艾智勇， 任廣鵬

(1. 同濟(jì)大學(xué) 地下建筑與工程系，上海 200092； 2. 同濟(jì)大學(xué) 巖土及地下工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 上海 200092)

層狀橫觀各向同性地基性質(zhì)對(duì)剛性條基搖擺振動(dòng)的影響

艾智勇1，2， 任廣鵬1，2

(1. 同濟(jì)大學(xué) 地下建筑與工程系，上海 200092； 2. 同濟(jì)大學(xué) 巖土及地下工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 上海 200092)

分析了土體的橫觀各向同性及層狀性質(zhì)對(duì)剛性條形基礎(chǔ)搖擺振動(dòng)的影響。首先利用解析層元法得出層狀橫觀各向同性地基的總剛度矩陣。再根據(jù)剛性條形基礎(chǔ)與地基相互作用的混合邊值條件，建立了一組對(duì)偶積分方程，并借助Jacobi正交多項(xiàng)式求解了該對(duì)偶積分方程，從而得到地基動(dòng)力柔度系數(shù)。計(jì)算結(jié)果與已有文獻(xiàn)的結(jié)果吻合較好。同時(shí)，算例結(jié)果表明：土的水平向與豎向彈性模量比的減小、豎向的剪切模量與彈性模量比的增大,以及水平向泊松比與豎向泊松比比值的增大,都將導(dǎo)致地基動(dòng)力柔度系數(shù)增大；而且,層狀地基中上層土的彈性模量的減小使得地基動(dòng)力柔度系數(shù)也增大。

搖擺振動(dòng)； 層狀地基； 橫觀各向同性； 對(duì)偶積分方程

研究地基土和基礎(chǔ)在動(dòng)力荷載作用下的響應(yīng)，對(duì)地震工程及動(dòng)力機(jī)器基礎(chǔ)等實(shí)際問(wèn)題具有一定的指導(dǎo)意義。LAMB[1]首先研究了均勻彈性半空間體在表面振動(dòng)荷載作用下的響應(yīng)；馬曉華等[2]研究了飽和均質(zhì)地基上條形彈性基礎(chǔ)的搖擺振動(dòng)問(wèn)題；胡燦陽(yáng)等[3]采用錐體模型分析了均質(zhì)半空間內(nèi)埋置圓盤平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的地基阻抗?？紤]到天然土體是由長(zhǎng)期自然沉積而形成，且往往呈現(xiàn)出橫觀各向同性的性質(zhì)。STONELEY[4]研究了橫觀各向同性彈性半空間體內(nèi)波的傳播問(wèn)題；KHOJASTEH等[5-6]利用位移勢(shì)原理推導(dǎo)出了兩層及多層橫觀各向同性彈性半空間體的三維動(dòng)力格林函數(shù)；AI等[7-8]求出了層狀橫觀各向同性彈性半空間在豎向和水平簡(jiǎn)諧荷載作用下的解析層元解。何芳社等[9]等采用Fourier-Bessel級(jí)數(shù)分析了橫觀各向同性飽和半空間上圓形環(huán)板的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。

解析層元法的優(yōu)勢(shì)在于數(shù)值計(jì)算過(guò)程中只涉及負(fù)指數(shù)函數(shù)、土體材料參數(shù)和土層厚度，這使得計(jì)算過(guò)程更加穩(wěn)定有效。故本文運(yùn)用解析層元法研究橫觀各向同性地基上剛性條形基礎(chǔ)的搖擺振動(dòng)問(wèn)題，并通過(guò)算例分析了橫觀各向同性參數(shù)和成層特性對(duì)基礎(chǔ)搖擺振動(dòng)的影響。

1 平面橫觀各向同性層狀地基解析層元

AI等利用積分變換等方法推導(dǎo)出了單層和多層平面橫觀各向同性地基動(dòng)力問(wèn)題的解析層元解，其中變換域中單層地基的解析層元如式(1)，

(1)

變換域中下臥半空間的解析層元如式(2)，

(2)

(3a)

(3b)

對(duì)于多層半空間，將式(1)應(yīng)用于層狀地基的每一層，將式(2)應(yīng)用于下臥半空間，并結(jié)合層間連續(xù)性條件和式(3)，則可建立層狀土體的總剛度矩陣：

(4)

式中:Ki為第i層地基的解析層元;Kh為下臥半空間的解析層元。

2 層狀地基與剛性條形基礎(chǔ)共同作用

剛性條形基礎(chǔ)在橫觀各向同性層狀地基表面作搖擺振動(dòng)，如圖1所示。

假定剛性條形基礎(chǔ)與地基完全光滑接觸，且地基表面土體的剪應(yīng)力為零。若在條形基礎(chǔ)底部給定位移，則邊界條件為

(5a)

