王 通， 何 濤,3， 曹曙陽

(1.上海師范大學(xué) 建筑工程學(xué)院，上海 201418；2. 同濟(jì)大學(xué) 土木工程防災(zāi)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092；3. 伯明翰大學(xué) 工學(xué)院，伯明翰 B15 2TT，英國)

微分求積模擬二維流體中流函數(shù)約束的施加方法研究

王 通1， 何 濤1,3， 曹曙陽2

(1.上海師范大學(xué) 建筑工程學(xué)院，上海 201418；2. 同濟(jì)大學(xué) 土木工程防災(zāi)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092；3. 伯明翰大學(xué) 工學(xué)院，伯明翰 B15 2TT，英國)

采用微分求積法數(shù)值求解流函數(shù)-渦度方程來模擬二維流體時(shí)會(huì)遇到流函數(shù)的超約束問題，即雖然流函數(shù)方程為二階偏微分方程，但在每個(gè)固體邊界上都存在兩個(gè)約束條件：一個(gè)Dirichlet條件和一個(gè)Neumann條件。以二維驅(qū)動(dòng)方腔流動(dòng)為例，對(duì)該問題進(jìn)行深入分析，進(jìn)而提出一種新的超約束處理方法，即在邊界渦度的計(jì)算中考慮Neumann條件，而僅將Dirichlet條件施加于流函數(shù)方程。數(shù)值結(jié)果顯示該方法可行，且計(jì)算效率較高。同時(shí)給出前人提出的單層法和雙層法進(jìn)行比較。試算表明單層法對(duì)于網(wǎng)格數(shù)的奇偶性很敏感，不適于處理該問題。與雙層法對(duì)比后發(fā)現(xiàn)：該方法計(jì)算精度較高，且由于回避了超約束問題而更加方便于使用。

微分求積；流函數(shù)-渦度方程；方腔流；邊界條件；超約束

計(jì)算機(jī)硬件和軟件的迅速發(fā)展以及數(shù)值算法研究的不斷深入使得數(shù)值模擬成為流體力學(xué)領(lǐng)域繼理論分析和實(shí)驗(yàn)研究之后的第三大研究手段，并越來越受到重視。相對(duì)于計(jì)算機(jī)的發(fā)展，人們往往對(duì)數(shù)值算法抱以更高的期望，這是因?yàn)樗惴ǖ母倪M(jìn)和發(fā)展會(huì)對(duì)數(shù)值模擬產(chǎn)生更深刻的影響。微分求積法(Differential Quadrature Method，DQM)自BELLMAN等[1]提出以來就備受關(guān)注，該方法不依賴于泛函和變分原理，是一種數(shù)學(xué)原理簡(jiǎn)單、計(jì)算精度高、計(jì)算量少的高階數(shù)值算法，已被廣泛應(yīng)用于流體力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、熱傳導(dǎo)、生物科學(xué)等諸多領(lǐng)域[2-7]，并有望發(fā)展成為與有限差分、有限元等傳統(tǒng)低階算法同等的求解微分方程的強(qiáng)有力方法。本文研究內(nèi)容是將DQM用以模擬二維驅(qū)動(dòng)方腔流體，并著重討論流函數(shù)邊界約束的處理問題。

對(duì)于二維驅(qū)動(dòng)方腔流體這種簡(jiǎn)單流動(dòng)前人已做過大量研究，并取得了豐富成果：GHIA等[8]采用CSI-MG方法求解流函數(shù)-渦度方程得到一系列雷諾數(shù)(最高達(dá)10 000)下的方腔流的解，最大網(wǎng)格數(shù)257×257；STRIZ等[9]采用DQM離散純流函數(shù)形式的流體控制方程，然后通過Newton-Raphson方法求解所得到的非線性方程組，得到較低雷諾數(shù)下的方腔流動(dòng)；SHU等[10]采用DQM結(jié)合SIMPLE算法求解原參數(shù)形式(速度和壓力)的流體控制方程來模擬方腔流動(dòng)，利用很少的網(wǎng)格就得到較理想的結(jié)果；BRUNEAU等[11]采用有限差分離散求解原參數(shù)形式的流體控制方程，得到了最高值為10 000等多個(gè)雷諾數(shù)下的方腔流數(shù)值解，最大網(wǎng)格數(shù)達(dá)2 048×2 048；MARCHI等[12]全面回顧了之前針對(duì)二維方腔流的研究，并采用有限體積法在1 024×1 024的網(wǎng)格上算得了被公認(rèn)為迄今為止最準(zhǔn)確的方腔流數(shù)值解。由上述研究可以看出，若想采用低階算法算得較準(zhǔn)確的結(jié)果就需要?jiǎng)澐指呙芏鹊木W(wǎng)格并花費(fèi)大量的計(jì)算資源，這也是發(fā)展高精度算法的根本原因。

