李明輝 宋忠柱 徐文力 譚禮斌 李光輝

(陜西科技大學機電工程學院,陜西西安,710021)

RST數(shù)字控制器及其在時延系統(tǒng)中的應用

李明輝 宋忠柱*徐文力 譚禮斌 李光輝

(陜西科技大學機電工程學院,陜西西安,710021)

RST數(shù)字控制器是一個三支路結構控制器,可以等效為一個前向預測器和一個無時延的控制器,能夠很好地解決時延系統(tǒng)中的相位變化問題,使系統(tǒng)具有較好的魯棒性。PID控制器、PID-Smith預估控制器和RST數(shù)字控制器的仿真實驗表明,在這3種控制器中,RST數(shù)字控制器的跟蹤性能和抑制擾動性能最好,而且對于參數(shù)不定的系統(tǒng),其還具有較強的魯棒性。

RST數(shù)字控制器；時延系統(tǒng)；相位；魯棒性

長久以來,數(shù)字控制理論一直受制于連續(xù)控制理論的發(fā)展,數(shù)字控制器的設計被認為是模擬數(shù)字控制器的數(shù)字化而已[1]。隨著計算機的快速發(fā)展,各種微型計算器功能越來越強大,復雜的數(shù)字控制算法能夠直接在硬件上運用,并且體現(xiàn)出了許多模擬控制器無法企及的優(yōu)越性。

時延系統(tǒng)在造紙生產(chǎn)中比較常見。時延的存在導致了與頻率成正比的相位變化,故利用傳統(tǒng)的控制策略很難得到滿意的控制性能[2]。對時延系統(tǒng)的研究方興未艾,目前,比較流行的控制策略主要有：Smith預估器控制、IMC內膜控制和模糊智能控制,以及這些控制策略的改進型[3- 4]。以上每種方法在標稱條件下均能獲得理想的控制效果,但是,控制器的控制性能依賴于模型的準確程度,所以魯棒性能較差；此外,這些控制策略是為連續(xù)時間系統(tǒng)設計的,所以實際應用時要進行離散化處理,這會造成離散化的控制器無法達到原來的控制性能。因此,有必要引入一種魯棒性強且能直接應用于實際的控制器,這就是RST三支路數(shù)字控制器的由來[5- 6]。

1 數(shù)字控制器結構

1.1 常見數(shù)字控制器結構

常見的數(shù)字控制系統(tǒng)主要包括：數(shù)字控制器(Digital Controller)、同步時鐘(Clock)、零階保持器(ZOH)、執(zhí)行器、過程、傳感器及DAC(數(shù)模轉換器)和ADC(模數(shù)轉換器)等。對象的輸出信號y(t)為連續(xù)時間信號,經(jīng)過同步時鐘和ADC轉換變?yōu)殡x散值y(k),y(k)再與設定值比較,得到偏差e(k),進入數(shù)字控制器后調用具體的算法計算出控制量u(k),最后通過零階保持器重新變?yōu)檫B續(xù)時間變量u(t)輸入到執(zhí)行器(見圖1)。

1.2 RST數(shù)字控制器結構

RST數(shù)字控制器是一個三支路數(shù)字控制器,結構如圖2所示,3個支路分別用R(q-1)、S(q-1)和T(q-1)表示,它們都由多項式來代替,設置不同的多項式系數(shù)可以得到不同控制特點的控制器。

控制信號：

(1)

開環(huán)傳遞函數(shù)：

(2)

輸入到輸出的閉環(huán)傳遞函數(shù)：

(3)

圖1 RST數(shù)字控制器設計

圖2 RST數(shù)字控制器結構

引入如下公式：

A(q-1)=1+a1q-1+…+anAq-nA=

1+q-1A*(q-1)

(4)

A*(q-1)=a1+a2q-1+…+anAq-nA+1

(5)

B(q-1)=b1q-1+b2q-2+…+bnBq-nB=

q-1B*(q-1)

(6)

B*(q-1)=b1+b2q-1+b3q-2+…+bnBq-nB+1

(7)

S(q-1)=1+s1q-1+…+snSq-nS=

1+q-1S*(q-1)

(8)

R(q-1)=r0+r1q-1+…+rnRq-nR

(9)

系統(tǒng)的特征多項式為：

P(q-1)=A(q-1)S(q-1)+q-dB(q-1)R(q-1)=1+p1q-1+p2q-2+…

(10)

多項式P(q-1)是閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母項,定義了系統(tǒng)的極點,同時也決定了閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)響應性能,因此,可以將多項式P(q-1)的系數(shù)看作系統(tǒng)性能指標的體現(xiàn)。

2 RST數(shù)字控制器參數(shù)設計

設計RST數(shù)字控制器最主要的就是確定參數(shù),具體來說,就是確定R(q-1)、S(q-1)和T(q-1)的多項式系數(shù),其中,T(q-1)的引入增加了系統(tǒng)的自由度,從而可以設計出同時滿足跟蹤性能和抑制干擾性能的數(shù)字控制器,這也是RST數(shù)字控制器具有良好魯棒性的重要體現(xiàn)?？刂茀?shù)設計的具體步驟如下。