式中:q(x)為接觸應(yīng)力;基礎(chǔ)寬度為2b;轉(zhuǎn)角為θ。

圖1 剛性條形基礎(chǔ)與層狀橫觀各向同性地基相互作用

式(5)進(jìn)行Fourier變換后代入式(4)，可得：

(6)

展開(kāi)式(6)，可得：

(7)

式中，k*22為剛度矩陣求逆之后第2行第2列的元素。

結(jié)合式(5b)、式(5d)和式(7)可得一組對(duì)偶方程如下：

(8a)

(8b)

3 對(duì)偶積分方程求解

(9a)

(9b)

(10)

式中，an為待定系數(shù)， 并有如下關(guān)系式：

(11)

結(jié)合式(11)，并對(duì)式(10)進(jìn)行Fourier變換得：

(12)

考慮到如下關(guān)系式：

(13)

將式(12)代入式(9a)，則得：

(14)

再利用下列關(guān)系式：

(15)

將式(15)代入式(14)得：

(16)

(17)

由式(17)求出a0,a1,…,an后，則基底反力的合力為

(18)

根據(jù)文獻(xiàn)[11]，定義基底反力的合力：

(19)

則地基的動(dòng)力柔度系數(shù)為

(20)

需要說(shuō)明的是，為了避免在數(shù)值逆變換中出現(xiàn)奇異性，本文人為設(shè)置地基的阻尼比為0.01。文獻(xiàn)[7]已證明這種人為增加的小阻尼對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響可以忽略，因此本文的理論仍適用于純彈性體。鑒于本文的數(shù)值計(jì)算在復(fù)數(shù)域內(nèi)進(jìn)行，計(jì)算所求的a0為復(fù)數(shù)值，因此地基的動(dòng)力柔度系數(shù)CV由實(shí)部Re[CV]和虛部lm[CV]組成。

4 數(shù)值驗(yàn)證

圖2 與文獻(xiàn)[11]的地基動(dòng)力柔度系數(shù)結(jié)果對(duì)比

5 橫觀各向同性參數(shù)影響

5.1 橫觀各向同性參數(shù)n對(duì)柔度系數(shù)的影響

肖仁成等[12]對(duì)9種來(lái)自不同國(guó)家的橫觀各向同性土層試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了總結(jié)，故本文橫觀各向同性參數(shù)的取值參考了他們的工作。由于大多數(shù)地基Eh>Ev，在m=0.4，l=1情況下，分別選取n=1,2,3的情況進(jìn)行計(jì)算，其它條件與驗(yàn)證算例相同。計(jì)算出的地基動(dòng)力柔度系數(shù)如圖3所示，由圖3可以看出：在其它條件相同的情況下，地基動(dòng)力柔度系數(shù)實(shí)部和虛部的絕對(duì)值，隨著水平向與豎向彈性模量比n的增大而減小。

5.2 橫觀各向同性參數(shù)m對(duì)柔度系數(shù)的影響

在n=1，l=1情況下，分別取m=0.2,0.3,0.4，其它條件與驗(yàn)證算例相同，分析豎向的剪切模量與彈性模量比m對(duì)地基動(dòng)力柔度系數(shù)的影響，計(jì)算結(jié)果如圖4所示。由圖4可以看出：地基動(dòng)力柔度系數(shù)實(shí)部和虛部的絕對(duì)值隨著豎向的剪切模量與彈性模量比m的增大而增大，并且動(dòng)力柔度系數(shù)隨無(wú)量綱頻率變化的趨勢(shì)與圖3相似。

圖3 n對(duì)地基動(dòng)力柔度系數(shù)的影響

圖4 m對(duì)地基動(dòng)力柔度系數(shù)的影響

5.3 橫觀各向同性參數(shù)l對(duì)柔度系數(shù)的影響

在m=0.4，n=1情況下，分別取l=1,1.5,2，分析水平向泊松比與豎向泊松比的比值l對(duì)地基動(dòng)力柔度系數(shù)的影響，計(jì)算結(jié)果如圖5所示。由圖5可以看出：地基動(dòng)力柔度系數(shù)實(shí)部和虛部的絕對(duì)值隨著水平向泊松比與豎向泊松比的比值l的增大而增大。