相對(duì)于原參數(shù)形式的流體控制方程，流函數(shù)-渦度方程在模擬二維流場(chǎng)中具有很大的優(yōu)勢(shì)，它不僅求解變量少、自動(dòng)滿足連續(xù)性條件，而且能將壓力計(jì)算和速度計(jì)算解耦，從而極大地簡(jiǎn)化了計(jì)算。正因?yàn)槿绱?，雖然它不能被拓展到三維流場(chǎng)，但在求解二維流場(chǎng)時(shí)頗受青睞。然而，當(dāng)采用DQM數(shù)值求解流函數(shù)-渦度方程來模擬方腔流時(shí)卻遇到了流函數(shù)超約束的問題，即流函數(shù)的邊界條件數(shù)量多于流函數(shù)方程適定解所需要的約束數(shù)量[13]。SHU等[14]在采用類似方法模擬方腔內(nèi)的自然對(duì)流時(shí)也遇到了相同的問題，他們給出了兩種處理方法，即單層法和雙層法(詳述見第3節(jié))，并對(duì)兩種方法做了對(duì)比研究。

本文將基于二維驅(qū)動(dòng)方腔流動(dòng)深入分析流函數(shù)的超約束問題，進(jìn)而提出一種新的處理方法，然后由數(shù)值計(jì)算驗(yàn)證其可行性，最后對(duì)比本文方法與已有的單層和雙層法，并通過數(shù)值結(jié)果對(duì)比來證明本文方法的高效性。

1 微分求積法

微分求積法本質(zhì)上是一種特殊的加權(quán)殘值法，等價(jià)于混合配點(diǎn)法[15-16]，基本思想是將函數(shù)在給定網(wǎng)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值近似用該導(dǎo)數(shù)自變量方向上全部網(wǎng)點(diǎn)處函數(shù)值的加權(quán)和表示?？紤]一個(gè)光滑的二維函數(shù)f(x,y)，它在計(jì)算域內(nèi)連續(xù)可微，根據(jù)微分求積原理有

(1a)

(1b)

根據(jù)插值基函數(shù)類型的不同，DQM又可以分成PDQ(基于多項(xiàng)式插值的DQM)和FDQ(基于傅里葉級(jí)數(shù)展開的DQM)兩類。PDQ一般適用于非周期性問題的求解；而FDQ則適用于周期和非周期性的問題，但對(duì)于周期性問題的效果更好。根據(jù)基函數(shù)選取的不同，權(quán)系數(shù)的計(jì)算也不同。本文研究僅采用PDQ，并采用拉格朗日插值函數(shù)作為基函數(shù)，由此，一階導(dǎo)數(shù)權(quán)系數(shù)的計(jì)算公式為

當(dāng)i≠j時(shí)

(2a)

(2b)

當(dāng)i=j時(shí)

(3a)

(3b)

對(duì)于二階甚至更高階導(dǎo)數(shù)的權(quán)系數(shù)，可采用下面的矩陣公式進(jìn)行計(jì)算：

(4a)

(4b)

式中：[A(r)]為函數(shù)f(x,y)對(duì)x的r階偏導(dǎo)數(shù)所對(duì)應(yīng)的權(quán)系數(shù)矩陣；[B(s)]為函數(shù)f(x,y)對(duì)y的s階偏導(dǎo)數(shù)所對(duì)應(yīng)的權(quán)系數(shù)矩陣。

網(wǎng)格點(diǎn)的分布形式對(duì)計(jì)算結(jié)果的精度影響很大，一般情況下不等分網(wǎng)格比等分網(wǎng)格的計(jì)算精度高，所以本文將采用不等分網(wǎng)格進(jìn)行計(jì)算。

2 問題描述及模型離散

二維驅(qū)動(dòng)方腔流動(dòng)的坐標(biāo)系及速度邊界條件如圖1所示。流函數(shù)-渦度形式的流體控制方程為

(5a)

