準(zhǔn)確性來說，選擇優(yōu)化參數(shù)能夠使廣義Warblet變換時頻分析方法更好地處理振蕩幅度較大或者周期性的調(diào)頻信號。

4 結(jié)語

非平穩(wěn)信號的研究和處理是信號處理中不可或缺的重點研究對象，它不斷推進信息技術(shù)的發(fā)展。本文介紹的三種參數(shù)化時頻分析方法是通過參數(shù)的選取去匹配目標(biāo)信號瞬時頻率的調(diào)頻參數(shù)，只要選擇合適的參數(shù)，就能得到集中度比較高的時頻分布。但是，由于參數(shù)化分析方法需要有效的快速算法，所以優(yōu)化參數(shù)的提取還需要一定深入的研究。同時，根據(jù)本文三種參數(shù)化時頻分析方法的適應(yīng)對象來看，每一種方法的適用對象都有所區(qū)別，即參數(shù)化分析對于適應(yīng)性還需進一步的提高。而對于參數(shù)化分析方法的適應(yīng)性來說，關(guān)鍵因素取決于核函數(shù)的時頻譜分析。因此，對于處理更為復(fù)雜的非線性調(diào)頻信號來說，可以通過構(gòu)造信號核函數(shù)的手段來大大提高參數(shù)化時頻分析方法的適應(yīng)能力。

參考文獻：

[1]徐春光.非平穩(wěn)信號的時頻分布與處理方法研究：[博士學(xué)位論文].西安：西安電子科技大學(xué)圖書館,1999.

[2]Boashash B.Time Frequency Signal Analysis and Processing:a Comprehensive Reference,Elsevier Science Ltd.,2003.

[3]Yang Y,Peng Z K,Meng G,et al.Characterize Highly Oscillating Frequency Modulation Using Generalized Warblet transform[J].Mechanical Systems and Signal Processing,2012,26:128-140.

[4]Mann S,Haykin S.The Chirplet Transform:Physical Considerations[J].Signal Processing,IEEE Transactions on,1995,43(11):2745-2761.

[5]黃長蓉.Hilbert變換及其應(yīng)用[J].成都氣象學(xué)院學(xué)報,1999,14(3):273-276.

Comparison of Several Kinds of Parametric Time-Frequency Analysis Method

SHI Li-li，XU Meng
（Department of Information Engineering,Zhengzhou Shengda University of Economics Business&Management，Zhengzhoun 451191）

In actual non-stationary signal processing,time-frequency analysis has been widely used in signal processing and still has development potential.There are two important evaluation indexes in the time-frequency analysis:its concentration and instantaneous frequency estimation accuracy,introduces Chirplet Transforms(CT),Polynomial Chirplet Transform(PCT)and Generalized Warblet Transform(GWT), these three parametric time-frequency analysis methods emphasis on the advantages and disadvantages from the above two indexes,and then analyzes and compares these three methods’principle and application scope.

Time-Frequency Analysis;Chirplet Transforms;Polynomial Chirplet Transform;Generalized Warblet Transform

1007-1423（2017）08-0031-04

10.3969/j.issn.1007-1423.2017.08.007

史麗麗（1987-），女，河南安陽人，碩士，研究方向為信號處理及應(yīng)用許萌（1991-），男，河南開封人，碩士，助教，研究方向為嵌入式物聯(lián)網(wǎng)

2016-12-29

2017-02-25