(1)獲得對象模型,并進行離散化處理。

對象模型的獲取至關重要,模型越準確,控制器的設計越有針對性,控制效果也就越好。一般來說,對象模型的獲取有2種：一種是通過機理分析,建立對象的微分方程,做拉氏變換得到對象的傳遞函數(shù)；另一種是通過實驗法,由測試數(shù)據(jù)辨識出系統(tǒng)對象模型[7]。第一種方法局限性較大,對于稍微復雜的對象就很難通過機理分析得到數(shù)學模型。第二種方法應用范圍較廣,其辨識方法又可以分為：基于白化預測誤差的辨識方法和基于觀測向量和預測誤差的不相關性的辨識方法[8]。用于系統(tǒng)辨識的軟件有WinPIM+和MATLAB系統(tǒng)辨識工具箱。

針對RST數(shù)字控制器來說,對象模型用式(11)多項式來表示。

總而言之,在急性顱腦損傷診斷過程中,MRI成像具有較高的診斷準確率和分別率,其能夠及早的將顱腦損傷病灶顯示出來,為急性顱腦損傷的診斷和治療奠定基礎,值得進一步采納和推廣。

(11)

通過模型辨識得到的傳遞函數(shù)經(jīng)過離散化處理后得到上述模型,其包括3個部分,即時延部分、離散所得分子項和分母項。

(2)選擇閉環(huán)極點,確定多項式P(q-1)。

方法一：根據(jù)理想性能指標,確定多項式P(q-1)。

令：P(q-1)=1+p1q-1+p2q-2,由u(t)=P(q-1)y(t)得

y(t+2)=-u(t+2)-p1y(t+1)-p2y(t)

(12)

當輸入為0時,求系統(tǒng)的自由輸出響應。令：p1=-0.75、p2=0,可以得到y(tǒng)(t+1)=0.75y(t),即對象輸出在下一時刻衰減到75%；對于一個穩(wěn)定的系統(tǒng)來說,p1應為負值,且其絕對值應小于1。

方法二：對于一個二階系統(tǒng)來說,可以通過指定上升時間、調節(jié)時間和最大超調量來確定系統(tǒng)的自然頻率和阻尼比,從而得到二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù),加上零階保持器后再進行離散化,得到的傳遞函數(shù)的分母就是多項式P(q-1),進而得到系數(shù)p1和p2。例如,帶零階保持器的連續(xù)時間系統(tǒng)模型：

(13)

(14)

則p1=a1,p2=a2。

(3)解Bezout多項式等式,并求出R(q-1)、S(q-1)和T(q-1)。

有3種方法可以求解RST數(shù)字控制器的參數(shù)：極點配置法、獨立目標的跟蹤和調節(jié)法和基于內膜的跟蹤和調節(jié)控制；實際上后2種方法也是極點配置法。極點配置中求解Bezout等式是RST數(shù)字控制器參數(shù)設計中最主要的一個步驟。經(jīng)過前2個步驟,已經(jīng)得到A(q-1)、B(q-1)和P(q-1),但是R(q-1)和S(q-1)還不確定,求Bezout等式的過程其實就是確定多項式R(q-1)和S(q-1)的系數(shù)的過程。Bezout等式如下：

P(q-1)=A(q-1)S(q-1)+q-dB(q-1)R(q-1)

(15)

當且僅當A(q-1)和B(q-1)互質時等式有唯一解,此時應滿足：

nP=degP(q-1)≤nA+nB+d-1

(16)

nS=degS(q-1)≤nB+d-1

(17)

nR=degR(q-1)=nA-1

(18)

式(17)和式(18)中,R(q-1)和S(q-1)的階數(shù)nS、nR不包含預先指定的因子項。

為了便于利用計算機進行求解,將未知參數(shù)寫成一個列向量,特征多項式P(q-1)的系數(shù)也寫成一個列向量,得到如下的矩陣：

Mx=p

(19)

其中,xT=[1,s1,…,sns,r0,…,rnR]；pT=[1,p1,…,pnp,0,…,0],關系矩陣M如下。

等式兩邊對關系矩陣求逆運算,得到：

x=M-1p

(20)

所以,可以求出R(q-1)和S(q-1)。

求解等式時,可以事先指定R(q-1)和S(q-1)的某些因子項,例如,當考慮到系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差和抑制擾動時,S(q-1)的多項式應該包括因子項(1-q-1),以保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)增益等于1,該因子項的作用相當于在前向通道中加入一個積分器。

T(q-1)的確定與系統(tǒng)的跟蹤控制性能有關。通過期望性能指標事先指定一個跟蹤模型,當參考輸入發(fā)生變化時,使系統(tǒng)輸出y(t)跟隨著期望y*(t)進行變化,跟蹤模型的確定方法與P(q-1)的確定方法類似。以帶時延系統(tǒng)為例,其傳遞函數(shù)形式如下：