(5b)

式中：Ψ、ω、u、v、Re分別為流函數(shù)、渦度、x向速度、y向速度、雷諾數(shù)，且

(6a)

(6b)

圖1 二維驅(qū)動(dòng)方腔流動(dòng)圖示

將圖1所示的速度邊界條件代入式(6)就得到流函數(shù)的約束條件：

(7a)

(7b)

(7c)

由式(7)可以看出，流函數(shù)Ψ在每個(gè)邊界上都存在兩個(gè)邊界條件：一個(gè)Dirichlet條件和一個(gè)Neumann條件。而流函數(shù)方程(5a)卻僅僅是一個(gè)二階偏微分方程(只需每個(gè)邊界上有一個(gè)Dirichlet條件就能滿足適定解的要求)，這就是所謂的流函數(shù)的超約束問題。

(8a)

(8b)

根據(jù)微分求積原理將式(5)在空間上離散后得到

(9a)

(9b)

采用同樣的方法也可以將式(6)～(8)進(jìn)行空間離散，這里不再贅述。

3 流函數(shù)約束施加方法

SHU等[14]采用微分求積法模擬二維方腔內(nèi)的自然對(duì)流時(shí)也遇到類似的超約束問題，他們提出了單層法和雙層法等兩種處理方法：所謂單層法就是將兩個(gè)約束條件全部施加在處于邊界上的那層網(wǎng)格點(diǎn)上，具體做法是在計(jì)算流函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的權(quán)系數(shù)時(shí)嵌入Neumann條件；而雙層法就是將兩個(gè)邊界約束分別施加于不同的兩層網(wǎng)格點(diǎn)上，具體做法是將Dirichlet條件施加于邊界點(diǎn)上，而將Neumann條件施加于緊鄰邊界的那層網(wǎng)格點(diǎn)上。單層法和雙層法都是把流函數(shù)的兩個(gè)約束條件全部施加于流函數(shù)方程，雖然流函數(shù)方程僅僅是二階微分方程。然而從微分方程的理論角度講，這樣做可能是不合理和不準(zhǔn)確的。我們?cè)谠囁阒邪l(fā)現(xiàn)，單層法對(duì)于網(wǎng)格數(shù)的奇偶性很敏感，不適于處理本文問題(詳細(xì)分析見第5節(jié))，這在一定層度上也印證了上述判斷。

現(xiàn)在我們換一個(gè)角度來分析流函數(shù)的超約束問題：首先，把式(5a)代入式(5b)，消去渦度變量后得到關(guān)于流函數(shù)的四階偏微分方程，即純流函數(shù)形式的流體控制方程，而流函數(shù)在每個(gè)邊界上恰好有兩個(gè)約束條件，滿足適定解的要求，所以不存在超約束的問題；其次，流函數(shù)-渦度方程與純流函數(shù)方程是等價(jià)的，流函數(shù)的約束條件也相同，僅僅由于形式不同，流函數(shù)-渦度方程出現(xiàn)了超約束問題；最后，由于流函數(shù)方程與渦度方程是耦合的，若其中一個(gè)方程受到某種約束，另一方程也應(yīng)受到相同約束?；谏鲜龇治?，我們給出一種新的處理方法：將Neumann條件施加于渦度方程，即在采用式(8)的微分求積離散式來計(jì)算邊界渦度時(shí)考慮Neumann條件，而僅將Dirichlet條件施加于流函數(shù)方程，從而回避了流函數(shù)的超約束問題。

4 方法驗(yàn)證

本節(jié)將通過對(duì)二維驅(qū)動(dòng)方腔流體的數(shù)值求解來檢驗(yàn)新方法的可行性。求解方法與SHU等[14]所用方法類似：采用LU分解來求解微分求積離散所得到的線性代數(shù)方程組，對(duì)于渦度方程在時(shí)間域采用四階Runge-Kutta法進(jìn)行計(jì)算，網(wǎng)格采用不等分形式的Chebyshev-Gauss-Lobatto節(jié)點(diǎn)。流場(chǎng)變量初始值都設(shè)置為0，迭代計(jì)算當(dāng)達(dá)到下式標(biāo)準(zhǔn)時(shí)結(jié)束，

(10)

