劉艷紅，王曉強

(沈陽航空航天大學 a.計財處，b.航空航天工程學部(院)，沈陽 110136)

復合材料基準值計算程序及其與可靠性關系

劉艷紅a，王曉強b

(沈陽航空航天大學 a.計財處，b.航空航天工程學部(院)，沈陽 110136)

通過MATLAB軟件編寫復合材料力學性能A、B基準值的計算程序，該計算程序采用Excel表格進行輸入和輸出，操作簡單。通過數(shù)值驗證可知：該計算程序結果正確，可以提高試驗數(shù)據(jù)處理的效率?；诮o定的安全系數(shù)，給出基準值與結構可靠性指標之間的關系表達式，明確了基準值與結構可靠性之間的內在關系。算例結果表明，基于B基準值的設計方法是可以滿足結構可靠性設計要求的，但結構可靠性過高、偏于保守。

復合材料；基準值；計算程序；可靠性；安全系數(shù)

大量采用復合材料是飛機機身、機翼等結構減重的主要技術措施之一[1-3]。但是，復合材料結構的使用也引入了許多新的問題，其中之一就是復合材料的力學性能與金屬材料相比，具有更大的分散性[4-5]。因此，在飛機復合材料結構設計中，如何確保飛機結構的安全性即如何經(jīng)濟合理地確定復合材料力學性能的基準值，是一個現(xiàn)實且非常重要的問題[6-7]。美國航空領域，基于統(tǒng)計分析方法，在MIL-HDBK-17-1F手冊中給出了復合材料A、B基準值的計算方法。在此之后，美國FAA(Federal Aviation Administration)基于長期使用經(jīng)驗，對MIL-HDBK-17-1F手冊中的計算方法進行了修訂。在國外手冊的研究成果基礎之上，我國制定了航空行業(yè)標準HB 7618-2009。采用復合材料基準值的設計方法主要是考慮復合材料力學性能具有一定的分散性，經(jīng)濟合理地選取復合材料力學性能在實際設計中的取值問題。基于材料基準值的設計方法是利用實驗數(shù)據(jù)，對材料力學性能進行統(tǒng)計分析確定其概率分布形式，然后在給定置信度下，將指定的下分位數(shù)做為基準值，即基準值是基于統(tǒng)計意義下的確定值?；诳煽啃缘脑O計方法也是利用統(tǒng)計方法確定各不確定量的概率分布形式[8-10]，但與基準值設計方法不同的是“可靠性設計方法直接利用不確定量的概率分布進行結構設計，可以充分考慮復合材料力學性能的分散性”。綜上，基準值設計方法是利用力學性能概率分布的下分位數(shù)進行結構設計，而可靠性是利用力學性能的概率分布進行復合材料結構設計[11-14]，兩種設計方法必然存在一定的內在關系。在目前的飛機結構設計過程中，復合材料力學性能的設計值一般采用B基準值[15-16]。同時，結構可靠性要求必須滿足設計手冊、規(guī)范中的相關要求。因此，需要明確采用基準值的設計方法與結構可靠性之間的內在關系，探討復合材料基準值對應的結構可靠性對飛機結構設計是必要的。

本文首先對MIL-HDBK-17-1F手冊中給出的基準值計算方法進行簡要介紹；然后采用MATLAB軟件編寫復合材料基準值計算程序，并對自編程序進行驗證；最后給出基準值與結構可靠性指標之間的關系表達式，進而明確了基準值設計方法與結構可靠性之間的內在關系。

1 基準值計算方法簡介

在MIL-HDBK-17-1F復合材料設計手冊中，給出了復合材料力學性能A、B基準值的定義。A基準值：基于統(tǒng)計的材料性能，在95%的置信度下99%的性能數(shù)值群不低于其值；B基準值：基于統(tǒng)計的材料性能，在95%的置信度下90%的性能數(shù)值群的值不低于其值。

用于計算基準值的方法取決于數(shù)據(jù)的特定，即數(shù)據(jù)是否為結構型數(shù)據(jù)。結構型數(shù)據(jù)是可以自然分組的數(shù)據(jù)，或其重要影響能隨已知參數(shù)系統(tǒng)地變化的數(shù)據(jù)；非結構型數(shù)據(jù)是所有有關的信息全包含在響應測量值本身的數(shù)據(jù)。簡而言之，組間差異可以忽略的數(shù)據(jù)、各批次數(shù)據(jù)可以合并的數(shù)據(jù)稱為非結構數(shù)據(jù)，否則稱為結構型數(shù)據(jù)。