圖5 l對(duì)地基動(dòng)力柔度系數(shù)的影響

綜上可見(jiàn)，橫觀各向同性參數(shù)對(duì)剛性條形基礎(chǔ)的動(dòng)力柔度系數(shù)有較明顯的影響。當(dāng)基礎(chǔ)搖擺的無(wú)量綱頻率較小(b0<0.5)時(shí)，動(dòng)力柔度系數(shù)實(shí)部受橫觀各向同性參數(shù)影響大，虛部受到的影響??；當(dāng)基礎(chǔ)搖擺的無(wú)量綱頻率較大(b0>0.5)時(shí)，動(dòng)力柔度系數(shù)實(shí)部受到橫觀各向同性參數(shù)的影響減弱，虛部受到的影響變大。此外，由式(19)可知，基底反力的合力與動(dòng)力柔度系數(shù)成反比，故基礎(chǔ)搖擺的頻率對(duì)合力也會(huì)產(chǎn)生一定影響。而且橫觀各向同性參數(shù)取不同值時(shí)，動(dòng)力柔度系數(shù)隨基礎(chǔ)搖擺的無(wú)量綱頻率b0變化的規(guī)律相似，即：動(dòng)力柔度系數(shù)實(shí)部隨著無(wú)量頻率的增加先增大后減小，并在無(wú)量綱頻率b0=0.75附近達(dá)到峰值；而虛部的絕對(duì)值隨著無(wú)量頻率的增加而增加。

6 層狀參數(shù)影響

三層地基的三種不同工況下的彈性參數(shù)取值見(jiàn)表1。其它參數(shù)取值為：n1=n2=n3=2，μvh1=μh1=μvh2=μh2=μvh3=μh3=0.25，Gv1=Gv2=Gv3=2 MPa；上兩層地基厚度相等，最下層為半空間。地基動(dòng)力柔度系數(shù)的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖6，由圖6可以看出：對(duì)比工況1和工況2，土層一彈性模量增大時(shí)，基礎(chǔ)動(dòng)力柔度系數(shù)減??；對(duì)比工況2和工況3，地基上面兩層土的平均彈性模量相同，而地基動(dòng)力柔度系數(shù)曲線不同，并且工況3的上層土的彈性模量大，而其地基動(dòng)力柔度系數(shù)的絕對(duì)值小。綜上，其它條件相同的情況下，上層土的彈性模量對(duì)地基的動(dòng)力柔度系數(shù)影響較大；并且上層土的彈性模量越大，地基的動(dòng)力柔度系數(shù)的實(shí)部和虛部的絕對(duì)值越小。因此，對(duì)地基進(jìn)行動(dòng)力分析時(shí)，有必要考慮地基成層性的影響。

表1 計(jì)算工況一覽

圖6 地基成層性對(duì)地基動(dòng)力柔度系數(shù)的影響

7 結(jié) 論

本文利用層狀橫觀各向同性地基的解析層元解答，并結(jié)合剛性條形基礎(chǔ)與地基接觸的混合邊值條件建立對(duì)偶積分方程，利用Jacobi正交多項(xiàng)式求解出地基的動(dòng)力柔度系數(shù)。通過(guò)與文獻(xiàn)結(jié)果的對(duì)比，說(shuō)明了本文理論和數(shù)值計(jì)算方法的合理性。算例分析表明：土的橫觀各向同性性質(zhì)和成層性對(duì)地基動(dòng)力柔度系數(shù)產(chǎn)生了較大的影響，故在工程實(shí)踐中有必要考慮兩者的影響。

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Influences of layered transversely isotropy property of soils on rocking vibration of a rigid strip foundation

AI Zhiyong1, 2, REN Guangpeng1, 2

(1. Department of Geotechnical Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China; 2. Key Laboratory of Geotechnical and Underground Engineering of Ministry of Education, Tongji University, Shanghai 200092, China)

Influences of transversely isotropy and layered property of soils on rocking vibration of a rigid strip foundation were analyzed. The total stiffness matrix for the plane transversely isotropic layered soils was obtained by employing the analytical layer-element method. Based on the mixed boundary conditions of the contact problem, a pair of dual integral equations was established. Meanwhile, with the aid of Jacobi orthogonal polynomials, the dynamic compliance coefficients could be obtained. Numerical results were carried out by computer programs. The results agree well with the present theory and existing references. Further numerical examples show that with the decrease of the ratio of horizontal elastic modulus to vertical elastic modulus of soils, the dynamic flexibility coefficient is getting larger. It is also demonstrated that the increase of the ratio of vertical shear modulus to elastic modulus and the increase of the ratio of horizontal Poisson’s ratio to vertical Poisson’s ratio will lead to the increase of the dynamic flexibility coefficient. Moreover, the decrease of the elastic modulus of the upper soil will lead to the increase of the dynamic flexibility coefficient.

rocking vibration; layered soils; transverse isotropy; dual integral equation

2015-10-22 修改稿收到日期：2016-01-25

艾智勇 男，博士，教授，1966年生

TH212； TH213.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.08.009