式中：Resij表示渦度方程在網(wǎng)格點(diǎn)(xi,yj)處的殘差。計(jì)算平臺(tái)是ThinkPad SL400，雙核主頻分別為2.2 GHz，內(nèi)存2 GB RAM。

圖2和圖3所示為Re=100、400、1 000，對(duì)應(yīng)網(wǎng)格分別為19×19、25×25、37×37時(shí)，由本文方法計(jì)算所得x向速度u沿豎向中軸線以及y向速度v沿水平中軸線的分布，同時(shí)還給出已有結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。比較發(fā)現(xiàn)，本文方法的計(jì)算結(jié)果與已有結(jié)果吻合的很好。為進(jìn)一步驗(yàn)證該方法的精度和效率，表1和表2分別給出Re=1 000時(shí)由本文方法在不同網(wǎng)格密度下計(jì)算所得u沿豎向中軸線以及v沿水平中軸線的離散數(shù)值，并給出MARCHI等的經(jīng)典結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。由表中數(shù)據(jù)可以看出，當(dāng)網(wǎng)格密度較小時(shí)，計(jì)算結(jié)果偏差較大，但隨著網(wǎng)格密度的加大，計(jì)算結(jié)果迅速靠近參照值，而當(dāng)網(wǎng)格密度增大到一定程度后，再增大網(wǎng)格密度對(duì)計(jì)算結(jié)果的改進(jìn)不大。以上結(jié)果充分證明了該方法的可行性。

圖2 u沿豎向中軸線的分布

圖3 v沿水平中軸線的分布

表1 本文方法算得速度u在豎向中軸線上的數(shù)值(Re=1 000)

表2 本文方法算得速度v在水平中軸線上的數(shù)值(Re=1 000)

5 對(duì)比分析

由第3節(jié)可知，單層法和雙層法都是將流函數(shù)的所有約束條件全部施加于流函數(shù)方程，操作較為復(fù)雜；而本文方法將Dirichlet條件和Neumann條件分別施加于流函數(shù)方程和渦度方程，從根本上回避了超約束問題，而且實(shí)施方便。另外，單層和雙層法將Neumann條件強(qiáng)加于流函數(shù)方程的做法從理論上講是不合理的，可能會(huì)造成計(jì)算發(fā)散或數(shù)值奇異。研究中我們發(fā)現(xiàn)，雙層法的計(jì)算效果較好，而單層法對(duì)于x向和y向網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)的奇偶性很敏感，對(duì)此我們嘗試了以下四種組合：N和M都是奇數(shù)；N為奇數(shù)，M為偶數(shù)；N為偶數(shù)，M為奇數(shù)；N和M都是偶數(shù)。試算發(fā)現(xiàn)：前兩種組合下，計(jì)算發(fā)散；后兩種組合下，只有當(dāng)時(shí)間步長很小，并且對(duì)方腔頂部兩角點(diǎn)附近的速度u做一些光滑處理后才能得到收斂解[17]，但數(shù)值精度較差。這或許是強(qiáng)加所有約束條件于流函數(shù)方程的不合理性造成的，關(guān)于這一點(diǎn)本文不做進(jìn)一步的深入研究。由此可見，單層法不適于處理本文問題，所以在下面的對(duì)比研究中，我們僅考慮雙層法。

由上述分析可知本文方法較雙層法操作更加方便，不僅如此，我們將從計(jì)算精度上進(jìn)一步證明該方法的優(yōu)越性。表3和表4所示為Re=1 000時(shí)分別由本文方法和雙層法在不同網(wǎng)格密度下計(jì)算所得u沿豎向中軸線以及v沿水平中軸線的離散數(shù)值，并給出MARCHI等的經(jīng)典結(jié)果進(jìn)行比較。可以看出，隨著網(wǎng)格密度的加大，兩種方法的計(jì)算精度都迅速提高，但在相同網(wǎng)格密度下，本文方法的精度明顯高于雙層法。

表3 本文方法與雙層法算得u在豎向中軸線上的對(duì)比(Re=1 000)

表4 本文方法與雙層法算得v在水平中軸線上的對(duì)比(Re=1 000)