對于非結構型數(shù)據(jù)，合并各批次數(shù)據(jù)，依次進行Weibull分布、正態(tài)分布和對數(shù)正態(tài)分布的擬合優(yōu)度檢驗。若觀測顯著性水平(Observed Significance Level-OSL)大于0.05，則表明擬合成功；反之若OSL小于0.05，則表明擬合不成功。當以上3種分布的OSL沒有一個大于0.05時，則需使用非參數(shù)基準值的計算方法。

對于結構型數(shù)據(jù)，根據(jù)確定性影響與隨機性影響對數(shù)據(jù)進行分組，利用Levene檢驗判斷數(shù)據(jù)來自幾個批次。若數(shù)據(jù)來自同一批次，則按照非結構型數(shù)據(jù)計算基準值；若數(shù)據(jù)來自兩批次，分別計算每個批次對應的基準值，然后取二者較小值；若數(shù)據(jù)來自3批次或多批次，采用ANOVA(Analysis of Variance)方法計算基準值。復合材料力學性能的A、B基準值的計算流程如圖1所示。

2 基準值計算程序

2.1 主要計算公式

(1)K樣本AD檢驗

K樣本Anderson-Darling檢驗被用于檢查數(shù)據(jù)組間的差異，以確定差異是明顯或是可忽略，進而確定數(shù)據(jù)是結構型數(shù)據(jù)還是非結構型數(shù)據(jù)。

假設數(shù)據(jù)用xij表示，i=1,…,k和j=1,…,ni，其中i表示組號，j表示該組內觀測值序號，則總觀測值數(shù)量為n=n1+n2+…nk。將合并后的數(shù)據(jù)集合中的不同數(shù)值，按從小到大排序，記為z(1),z(2),…,z(L),其中L在存在相同值時小于n。

(1)

式(1)中：hj為合并樣本中等于z(j)值的個數(shù)，Hj為合并樣本中小于z(j)值的個數(shù)加上等于z(j)值的個數(shù)的一半，F(xiàn)ij為第i組中小于z(j)值的個數(shù)加上等于z(j)值的個數(shù)的一半。

ADK的臨界值ADC(Critical Value of ADK)為

圖1 基準值計算流程圖

(2)

式中：σn為ADK的標準差。

如果臨界值小于式(1)的檢驗統(tǒng)計量，則可斷定各組是從不同母體中抽取的；否則接受各組來自同一母體的假設，即該數(shù)據(jù)可看成非結構型數(shù)據(jù)。

(2)Anderson-Darling檢驗

(3)

式(4)中：AD*為Anderson-Darling統(tǒng)計量的轉換值，a，b和c為常數(shù)。

對于不同的分布，AD*具有不同的表達式、a，b和c也具有不同的值，詳見MIL-HDBK-17-1F手冊。

(3)Levene檢驗

Levene檢驗是用來確定k組的樣本方差是否明顯不同，該檢驗是非參數(shù)的，即它對關于潛在母體形式的假設要求不高。要進行該檢驗，首先要對數(shù)據(jù)進行轉換，如下

(4)

然后對轉換后的數(shù)據(jù)進行F檢驗，如果檢驗的統(tǒng)計量大于或等于F分布的分位數(shù)，那么可以斷定方差明顯不同。如果檢驗統(tǒng)計量小于F分布的分位數(shù)，那么接受方差相等的假設。如果檢驗拒絕了方差相等的檢驗，一般需要進行方差不等的原因調查。

復合材料基準值計算需要大量計算公式，這里只給出了幾個主要公式，其它公式可參見MIL-HDBK-17-1F手冊，這里不再贅述。

2.2 計算程序簡介

本文根據(jù)MIL-HDBK-17-1F手冊中給出的復合材料力學性能A、B基準值的計算方法，利用MATLAB軟件編寫相關計算程序。為便于工程使用，該程序輸入和輸出均采用Excel表格的形式，程序的輸入和輸出見圖2。

