用數學眼光觀察生活現象
李中清
運算能力的訓練與培養(yǎng)是初中數學學習的基本內容.在運算訓練中,同學們要明白運算規(guī)則和方法,理解運算的算理,尋找合理簡潔的運算途徑來解決問題,并能結合自己的生活經歷有所感悟.下面就冪的運算例談數學學習與生活的聯系.
例1計算:(-3x2)3?x4-x4?x6-(-2x5)2.
【解題策略】這是一道冪的混合運算問題,運算不難,按照運算規(guī)則:先算乘方,再算乘除,最后算加減,按序進行計算即可.
在具體運算中算“積的乘方”時,順便將“同底數冪的乘法”也同時算出來了.
【生活啟示】現實生活與數學學習一樣,事情的發(fā)展是有先后次序的,不能改變,只能按照事物發(fā)展的次序拾級而上,就像例1中不能先算x4-x4一樣.一個人的成長與發(fā)展,必須符合身心發(fā)展規(guī)律,不能隨意改變.生活中很多事情不能同時完成,只能一件一件地做,而有的時候,在做一件事的同時,也可以順便完成其他事情,就像例1中以減號為界分成三段,這三段可以同時計算.譬如,中午燒飯時,讓電飯鍋煮飯的同時可以洗菜、切菜等,統籌安排工作.
例2計算:0.1254×(-8)3.
【解題策略】本題若先算乘方,再算乘法,是可以算出結果的,但比較繁瑣,如果指數再大一些,就無法進行下去,如計算:0.1252017×(-8)2016.這時如何計算呢?我們可逆向思考,運算就大大簡化了.在0.1252017×(-8)2016中,可以運用同底數冪的乘法運算的逆運算將0.1252017化為0.1252016×0.125,再逆用積的乘方,得到0.1252016×(-8)2016=[0.125×(-8)]2016=(-1)2016=1.到這里,答案就很顯然了.這種思考問題的方法,使得運算簡捷,同時也體現了解決一類問題的通法,當問題正向難以解決時,可以反過來思考,從而使問題得到解決.
【生活啟示】生活中,有的事情一直往前沖,可以行得通,但有的事情按常規(guī)沿正向去做,可能困難重重,這時就要改變思考的方向,比如運用逆向思維,問題的解決可能就方便多了,逆向也是為了更好地前進.
例3已知am=12,an=2,求am-2n的值.
【解題策略】本題先要逆用同底數冪的除法,將am-2n改寫成am÷a2n,再逆用冪的乘方,將a2n改寫成(an)2,最后將am=12,an=2整體代入計算,從而問題得到解決.
【生活啟示】在生活中,有時考慮問題,要考慮到每一個細節(jié),分解而做;有時先要從整體把握,將整體分塊解決.
例4若(x+1)x+4=1,求x的值.
【解題策略】本題需要對底數和指數分別給予考慮,具體解答如下:
解:(1)當x+4=0,即x=-4時,x+1=-4+ 1=-3≠0,故當x=-4時,(x+1)x+4=1.
(2)當x+1=1,即x=0時,(x+1)x+4=1.
(3)當x+1=-1,即x=-2時,x+4=2(偶數),故當x=-2時,(x+1)x+4=1.
綜合可知,x=0、-2和-4.
需要指出的是,許多同學在用“零指數冪的規(guī)定”時,僅得到第(1)種情形,顯然在考慮問題時,認識不全面,理解不徹底.實際上,“1的任何次冪都等于1”及“-1的偶次冪等于1”這兩種情況也要考慮,所以要運用分類討論思想通盤考慮問題,注意要考慮問題的所有情況,并對每一種情況進行解答,同時要排除不符合題意的所有可能,做到不重不漏.
【生活啟示】在解決一個生活中的復雜問題時,應將研究的問題分成若干相對簡單的情況,做到不重不漏,然后對分出來的每一種情況進行逐個討論,最后綜合,從而使得整個問題得以解決.比如某公司某月銷售業(yè)績下滑,那么,就需要用分類討論的方法,將公司經營的各個環(huán)節(jié)分解(生產、銷售、售后),對成本、銷售價格、費用等,逐個研究討論,找出問題所在的根源.
學以致用,我們要在學習數學知識的同時,去關注自己的生活.用數學的眼光去觀察生活中的現象,在生活中檢驗數學知識,并在生活中豐富自己的數學知識.
江蘇省鹽城市潘黃實驗學校)
延伸閱讀
冪與生活
隨著社會的發(fā)展,冪運算在各個領域的應用非常廣泛.生物芯片是20世紀80年代末在生命科學領域中迅速發(fā)展起來的一項高新技術.通俗地說,就是在一塊指甲大小的芯片上集成大量探針單元,構成一個微型電子生物分析系統,以實現對生物樣品準確、迅速、大信息量的檢測.如果一塊1.28×1.28平方厘米的芯片上集成了106個探針,你能知道每個探針單元的面積嗎?這其中就蘊含著冪的運算方面的知識.
其實,這樣的事例在生活中到處都有.比如,吃牛肉拉面時,要想知道拉面師傅拉面的條數,就要用到冪的運算;宇宙探索時,我們知道太陽光照射到地球表面所需的時間大約是5×102秒,光的速度大約是3× 108米/秒,那么地球與太陽之間的距離大約是多少千米呢?這些問題的解決都要用到冪的運算.