接下來分析兩種方法的計(jì)算效率問題。由第3節(jié)可知，雙層法是把兩個(gè)流函數(shù)約束分別施加在兩層網(wǎng)格上，那么最終需要求解的離散變量個(gè)數(shù)為(N-4)× (M-4)，而本文方法需要求解(N-2)×(M-2)個(gè)離散變量，計(jì)算量明顯高于雙層法。另外，采用雙層法時(shí)所允許的最大時(shí)間步也明顯大于本文方法。這兩個(gè)因素決定了雙層法得計(jì)算效率明顯高于本文方法，如表5所示。但在現(xiàn)有的計(jì)算機(jī)水平下，本文方法的計(jì)算效率是完全可以接受的，并且該方法回避了超約束問題，操作相對(duì)更加方便。

表5 本文方法與雙層法計(jì)算效率對(duì)比(Re=1 000)

對(duì)于本文所討論的問題，若要嚴(yán)格反映流體邊界條件，應(yīng)該將流體控制方程升階到四階的純流函數(shù)方程進(jìn)行求解，類似工作已由STRIZ等開展，但本文目的是研究如何采用微分求積法數(shù)值求解流函數(shù)-渦度函數(shù)來模擬二維方腔流動(dòng)，而為了驗(yàn)證本文方法的準(zhǔn)確性，我們直接將本文數(shù)值結(jié)果與前人經(jīng)典結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，并未與STRIZ等的結(jié)果比較。實(shí)際上，當(dāng)采用微分求積法數(shù)值求解純流函數(shù)方程來模擬二維方腔流動(dòng)時(shí)同樣會(huì)遇到在一個(gè)邊界點(diǎn)上存在兩個(gè)邊界條件的問題，但并非超約束，此時(shí)可采用WANG等[18]的嵌入法來處理邊界條件，另外若在時(shí)域上也采用本文所選擇的時(shí)間推進(jìn)格式，則上述微分求積數(shù)值求解純流函數(shù)方程來模擬方腔流的方法等價(jià)于本文微分求積數(shù)值求解流函數(shù)-渦度方程來模擬方腔流的方法。但這不是本文所討論的問題，所以針對(duì)這一問題，我們不再深入展開。

6 結(jié)論

基于二維驅(qū)動(dòng)方腔流體，本文深入探討了微分求積數(shù)值求解流函數(shù)-渦度方程中所遇到的流函數(shù)的超約束問題，并提出一種新的處理方法，即把Dirichlet條件和Neumann條件分別施加于流函數(shù)方程和渦度方程，從而回避了超約束問題。同時(shí)將本文方法與已有的單層法和雙層法進(jìn)行對(duì)比。研究發(fā)現(xiàn)，單層法對(duì)于網(wǎng)格數(shù)的奇偶性很敏感，不適于處理本文問題。對(duì)比本文方法與雙層法發(fā)現(xiàn)：雖然本文方法的計(jì)算效率相對(duì)較低，但計(jì)算精度更高，且由于回避了超約束問題而更加方便于使用。

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Methods on applying stream-function restraints in differential quadrature modelling of two-dimensional flow

WANG Tong1, HE Tao1,3, CAO Shuyang2

(1. College of Civil Engineering, Shanghai Normal University, Shanghai 201418, China;2. State Key Laboratory for Disaster Reduction in Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China;3. School of Engineering, University of Birmingham, Birmingham B15 2TT, UK)

The 2D lid-driven cavity flow was simulated by applying the differential quadrature method to solve the stream function-vorticity equations. There were two boundary conditions, one Dirichlet and one Neumann, for the stream function equation at each solid boundary though the stream function equation was just second order. Analysis on this over- specified problem was carried out, based on which a new applying method was proposed: the Neumann condition was considered in calculating the vorticity at the boundary while only the Dirichlet condition was applied in the stream function equation. Validity of this method was verified by comparing its numerical results with benchmark data. Two other existing methods, the one-layer approach and the two-layer approach were shown as contrasts. Trial calculations indicate that the one-layer approach is sensitive to the parity of grid numbers and is not suitable for the present problem. Comparisons between the new method and the two-layer approach show that the former is not only more accurate but also more convenient to be used in practice for avoiding the over-specified problem.

differential quadrature method; stream function-vorticity equations; cavity flow; boundary condition; over-specified

國家自然科學(xué)基金青年基金項(xiàng)目(51508333)

2016-04-12 修改稿收到日期：2016-08-11

王通 男，博士，講師，1981年2月生

TV131；O302

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.08.027