2.3 計算程序驗證

為驗證自編程序的準確性，本文取MIL-HDBK-17-1F手冊中的兩個算例進行驗證。算例1為非結構型數(shù)據(jù)，算例2為結構型數(shù)據(jù)，已知輸入數(shù)據(jù)見表1。

對于算例1，由于ADK小于ADC，因此該數(shù)據(jù)屬于非結構型數(shù)據(jù)。由于Weibull和正態(tài)分布對應的OSL均小于0.05，而對數(shù)正態(tài)分布的OSL大于0.05，因此認為利用對數(shù)正態(tài)分布對數(shù)據(jù)進行擬合是合適的。對于算例2，由于ADK大于ADC，因此該數(shù)據(jù)屬于結構型數(shù)據(jù)。經(jīng)計算F分布的統(tǒng)計量小于F分布的分位數(shù)，可以接受方差相等的假設。算例1和2的計算結果見表2和表3。由表2和表3可以看出：自編程序與MIL-HDBK-17-1F手冊中給出的計算結果幾乎是完全一樣的，這說明自編程序是正確的。

圖2 輸入與輸出

算例1(非結構型數(shù)據(jù))批次數(shù)據(jù)/MPa算例2(結構型數(shù)據(jù))批次數(shù)據(jù)/MPa185.391328.1174197.121334.7674192.661347.7833196.431346.2661190.721338.7314195.842297.0387297.32293.45952109.472308.04192101.352326.4864298.012318.1297286.182309.04872100.913337.093396.053317.7319392.23321.4292390.863317.26523101.273291.88813101.234297.6943393.154327.39734114.324303.86294100.144313.0984491.244323.2769486.115312.9743493.425324.5192492.655334.5965597.585314.9458597.755322.7194597.956291.12155112.496309.7852595.756304.84995110.536288.01846294.1995

表2 計算結果(算例1)

表3 計算結果(算例2)

3 基準值與結構可靠性的關系

3.1 基本公式

在結構應力的基準值取值時，一般要保證99%的應力值低于該值[17]，即概率分布的上分位數(shù)；在強度基準值取值時，一般要保證95%的強度值高于該值，即B基準值。當材料強度R與結構應力S均為正態(tài)隨機變量時，強度與應力的基準值和其均值之間關系如下

(5)

式(5)中：Rk和Sk為強度和應力的基準值，μR和μS為強度和應力的均值，σR和σS為強度和應力的標準差，λR和λS為強度和應力的保證系數(shù)，VR和VS為強度和應力變異系數(shù)。

若應力S服從正態(tài)分布，此時λS=2.326 3；若強度R服從正態(tài)分布，對于B基準值λR=1.644 9，對于A基準值λR=2.326 3。當材料強度R與結構應力S不服從正態(tài)隨機分布時，其基準值可采取統(tǒng)計方法進行計算。

基于結構可靠性理論，結構可靠度Pr的一般表達式為

(6)

式(6)中：fS,R(s,r)為強度和應力的聯(lián)合概率密度函數(shù)。

當材料強度R與結構應力S相互獨立時，有

(7)

式(7)中：fR(r)和fS(s)為強度和應力的概率密度函數(shù)。

當材料強度R與結構應力S均服從正態(tài)隨機分布時，有

Pr=Φ(β)

(8)

式(8)中：Φ為標準正態(tài)分布的累積分布函數(shù)，β為可靠性指標。

(9)

可靠性安全系數(shù)γk的定義為

(10)

(11)

3.2 算例

以圖2給出的數(shù)據(jù)作為復合材料的力學性能數(shù)據(jù)，即可靠性分析中的材料強度R。由圖2中的計算結果可知：Weibull分布對應的OSL小于0.05，而正態(tài)分布的OSL大于0.05，因此認為材料強度R服從正態(tài)分布，其均值和變異系數(shù)分別為103.055 MPa和0.059 2。

在結構可靠性分析過程中，這里取結構應力S也服從正態(tài)分布，其均值μs通過給定一系列γk，然后通過式(10)進行求解，結構應力S的變異系數(shù)取為0.1，0.2和0.3。在γk的計算過程中，相關參數(shù)取值如下：λs=2.326 3，即99%的應力值低于應力基準值；λR= 1.644 9，即材料強度取B基準值。