(21)

因此有：T(q-1)=GP(q-1)

至此,RST數(shù)字控制器參數(shù)設計全部結束。完整的極點配置如圖3所示。

圖3 控制器設計框圖

(4)驗證魯棒性裕度。

對于設計好的RST數(shù)字控制器,最后一步就是驗證控制器的魯棒性裕度,包括增益裕度(ΔG)、相角裕度(Δφ)、模值裕度(ΔM)和時延裕度(Δτ)等,其中,Δτ=Δφ/ωcr,如圖4所示。

圖4 系統(tǒng)魯棒性裕度

3 RST數(shù)字控制器的應用

以某紙廠污泥干化中的壓榨部分為系統(tǒng)對象,該系統(tǒng)為SISO結構的時延系統(tǒng),辨識得到的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：

(22)

設采樣時間Ts=1 s,加零階保持器后離散化并進行標準化后得到:

(23)

根據(jù)二階系統(tǒng)求跟蹤和調節(jié)特性(兩者一般不相同)。

(1)設ω0=0.5、ξ=0.9,離散化后得到跟蹤特性：

(24)

(25)

控制器參數(shù)：

R(q-1)=0.8914-1.1521q-1+0.3732q-2

(26)

S(q-1)=0.2+0.0852q-1-0.0134q-2-0.0045q-3-0.1785q-4-0.0888q-5

(27)

T(q-1)=1-1.3742q-1+0.4868q-2

(28)

為了便于比較,分別使用PID控制器、PID-Smith預估控制器和RST數(shù)字控制器進行MATLAB環(huán)境下的仿真。前2個控制器均使用PID Tuner進行參數(shù)優(yōu)化,得到自身最佳的控制效果；PID-Smith預估控制器采用標稱情況,仿真結果如圖5所示。

圖5 3種控制器控制性能比較

粗實線代表RST數(shù)字控制器,其上升時間、調節(jié)時間和超調量都是最小的,控制效果最好；細虛線代表PID-Smith預估控制器,其整體性能較好；細實線為PID控制器,其超調量較大。跟蹤性能：RST數(shù)字控制器最好,PID-Smith預估控制器次之,PID控制器最差；擾動抑制：RST數(shù)字控制器最好,PID控制器次之,PID-Smith預估控制器最差。

考慮系統(tǒng)的不穩(wěn)定性,將對象增益擴大30%,其仿真結果如圖6所示。

圖6 增益擴大30%后3種控制器的魯棒性比較

圖6表明，RST數(shù)字控制器出現(xiàn)小幅超調,但仍然是控制性能最好的,而PID控制器和PID-Smith預估控制器均出現(xiàn)較大的超調量,這說明RST數(shù)字控制器的魯棒性裕度也是最好的。根據(jù)圖4求得設計的RST數(shù)字控制器的增益裕度、相角裕度和模值裕度分別為2、58和0.518。

4 結束語

本研究首先介紹了RST數(shù)字控制器結構,然后介紹了RST數(shù)字控制器參數(shù)設計步驟(包括對象模型確定、性能指標、參數(shù)求解和魯棒性分析),最后以某紙廠污泥干化中的壓榨部分為時延系統(tǒng)對象,并利用3種控制器(PID控制器、PID-Smith預估控制器和RST數(shù)字控制器)進行仿真對比；仿真結果表明,RST數(shù)字控制器對時延系統(tǒng)跟蹤性能和抑制擾動性能較好,且魯棒性較強。

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(責任編輯：關 穎)

RST Digital Controller and Its Application in Time Delay System

LI Ming-hui SONG Zhong-zhu*XU Wen-li TAN Li-bin LI Guang-hui

(CollegeofMechanicalandElectricalEngineering,ShaanxiUniversityofScience&Technology,Xi’an,ShaanxiProvince, 710021)

(*E-mail: 342497333@qq.com)

The traditional control strategy does not focus on a problem of the robustness of the control system. The design goal of the controller is still to achieve good tracking performance and regulation performance level, and it is difficult to obtain satisfactory control effect for the time delay system. RST digital controller is a three branches structure controller which can be equivalent to a front predictor and a no delay controller, can solve the phase change of the time delay system, make the system with improved robustness. By simulation of three kinds of controllers of PID controller, PID-Smith controller and RST controller, the results show that the tracking performance and disturbance rejection performance of RST digital controller is the best, and it has strong robustness to the system with parameter uncertainty．

digital controller; time delay system; phase; robustness

2016- 03-14

李明輝,男,1972年生；博士,教授；主要研究方向：智能及高級過程控制。

*通信聯(lián)系人：宋忠柱，E-mail:342497333@qq.com。

TP273;TS7

A

1000- 6842(2017)01- 0045- 05