當強度變異系數(shù)VR=0.059 2時的計算結果見表4，表4中0.9m表示小數(shù)點后有m個9，例如0.9425=0.999 925。由表4可以看出：(1)隨著安全系數(shù)γk的增加，結構可靠度Pr在增加，即安全系數(shù)γk越大結構可靠性越高；(2)不同的變異系數(shù)Vs對應的結構可靠度是不同的，隨著Vs的增加，結構可靠度減小，即結構應力的變異性越大，結構的可靠度越低；(3)對應不同的安全系數(shù)γk，結構可靠性均較高，最小的可靠度值(γk=1.25和Vs=0.3時)為0.94，對應的失效概率為1-0.999 9=1.0×10-4，即結構失效概率為萬分之一。

表4中給出的數(shù)值結果是在VR=0.059 2下的計算結果，為了進一步討論材料強度R的變異性VR對計算結果的影響，表5中給出了在Vs=0.3的情形下，不同VR對應的計算結果。由表5可知：隨著安全系數(shù)γk的增加，結構可靠度Pr在增加；隨著VR的增加，結構可靠度減??；對應不同的安全系數(shù)γk，結構可靠性均較高，最小值為0.94，即結構失效概率為萬分之一。

在結構可靠性設計手冊[18]上指出：對于軍用飛機機體結構，其靜強度可靠度通常要在0.94以上。由以上分析結果可以看出：(1)即便是安全系數(shù)取為1.25，基于復合材料B基準值的設計方法是可以滿足結構可靠性設計要求的；(2)當安全系數(shù)取1.5和2.0時，結構可靠度分別在0.96和0.99以上，結構可靠度明顯大于0.94，即明顯大于設計手冊中給出的可靠性要求。因此，采用復合材料B基準值的設計方法從可靠性的角度來看，還是較為保守的，這對飛機結構的輕量化設計是不利的，難以充分發(fā)揮復合材料的優(yōu)勢。

4 結論

本文通過MATLAB軟件編寫了復合材料力學性能A、B基準值的計算程序，該計算程序采用Excel表格進行輸入和輸出。輸入文件按照格式要求進行輸入即可，對工程技術人員沒有其它要求；輸出文件除了A、B基準值外，還包含各統(tǒng)計指標的具體值，便于工程應用。算例結果表明，該計算程序結果正確，能夠大幅提高實驗數(shù)據(jù)處理的計算效率。

表4 不同安全系數(shù)下的結構可靠度(VR=0.0592)

表5 不同安全系數(shù)下的結構可靠度(Vs=0.3)

探討了當采用B基準值進行結構設計時，基準值與結構可靠性的內在關系。算例分析結果表明：

(1)隨著安全系數(shù)的增加，結構可靠度增加，即便是安全系數(shù)取為1.25，基于復合材料B基準值的設計方法是可以滿足結構可靠性設計要求的；

(2)當安全系數(shù)取1.5和2.0時，結構可靠度分別在0.96和0.99以上，結構可靠度明顯大于設計手冊中給出的可靠性要求。因此，采用復合材料B基準值的設計方法從可靠性的角度來看，還是較為保守的。

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(責任編輯：吳萍 英文審校：趙歡)

Calculation programming of basis value for composite material and its relationship with reliability

LIU Yan-honga,WANG Xiao-qiangb

(a.Finance Department,b.Faculty of Aerospace Engineering,Shenyang Aerospace University,Shenyang 110136,China)

A calculation programming of A and B basis values for mechanical properties of composite materials was compiled by MATLAB software.Input and output of the program was achieved by Excel,thus operation of the calculation programming was simple.Numerical examples show that the results of the calculation programming are correct.The program can improve the processing efficiency of experimental data.The relationship between the basis value and structural reliability index was obtained and clarified based on the given safety factor.The results show that the design method based on B basis value can meet the requirements of structural reliability design,but its structure reliability is too high and trend to be conservative.

composite materials;basis value;calculation programming;reliability;safety factor

2016-11-18

國家自然科學基金(項目編號：11602150)；遼寧省自然科學基金(項目編號：201602579)

劉艷紅(1978-)，女，遼寧沈陽人，會計師，主要研究方向：可靠性工程與統(tǒng)計學，E-mail:sau_lyh@163.com。

2095-1248(2017)01-0037-07

V215.7

A

10.3969/j.issn.2095-1248.2017.01.006